含參數的一元二次不等式的分類求解策略

【摘 要】解含參數的一元二次不等式的主要難點在于分類討論，除了常用的三種分類方法：對二次項系數a的討論、對判別式?的討論、按方程ax2+bx+c=0的根x1，x2的大小來分類，本文還介紹了一種“通法”。

【關鍵詞】一元二次不等式;含參數;解法;分類討論

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2021）16-0088-02

一元二次不等式作為基礎不等式，在高中數學中有非常廣泛的應用。它的解法不但將二次函數、二次方程和二次不等式密切聯系起來，體現了數與形的完美結合，而且是導數中求單調區間、極值、最值的常用工具[1]。對含參數的一元二次不等式的求解，始終是學生學習的一大難點，學生往往不清楚該如何對參數進行分類討論。對含參數的一元二次不等式常用的分類求解方法有三種[2]，下面通過四個例子指出其中的奧妙。

1? ?對二次項系數a的討論

若二次項系數a含有參數，則需要對a的符號分類，即分a>0，a=0，a<0。

例1：解關于x的不等式：ax2?（2a+1）x+2<0（a∈R）。

解析：二次項系數含有參數，因此須對a的符號進行討論。

解：原不等式可化為（ax?1）（x?2）<0。

①當a>0時，原不等式等價于（x?2）（x?）<0。

∵ （x?2）（x?）=0的兩個根分別是2，，

∴ 當a∈（0，）時，2<，則ax2?（2a+1）x+2<0的解集是{x|2

當a=時，ax2?（2a+1）x+2<0的解集是 ?;

當a∈（，+∞）時，<2，則ax2?（2a+1）x+2<0的解集是{x|

②當a=0時，原不等式為?x+2<0，解得x>2，即ax2?（2a+1）x+2<0的解集是{x|x>2}。

③當a<0時，ax2?（2a+1）x+2<0等價于（x?2）（x?

）>0，由于<2，故ax2?（2a+1）x+2<0的解集是{x|x<或x>2}。

綜上所述，當a<0時，ax2?（2a+1）x+2<0的解集為{x|x<或x>2};

當a=0時，ax2?（2a+1）x+2<0的解集為{x|x>2};

當0

};

當a=時，ax2?（2a+1）x+2<0的解集為?;

當a>時，ax2?（2a+1）x+2<0的解集為{x|

2? ?對所對應方程根的個數進行分類

若判別式?=b2?4ac中含有參數，無法確定所對應方程根的個數，則需要對判別式?的符號分類，即分?>0，

?=0，?<0。

例2：解關于x的不等式x2+ax+5≤0。

解析：由于判別式?=a2?20中含有參數，因此須對?的符號進行討論。

解：∵ ?=a2?20，

∴ 當a∈（?，）即?<0時，不等式的解集為 ?;

當a=±即?=0時，不等式的解集為{x|x=?};

當a>或a0，對應方程的兩根分別為x1= ，x2= ，顯然x1> x2，

∴ 不等式的解集為

。

3? ?按方程ax2+bx+c=0的根x1，x2的大小來分類

若不等式對應的方程的根為x1，x2，且其中含有參數，則須對x1，x2的大小分類，即分x1> x2，x1=x2，x1< x2。

例3：解關于x的不等式12x2?ax>a2（a∈R）。

解析：不等式可分解為（4x+a）（3x?a）>0，故只需比較兩根與的大小。

解：原不等式可化為12x2?ax?a2>0，即（4x+a）（3x?a）>0。

令（4x+a）（3x?a）=0，解得x1=，x2=。

①當a>0時，<，不等式的解集為{x|x<或x>};

②當a=0時，x2>0，不等式的解集為{x|x∈R，且x≠0};

③當a<0時，>，不等式的解集為{x|x<或x>}。

綜上所述，當a>0時，不等式的解集為{x|x<或x>};當a=0時，不等式的解集為{x|x∈R，且x≠0};當a<0時，不等式的解集為{x|x<或x>}。

上面三個例子，分別代表了含參數的一元二次不等式求解的三種常見的類型，但如果參數涉及多種類型的討論，那么分起類來就會難以把握。如何掌握好分類討論的層次呢？一般按下面的次序進行討論：首先根據二次項系數的符號進行分類;其次根據根的個數，即?的符號進行分類;最后在根存在的前提下，再根據根的大小進行分類。通過對上述三個例子的解題過程進行分析，可以發現一個簡易的分類方法：根據一元二次不等式中二次項系數等于0和判別式等于0時所得到的值作為數軸的分點，然后對參數進行分區間討論。

例4：解關于x的不等式：（a2?1）x2?3ax+3<0

解：（a2?1）x2?3ax+3<0? ? ? ? ? ? ? （*）

a2?1=0a=1或a=?1;

?=（?3a）2?4×（a2?1）×3=0a=2或a=?2;

∴當a0且?<0，（*）解集為?;

當a=?2時，a2?1>0且?=0，（*）解集為?;

當?20且?>0，（*）解集為（，）;

當a=?1時，（*）3x+3<0x

當?10，（*）解集為（?∞，）∪（，+∞）;

當a=1時，（*）?3x+3<0x>1，（*）解集為（1，+∞）;

當10且?>0，（*）解集為（，）;

當a=2時，a2?1>0且?=0，（*）解集為?;

當a>2時，a2?1>0且?<0，（*）解集為?。

綜上，可知當a≤?2或a≥2時，（*）解集為?;

當?2

當a=?1時，（*）解集為（?∞，?1）;

當?1

（，+∞）;

當a=1時，（*）解集為（1，+∞）;

通過上面的例子，可以體會到這類問題的“通法”有一定的便捷性。

【參考文獻】

[1]張娟，杜以海.含字母參數的一元二次不等式的解法[J].數理化學習（高中版），2010（20）.

[2]李軍文.“含參數一元二次不等式的解法”教學設計及體會[J].中學數學月刊，2012（8）.

【作者簡介】

梁東（1979～），男，漢族，廣東信宜人，本科，高中數學一級教師。研究方向：中學數學教學。