利用并項法求數列的前n項和

【摘 要】《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》在談到高中數學課程的性質與基本理念時提出，提升學生的數學素養，引導學生會用數學眼光觀察世界，會用數學思維思考世界，會用數學語言表達世界。高考命題相應地也從傳統的重知識技能，向重觀察歸納能力、思維能力和數學表達能力轉變，而數列中的并項求和法對以上三個方面的能力都有涉及，無疑會成為今后高考命題的一個重要方向。本文通過三道例題由淺入深地探索此類問題的解題原則、解題策略，并提供規范準確的解題步驟。

【關鍵詞】并項求和法;周期型數列;分組求和

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2021）16-0100-02

用并項法求數列前n項和是數列分組求和中較為特殊的一類，2012年高考全國卷理科數學第16題，條件簡潔，入手不難，但得分率卻極低。其根本原因是學生對并項求和的本質缺乏理解，對其解法缺乏總結[1]。筆者嘗試尋找此類題的相關解答，發現大部分解答步驟都不是很規范。本文通過具體范例探討此類問題的共性特征和對應的邏輯思維方式，并給出通用規范的解題步驟。

1? ?觀察并歸納以下數列通項公式結構上的共同特征

（1）an=（?1）n（3n?2）

（2）an=n2（cos2?sin2）

（3）an=（?1）n（2n?1）cos+1

通項公式的共性結構特征：

（1）式 an=（?1）n（3n?2）中（?1）n具備周期性，周期T=2。

（2）式 an=n2（cos2?sin2）使用余弦的倍角公式化簡后得：an=n2cos2，其中cos具備周期性，周期T==3。

（3）式 an=（?1）n（2n?1）cos+1中（?1）ncos具備周期性，周期 T=4。

可以發現這些數列通項公式中都含有周期性循環的部分。

2? ?思考探究，形成解題思路

周期的意思是循環出現，也就是說在每個周期內會循環出現相同的部分。求這類數列的前n項和，可以考慮根據數列表現出的周期性特征，將整個數列按照周期進行分組，在各個組的內部分別求和，然后將各個組的結果進行累加，最終得到結果[2]。

3? ?數學表達，規范解題步驟

例一：若數列{an}的通項公式是an=（?1）n（3n?2），則S60=? ? ? ? ? ? ? ? ?。

分析：在這個通項公式中（?1）n具備周期性質，周期為2，據此考慮將原數列每兩項分為一組，進行并項求和。

解：當 n=2k?1時，a2k?1=（?1）2k?1[3（2k?1）?2]=?6k+5

當 n=2k 時，a2k=（?1）2k（3×2k?2）=6k?2

將這兩項并為一組，構成新數列：

設bk=a2k?1+a2k=?6k+5+6k?2=3

這里并項后需要檢查一下：當k=1，b1=a1+a2;當k=2，b2=a3+a4……

結論：數列{an}中的項既沒有重復的也沒有遺漏的。（這個步驟非常重要）

所以：S60=a1+a2+…+a60=b1+b2+…+b30=3×30=90

例二：已知數列{an}的通項公式an=n2（cos2?sin2），n∈N+ ，求數列的前3n項和S3n。

解：化簡通項公式：

an=n2（cos2?sin2）=n2cos2

通項公式中三角函數的部分具備周期性，周期：T==3。

因為周期為3，所以考慮每三項分為一組

當 n=3k?2，a3k?2=（3k?2）2cos

=?（9k2?12k+4）

當 n=2k?1，a3k?1=（3k?1）2cos

=?（9k2?6k+1）

當 n=3k，a3k=（3k）2cos=9k2

設 bk=a3k?2+a3k?1+a3k=9k?

這里仍然需要檢查一下{an}中的項有無重復或遺漏。

∴ S3n=a1+a2+…+a3n=b1+b2+…+bn=n2+4n

例三：（2012年高考全國卷理科數學，16題）數列{an}滿足：an+1+（?1）nan=2n?1，則{an}的前60項和

為? ? ? ? ? ? ? ? ?。

分析：這不是通項公式，而是一個遞推公式，這個公式中也有具備周期性特征的部分（?1）n，其周期為2，據此可嘗試使用分組處理法。

解法一：當 n=2k?1時，a2k?a2k?1=4k?3? ? ①

當 n=2k時，a2k+1+a2k=4k?1? ? ? ? ? ? ?②

②?①得：a2k?1+a2k+1=2? ? ? ? ? ? ? ? ③

說明數列相鄰奇數項的和為2。

那么偶數項是什么情況呢？顯然根據目前的兩個遞推公式是無法單獨解出偶數項的，所以嘗試利用遞推公式繼續往下面寫一項：

當 n=2k+1時，a2k+2?a2k+1=4k+1? ? ? ? ? ④

②+④得：a2k+a2k+2=8k? ? ? ? ? ? ? ? ⑤

連續偶數項的和為8k（結構上是等差數列，可以

求和）

構造新數列：設bk=a2k?1+a2k+a2k+1+a2k+2=8k+2

這個新數列很熟悉，第一感覺{bn}是等差數列。

這時先別高興得太早，我們檢查一下：

b1=a1+a2+a3+a4，

b2=a3+a4+a5+a6，b3=a5+a6+a7+a8…

數列數列{bn}中出現了重復項，怎么解決這個問題呢？如果只取數列{bn}中的奇數項，則數列{an}中的項既不重復也不遺漏。

S60=a1+a2+…+a60=b1+b3+…+b15

=15×10+×16=1830

題后反思：使用新數列{bn}的奇數項求和很不協調。

那么為什么會出現這種現象呢？該如何避免這種現象出現呢？

解答：事實上，之所以出現這種現象，是因為分組的問題，這個求和問題應該是每四項分成一組（兩個奇數項和兩個偶數項）。解題按照每兩項（n=2k?1，n=2k）分一組去討論，自然會造成重復現象的出現。解決這個問題的方法就是按照每四項分一組進行并項求和（n=4k?3，n=4k?2，n=4k?1，n=4k）。

解法二：當n=4k?3時，a4k?2?a4k?3=8k?7? ?①

當n=4k?2時，a4k?1+a4k?2=8k?5? ? ? ? ? ②

當n=4k?1時，a4k?a4k?1=8k?3? ? ? ? ? ? ③

②?①得：a4k?3+a4k?1=2? ? ? ? ? ? ? ? ④

②+③得：a4k?2+a4k=16k?8? ? ? ? ? ? ⑤

④+⑤得：a4k?3+a4k?2+a4k?1+a4k=16k?6

說明每四項分一組求和后可以得到一個等差數列，因此設：bk=a4k?3+a4k?2+a4k?1+a4k

驗證：b1=a1+a2+a3+a4，b2=a5+a6+a7+a8…

數列{an}中的項既沒有重復的項，也沒有遺漏的項。

所以：S60==15×10+×16=1830

綜觀以上三個例題，它們有一個共同特征：通項公式中都有周期性循環的部分。依據固有周期將原數列進行分組，分別求出各組的和，用各組的和構造新數列后，將原數列前n項和轉化為新數列前n項和。本質：分組的原則來源于通項公式的周期屬性。特別注意：構造新數列后需要與原數列對比，檢查有無重復項或遺漏項。

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準[S].北京：人民教育出版社，2017.

[2]高濤.淺析解題類文章的具體解法[J].考試與評價，2015（7）.

【作者簡介】

孫甲（1979～），男，四川成都人，本科，中學一級教師。研究方向：高中數學教學研究。