數學運算視角下的解析幾何復習教學

摘? 要：以數學運算素養為主要視角，在剖析解析幾何學科特點、分析學生認知基礎的基礎上，確定解析幾何復習教學的目標，構建解析幾何復習教學的思路與框架.

關鍵詞：數學運算;解析幾何;復習教學

運算既是數學的基本特征，也是解決數學問題的基本手段. 解析幾何與數學運算具有天然的聯系. 一方面，解析幾何是發展學生數學運算素養的良好載體;另一方面，解析幾何問題往往需要借助數學運算來解決. 與新課教學相比，復習教學不僅涉及面廣、內容多，而且處于學生學習“總—分—總”中第二個“總”的階段，更需要強化知識的整體性與聯系性，需要從數學學科核心素養視角加以審視和設計.

一、數學運算視角下的解析幾何學科特點

數學運算素養具有思想性、概念性、綜合性、技能性與層次性;數學運算過程可分為理解運算對象、明確運算目標、分析運算條件、探尋運算思路、設計運算程序、求得運算結果、檢驗運算結果七個環節.

解析幾何中的數學運算與其他數學運算相比，既有共性，也有差異. 解析幾何中，運算對象通常是點和曲線所對應的坐標與方程，以及長度、角度、面積等幾何量. 運算目標是弄清楚曲線的大小、形狀與位置關系，證明幾何結論或求得幾何結果. 運算條件是點、直線、圓錐曲線及其形狀、大小和位置關系. 運算思路：一是坐標化，把幾何條件轉化為代數方程，通過方程運算來解決問題;二是數形互助，即由“形”啟“數”、尋找運算的目標、思路與方法，再借助“數”對“形”進行定量研究和精準分析. 運算方法通常是解方程或方程組，并對刻畫幾何對象的代數表示式進行變形. 運算結果是得到相應的代數結論. 運算結果檢驗是指檢查方程的適用條件與適用范圍、方程與曲線的等價性，給出代數結論的幾何解釋.

解析幾何中的運算是借助幾何條件與圖形性質，為解決幾何問題而進行的運算，不是純代數運算. 這在很大程度上決定了解析幾何中的運算應充分發揮“數”與“形”兩方面的特點與優勢，尤其是應充分利用圖形的性質來發現運算思路、簡化運算程序.

二、數學運算視角下的學生解析幾何認知基礎

學生已經學習了高考所要求的高中解析幾何全部內容，對直線方程、圓的方程、圓錐曲線方程已經有基本的了解或理解，也能借助方程進行求解或證明，但他們對解析幾何基本思想的理解還很膚淺，解題往往停留在通過機械訓練獲得的條件反射水平，對解題思維的自然性、合理性缺乏應有的理解. 在數學運算方面，學生通常有較強的運算技能，但缺少運算思想、運算策略的指引，運算過程往往是“摸著石頭過河”，比較盲目，數學運算素養并不高.

學生解決解析幾何問題的難點往往不在于解析幾何知識本身，而在于解析幾何與其他知識的綜合;不在于運算技巧與方法，而在于思維，在于如何尋找合理的運算思路與方法;不在于運算的難與繁，而在于心理上怕難、怕繁. 為此，在復習教學時，教師應該加強解析幾何知識與其他相關數學知識的聯系，尤其應建立非人為的、實質性的聯系;應在運算思路與方法的尋找、運算思維的自然性與合理性上下功夫;應把作為知識和技能的運算教學與作為習慣和品性的運算教學有機結合起來.

三、數學運算視角下的解析幾何復習教學目標

數學運算視角下的解析幾何復習教學目標是學生能深化對解析幾何基本思想與基本方法、曲線與方程關系的理解，能用代數語言把幾何條件和幾何問題轉化為代數條件和代數問題;能根據具體問題的情境與特點，建立適當的平面直角坐標系，并自覺通過建立方程、求解方程解決有關幾何問題;能自覺按數學運算的基本步驟（理解運算對象、明確運算目標、分析運算條件、探尋運算思路、設計運算程序、求得運算結果、檢驗運算結果）求解，能通過數學運算促進規范化思考問題的習慣、一絲不茍的科學精神和工作不怕繁難的個性品質的養成.

四、數學運算視角下的解析幾何復習教學指導思想

數學運算視角下的解析幾何復習教學指導思想是強化數學運算素養教學與坐標法思想教學的融合、智力因素與非智力因素的融合、探究運算主導思想與突破運算特定難點的融合;強化把幾何條件、幾何問題轉化為代數條件、代數問題的思路與方法，強化運算思路、運算方法形成的緣由、依據、過程與方法，并讓學生經歷包括理解運算對象、探索運算思路、檢驗運算結果等在內的完整運算過程.

五、數學運算視角下的解析幾何復習教學框架

1. 解析幾何中數學運算的背景與緣由

數與形是同一數學對象的兩個不同方面. 數具有精確、便于計算的優勢;形具有形象、直觀的優勢. 正所謂“數缺形時少直觀，形缺數時難入微”. 數與形的優勢互補是解決數學問題的制勝法寶. 例如，借助圖形，我們可以猜想圖1中點A，B，C很可能共線，圖2中點D，E，F，G很可能共圓，圖3中直線l與圓[O]很可能相切，但很難準確判定.

運算是數學的“基本功”，對以上問題的定量研究、精確刻畫離不開數學運算. 在解析幾何中，我們把曲線看作是點按一定條件運動所成的軌跡，把方程看作是點的坐標按一定條件變化所成的關系式. 由于點與有序數對之間存在一一對應關系，因此點的坐標與方程的解之間也存在一一對應關系，我們可以通過方程來研究曲線，進而解決圖形的“計算”問題.

【設計說明】深化學生對解析幾何產生背景與緣由、坐標法的理解，幫助學生學會判斷在怎樣的情形下該用坐標法，促進學生自覺運用坐標法解決相關幾何問題. 因為解析幾何的核心不在于求解方程，而在于面對沒有坐標系和方程的幾何問題，怎樣想到借助曲線的方程來解決. 另外，明確解析幾何中數學運算的背景與緣由，有助于增強數學運算的思想性，進而更好地用運算的“道”引領運算的“術”.

2. 解析幾何中數學運算的條件與目標

明確幾何條件的含義與特征是把幾何條件轉化為代數條件的前提和基礎. 例如，我們基于直線的“直”及圓上的點到定點的距離等于定長，建立直線和圓的方程;基于點在曲線上，得到點的坐標滿足該曲線的方程. 在把幾何條件轉化為代數條件的過程中，應把優化曲線的方程作為優化運算的一部分. 為了使曲線的方程更簡潔、更便于研究曲線的性質，受直線方程[y=kx，] 圓的方程[x2+y2=r2，] 關于原點和坐標軸對稱的兩個點的坐標關系的啟發，通常以曲線的中心為原點、對稱軸為坐標軸建立平面直角坐標系.

除了明確如何把幾何條件轉化為代數條件外，還需要明確如何把幾何目標轉化為代數目標. 例如，要判斷曲線的類型和形狀，只需要弄清楚相應方程的特征;求證兩直線平行或垂直只要證明它們的斜率相等或互為負倒數;求證曲線關于某點或某直線對稱只要證明該曲線上任一點關于某點或某直線的對稱點也在該曲線上，即該曲線上任一點關于某點或某直線的對稱點的坐標滿足該曲線的方程;要求某幾何量的最值或取值范圍需要建立該幾何量與另一個幾何量的聯系，用代數表達式刻畫這種聯系，再利用函數性質、函數工具等求出.

【設計說明】揭示將幾何條件、幾何目標轉化為代數條件、代數目標的策略與方法;明確方程的本質是曲線幾何特征的代數表示，弄清楚建立曲線方程的策略、方法與注意點;促進學生自覺、自然地把幾何問題轉化為代數問題.

3. 解析幾何中數學運算的思路與方法

解析幾何中數學運算的思路與方法首推坐標法. 即借助坐標系和方程，把幾何條件、幾何目標“翻譯”成代數條件、代數目標.

例1 （2019年浙江卷·15）已知橢圓[x29+y25=1]的左焦點為[F，] 點[P]在橢圓上且在[x]軸的上方，若線段[PF]的中點在以原點[O]為圓心，[OF]為半徑的圓上，則直線[PF]的斜率是? ? ? .

分析：（1）觀察已知條件，并把它們轉化為代數形式. 由點F為橢圓[x29+y25=1]的左焦點知，點F的坐標為[-2，0.] 點[P]在橢圓上且在[x]軸的上方，即點[P]的坐標[x，y]滿足[x29+y25=1 y>0.] 以原點[O]為圓心，[OF]為半徑的圓用方程表示即[x2+y2=4]. 線段[PF]的中點即[x-22， y2.] 此中點在圓[x2+y2=4]上，即[x-222+][y22=4.]（2）觀察目標，并明晰達成此目標所需要解決的代數問題. 要求直線[PF]的斜率，由于點F的坐標可知，因此只要求點P的坐標[x，y，] 這樣只需解方程組[x29+y25=1 y>0，x-222+y22=4.]

解析幾何中的數學運算應充分利用幾何圖形內在的性質. 因為解析幾何要解決的是幾何問題，解析幾何最大的特點與優勢就是數與形的融合. 在例1的解決中，如果能意識到圓的直徑所對的圓周角是直角，并由“中點 + 直角”想到△EFF2是等腰三角形（如圖4），再利用橢圓的定義求解，則運算量會減少很多.

例2 （2020年浙江卷·15）直線[y=kx+b k>0]同時與圓[x2+y2=1]和[x-42+y2=1]相切，則k的值為? ? ? ?，b的值為? ? ? ?.

分析：此題如果直接把幾何條件“翻譯”成代數條件[bk2+1=1， 4k+bk2+1=1，] 則運算量相對大一些. 如果畫出圖形（如圖5），并注意到這兩個圓關于切線對稱，則能快速求得結果. 為了能有效發現和利用圖形的幾何性質，審題和解題時不僅需要細致地觀察，也需要在觀察的基礎上展開想象，尤其是從運動變化的視角進行想象.

例3 （2020年全國Ⅰ卷·理20）已知點A，B分別是橢圓[E： x2a2+y2=1 a>1]的左、右頂點，點G為橢圓E的上頂點，[AG ? GB=8.] 點P為直線[x=6]上的動點，PA與橢圓E的另一個交點為點C，PB與橢圓E的另一個交點為點D.

（1）求橢圓E的方程;

（2）證明：直線CD過定點.

分析：易求橢圓E的方程為[x29+y2=1]. 要證明直線CD過定點，不僅需要通過觀察圖形弄清楚點與點、點與直線、直線與橢圓的關系，還需要借助想象弄清楚直線CD是由哪個量決定的，甚至猜想定點是什么. 由橢圓關于x軸對稱和點P關于x軸的對稱點也符合條件可知，定點必在x軸上（如圖6）.

解析幾何中的數學運算應充分挖掘和利用曲線及其方程中所蘊含的條件. 例如，橢圓[x2a2+y2b2=1]中不僅蘊含著它上面任一點到兩焦點的距離之和為2a，也蘊含著條件[b2+c2=a2.] 因此，求橢圓的離心率只需要再找一個關于a，b，c的方程，求橢圓離心率的取值范圍只需要再找一個關于a，b，c的不等式.

解析幾何中的數學運算應注意借助方程思想和函數思想. 所謂方程思想，就是考慮問題中含有幾個未知量，為了求出這些未知量能列出幾個關系式（即方程），然后借助方程求解. 解析幾何中，不僅求點的坐標、曲線方程，以及橢圓、雙曲線的離心率經常用到方程思想，消去眾多關系式中的參數也經常用到方程思想. 由于解析幾何問題中的幾何量是相互聯系的，一個量的變化會引起并決定另一個量的變化，因此許多解析幾何問題需要利用函數思想、函數方法來解決. 例如，解析幾何中的最值問題、一個量的取值范圍問題實際上往往是以解析幾何知識為背景的函數問題. 這些問題需要在列出相關函數關系式的基礎上，利用函數性質和函數工具求解.

解析幾何中的數學運算應避免不必要的繁雜計算和討論. 有時可以對一些在解題過程中出現的中間量“設而不求”. 例如，對含有字母的直線方程與圓錐曲線方程，如果已知它們的一個交點或易求它們的一個交點，那么利用根與系數關系求解另一個交點的坐標，往往可以避免在后續運算中出現根號;再如，例3中，設點P坐標為[6，t，] 由于點A，B是直線與橢圓的公共點，因此點C，D的坐標宜借助根與系數關系得到. 有時為了避免討論直線的斜率是否存在，會設與x軸相交的直線的方程為x = my + n;設焦點在哪條坐標軸上不確定的橢圓的標準方程為[x2m2+][y2n2=1 m>0，n>0，m≠n.]

4. 解析幾何中數學運算經驗的積累與優化

解析幾何中的數學運算應在弄清楚運算對象、運算條件、運算目標、運算思路的基礎上，形成清晰的解題主導思想和思維框架，然后實施具體運算. 例如，要想證明例3中的直線CD過定點，可以先明晰如下解題主導思想.

（1）基本方法：坐標法，即通過求出直線CD的方程來證明.

（2）要證直線過定點，只要證明它的方程中只含有一個參數. 因為不含參數的直線方程表示特定的直線，含有兩個參數的直線方程幾乎可以表示平面內的任意直線.

（3）為了得到只含有一個參數的直線CD的方程，可以設法用點P的坐標[6，t]表示點C，D的坐標，也可以設直線CD的方程為[y=kx+b，] 然后利用題設建立關于k，b的關系式，再消去它們中的一個.

當然，例3也可以先探求得到定點[32，0，] 然后證明這個定點在直線CD上. 但是無論怎樣，具體運算前應盡可能明晰解題的主導思想，應有意識地培養學生三思而后行的運算習慣，并鼓勵學生在堅定信念的支撐下完成繁難運算.

解析幾何中數學運算的核心在于運算思維，而不是運算技巧. 教學時，教師要引導學生在運算對象、運算條件、運算目標的分析上多花時間，在運算思路與方法的探索和尋找上多花時間，在運算難點的突破上多花時間. 應該鼓勵學生通過對解題思路與方法的反思，有意識地積累運算經驗、優化運算方法、提升運算素養. 真正做到為遷移而教、為遷移而學.

5. 解析幾何中數學運算心理和習慣的優化

任何問題的解決都離不開認知與情感兩個方面. 針對學生普遍存在的運算怕難、怕繁心理，教師應做好運算不怕難、不怕繁的示范和表率，并通過具體運算案例破除學生運算怕難、怕繁的心理. 針對學生運算粗心大意、低級錯誤經常發生的現象，教師不僅要培養學生一絲不茍、嚴謹細致的運算習慣，還要控制作業總量，為學生養成良好的運算習慣提供時間上的保障. 應通過具體的運算案例和解題感悟，有意識地培養學生運算的信心、細心、耐心，培養學生有條理、程序化地解決問題，以及檢查與復核的習慣.

六、結束語

六大數學學科核心素養是一個既相對獨立、又相互交融的整體，教師應該清楚地看到數學運算素養背后蘊涵的數學抽象、直觀想象、邏輯推理和數學建模，應清醒地意識到解析幾何教學需要培養學生包括數學運算素養在內的六大數學學科核心素養. 為了使六大數學學科核心素養的培養都能落到實處，數學教學宜統籌規劃、整體安排，根據不同內容中所蘊涵的數學思想方法，系統地、各有側重地對學生加以培養.

參考文獻：

[1]李昌官. 數學運算素養及其培養[J]. 數學通訊（下半月），2019（9）：1-5.