明晰幾何關系簡化代數運算

徐勇

摘? 要：數形結合是處理直線與圓問題的核心思想. 求解過程中代數方法煩瑣或遇阻時轉而從形的角度思考，在幾何圖形中深究幾何性質，明晰幾何關系后指揮代數運算，常能優化運算路徑、簡化運算過程.

關鍵詞：直線與圓;數形結合;數學探究;思維導圖

幾何的優點是直觀形象易懂，缺點是靈活多變不易把握;代數的優點是有很多現成的方法可以讓學生按部就班地解決問題，缺點是煩瑣，遇到不熟悉的問題時可能一籌莫展. 解析幾何的本質是用代數方法解決幾何問題，高中生在處理解析幾何問題時往往重視代數法，而忽視了平面幾何基礎知識，進而陷入煩瑣的運算困境，甚至半途而廢.

一、典例剖析

1. 解析幾何與向量

例1? 在平面直角坐標系[xOy]中，[AB]是圓[O：x2+][y2=1]的直徑，且點[A]在第一象限，圓[O1： x-a2+y2=r2][a>0]與圓[O]外離，線段[AO1]與圓[O1]交于點[M]，線段[BM]與圓[O]交于點[N]，且[OM+O1N=0]，則[a]的取值范圍為? ? ? .

筆者選用此題作為每日一題讓學生求解，批改后發現問題嚴重，不僅結果不對，而且學生的作圖與思考方式也值得商榷. 向量集代數與幾何于一身，既有幾何屬性，又有代數屬性. 解題時并非一定要用坐標化的方法，而應善于運用向量數形兼備的特點，必要時思其形，運用幾何性質簡化代數運算.

（1）圖形失真，遮蔽有效信息.

學生畫出的草圖失真，如圖1，不能對條件“[OM+][O1N=0]”進行有效詮釋，不能直觀看出[OM]與[O1N]平行. 畫圖太隨意，沒有連接[ON，] 沒能發現四邊形[OMO1N]是平行四邊形，沒有發現定值，即[O1M=1]. 平行四邊形看似簡單，但很多學生沒有想到. 沒有得到圓[O1：] [x-a2+y2=r2 a>0]的半徑[r=1]，思維便被阻斷.

二、教學反思

直線與圓的試題中蘊含著豐富的幾何性質，解題時要重視數形結合思想. 代數與幾何各有千秋，解題時要各司其職. 需要算，把幾何變成代數來算;需要懂，把代數變成幾何來幫助理解. 明晰幾何圖形關系，利用幾何性質可以優化運算路徑、簡化運算過程.

1. 畫圖與識圖

南京師范大學單墫教授指出，解析幾何題往往需要畫圖，圖形可以幫助學生了解題意，啟發思維. 為了節省時間，我們常常徒手畫一個或幾個草圖. 這些草圖雖不太準確，卻也反映了圖形的特征. 如果不能反映特征，再重畫一個. 這種能夠“神似”而未必“形似”的繪圖能力其實也很重要. 在解題中，有些學生畫的草圖失真，不能反映題目的特征與本意. 有些學生懶得多畫幾個圖，只在一個圖上重復畫，容易形成干擾而遮蔽有效信息. 必要時可以聚焦局部圖形，回歸基本圖形，選擇“經典”圖形（如直角三角形、三角形中位線等），重新作一個簡圖，這樣更容易獲得解題思路.

2. 數與形貴在結合

代數條件可以翻譯為幾何圖形，幾何圖形中又蘊含著隱含代數信息. “形”看“數”算，集中圖中有關的點、線，使之產生聯系，充分發揮作用. 解題之難，常在于抓不住要害. 因為抓不住關鍵，勢必誤入歧途，不是行不通，就是在次要的地方徘徊，故難以有所進展. 學生面對代數法與幾何法，常不知所措，貿然選之，倘若欠當，不是寸步難行，就是愈走愈偏. 數形結合貴在結合，運用幾何關系指揮代數運算，在熟練駕馭的過程中深刻領悟思路的實質和解題的奧妙，從而達到觸類旁通、靈活運用的境界.

3. 思維導圖讓思維可視化

思維導圖是一個可以激發、統籌并整理思維，將思維線路圖形化、可視化的有效工具. 在審題階段，要下足功夫，借助思維導圖，采用逆向設計，從目標出發，尋求條件中的有效信息放開思維觸角進行探究，展開頭腦風暴，讓分散的條件集中化，讓碎片信息有效聚集，這樣常能打開思維通道，發現解題路徑往往不止一條，于是就有了選擇余地，也就為優化思維過程創造了條件. 能熟練使用思維導圖，對思維的發散與靈活大有裨益. 思維導圖有助于教師的教，便于結構化、層次性分析，學生容易吸收接受. 學生嘗試運用思維導圖這根自主學習的“拐杖”，可以對問題深入探究，有利于深度學習.

參考文獻：

[1]葛軍. 高考數學幾個基本問題的再認識[J]. 江蘇教育（中學教學），2017（5）：20-21，25.

[2]單墫. 平面幾何的知識與問題[M]. 合肥：中國科學技術大學出版社，2019.