核心素養導向下的高中數學建模教學探索

顧予恒 周艷 王紅權

摘? 要：數學建模活動是基于數學思維、運用模型解決實際問題的一類綜合實踐活動，也是高中階段數學課程的重要內容之一. 如何通過有效的數學建模活動讓數學建模素養落地，是當前中學數學教學研究的一個重要方向. 文章以“體重與脈搏”教學為例，師生共同親歷發現問題、收集數據、建立模型、計算求解、檢驗模型、解決問題等環節，展示中學數學建模的完整過程.

關鍵詞：數學建模;核心素養;體重與脈搏

眾所周知，數學建模是數學學科六大核心素養之一.《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《標準》）對數學建模素養的描述為：數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的素養. 它搭建了數學與外部世界聯系的橋梁，是數學應用的重要形式.

數學建模課的教學設計需要引導學生面對現實問題，經歷完整過程，構建數學模型，檢驗改進模型. 通過數學建模的學習，學生能有意識地用數學語言表達現實世界，發現問題和提出問題，感悟數學與現實之間的關聯，學會用數學模型解決實際問題，積累數學實踐的經驗，從而最終實現發展學生的“四能”、達到“三會”的目的.

數學建模課程在大學階段比較普遍，高中階段還未廣泛、深入地開展. 隨著《標準》的實施和新教材的啟用，必修課程與選修課程中都加入了數學建模課的課時安排. 那么，究竟該怎樣開展數學建模教學，如何讓數學建模素養在課堂中落地呢？筆者有幸參加了2019年浙江省杭州市高中數學優質課評比活動，課題內容是《標準》中的案例28：體重與脈搏. 這是一個與數學建模相關的案例，筆者借此展開了一次數學建模課的全新嘗試.

一、內容與內容解析

1. 內容

本節課選自《標準》案例28，結合體重與脈搏的實例，經歷用函數建立數學模型—解釋生物現象—解決實際問題的基本過程.

2. 內容解析

函數模型是描述客觀世界中變量關系及規律的重要數學語言和工具. 結合對“體重與脈搏的關系”的數學建模，通過分析、比較各種函數模型的差異，可以引導學生進一步理解函數的性質，并確定合適的函數類型構建數學模型.

結合目前所學，學生已經具備了從現實情境中抽象研究對象、提煉數量關系、簡單應用等與數學建模相關的知識經驗. 雖然其中蘊涵了豐富的數學建模思想，但學生還未經歷過數學建模活動的全過程. 本案例要求學生完整經歷數學建模的過程，掌握數學建模的基本方法和步驟，培養數學應用意識，提升數學抽象、數學建模、數學運算、直觀想象等素養. 同時，在后續學習中，學生還會不斷經歷和強化數學建模過程，培養用數學解決實際問題的能力和意識.

3. 教學重點

引導學生經歷完整的數學建模過程，掌握數學建模的一般方法與步驟，體會每個環節的必要性與重要性.

二、目標與目標解析

1. 目標

（1）根據生物常識找出目標變量間的關系，構建“比例模型”，將實際問題轉化為數學問題，提高邏輯推理能力，提升數學抽象素養.

（2）結合函數圖象，通過數據分析建立合適的數學模型，求解數學模型并檢驗，提高直觀想象、數學運算和數據分析能力.

（3）通過數學建模活動，在歸納中掌握數學建模的一般方法與步驟，理解數學模型的多樣性，進一步提升數學建模素養.

2. 目標解析

達成目標（1）的標志：學生能通過科普閱讀，了解“血流量”“脈搏率”等生物學中的專業術語，能從素材中找出諸如“消耗能量與血流量”“體重與體積”“表面積和體積”等數量關系，初步構建“比例模型”，學會將實際問題轉化為數學問題.

達成目標（2）的標志：學生能結合收集到的數據，求解出具體的函數模型，并通過圖象直觀和數學運算，檢驗數學模型是否符合實際問題.

達成目標（3）的標志：學生能回答“選什么函數模型”“為什么選這個函數模型”“這個模型是否合理”等設問，歸納并掌握數學建模的一般步驟，能提出或者理解數學模型的多樣性.

三、教學問題診斷分析

1. 問題診斷

首先，由于涉及跨學科知識，學生可能會出現理解偏差，進而在將現實問題數學化的過程中遇到困難. 雖然學生對應用題并不陌生，但直接給出數學應用問題和讓學生自己從現實中抽象出數學問題還是有較大的差異，學生缺乏將現實問題數學化的經驗和數學抽象的能力.

其次，在分析問題的過程中，學生對“比例模型”的分析與表述還比較陌生，尤其是幾次比例模型疊加使用，更增加了思維難度.

最后，在利用函數模型解決實際問題的過程中，學生還未形成借助信息技術求解函數模型的能力.

教學中，可以采用分步驟啟發的方式，引導學生將實際問題抽象成數學問題. 先給學生一個簡單示范性操作，讓學生模仿與應用;引導學生從定性和定量兩個角度判斷函數模型是否合理;鼓勵學生利用信息技術進行復雜的運算求解，多維度分析問題，逐步培養學生利用信息技術解決實際問題的意識.

2. 教學難點

（1）選擇合適的函數建立數學模型.

（2）借助數理分析和信息技術求解模型.

四、教學支持條件分析

為了幫助學生克服問題背景的分析困難，啟發學生從跨學科角度思考問題，可以通過視頻播放的形式多渠道獲取素材. 利用信息技術軟件（如GeoGebra，Excel等）快捷地進行作圖、數據處理與運算，讓學生把主要精力放在定性和定量分析數學問題上，幫助學生通過數形結合研究函數模型的變化規律. 采用希沃授課助手作為輔助技術，及時分享學生的研究成果，實時反饋，增強課堂互動效果.

五、教學過程設計

環節1：觀察情境，提出問題.

背景情境：視頻展示（1）.

采訪者：今天我們非常有幸請到生物正高級、特級教師方淳老師來到我們的課堂. 首先，我想請教一下方老師，生物學中怎樣理解動物的脈搏率？

方老師：脈搏是由心臟收縮而引起的血管壁一張一縮的搏動像波浪一樣沿著動脈壁向遠處傳播而形成的. 脈搏率是每分鐘的脈搏數，正常情況下，脈搏率與每分鐘心跳的次數是一樣的. 動物的脈搏率與它的體重是密切相關的.

問題1：方老師說動物的脈搏率與它的體重密切相關，那么兩者之間究竟具有怎樣的關系呢？

師生活動：師生共同觀看視頻，了解生物學基礎概念，明確本節課要研究的對象和探索的問題.

【設計意圖】“體重與脈搏”中涉及一些生物學知識，受興趣和閱歷所限，學生對跨學科的概念在理解上存在一定難度. 通過邀請生物教師視頻講解，能夠保證專業性，并吸引學生的注意力，幫助和引導學生盡快從情境中提出問題，明確本節課的研究對象與任務，為后續數學建模活動打好基礎.

環節2：收集數據，挖掘關系.

問題2：觀察表1中的數據，你發現了什么？

師生活動：師生共同分析數據，引導學生經歷“觀察表格，尋找規律—描點繪圖，觀察圖象—提出猜想—初步判斷”的過程. 教師借助GeoGebra軟件，幫助學生利用已學函數的圖象與性質，提出合理猜想與初步判斷.

（1）反比例函數——積為定值，通過直接運算即可檢驗.

（2）指數函數——等間距比值為定值，由于體重的無規律性，并不能直接觀察出來.

（3）冪函數——形如[y=xα，] [α]為負數的情形，但不能確定.

【設計意圖】從觀察表格數據發現規律過渡到繪制函數圖象，使學生經歷將現實問題轉化為數學問題的過程. GeoGebra軟件的應用讓學生體會到信息技術在數學建模中的作用. 引導學生經歷“看數據—繪圖象—先猜想—再判斷”的過程，為建立函數模型打好基礎.

環節3：定性分析，選擇模型.

問題3：像這樣觀察兩組數據并進行圖象分析，是一種較為直觀的研究體重與脈搏關系的方式. 那么體重與脈搏之間真的有聯系嗎？這樣的猜測合理嗎？有沒有科學依據？這個聯系具體又是什么？下面我們繼續研究.

作為現實問題，我們不能忽略兩者在生物學上存在的某些內在聯系，為此我們不妨回顧方老師對脈搏率的定義，并思考：在生物學中，血流量Q表示單位時間（每分鐘）流過的血量，q是心臟每次收縮擠壓出來的血量，f是脈搏率（心跳次數 / 分），試找出這三者間存在的關系？

師生活動：學生通過分組討論，易得出[f=Qq.]

追問：事實上，在現實生活中，血流量Q與心臟每次收縮擠壓出來的血量q都不易測量與獲得，因此需要尋找一個常見且容易測量的身體指標，用它來刻畫恒溫動物的脈搏率，于是研究對象的體重W就成了不二之選. 那么，Q，q與W之間又分別存在什么關系呢？

【設計意圖】環節2通過數據分析進行初步判斷，問題3的設置是從定性分析轉向數理分析. 體重與脈搏之間存在關系，之前是通過視頻告知學生的. 作為對現實問題的數學建模還需要考慮其科學性，數學模型的確立不能僅僅停留在數據分析和擬合上，必須有聯系實際的數學推導，從而增強模型的數學內涵.

教師引導：為了研究Q，q與W的關系，更好地建立數學模型，我們還需要了解更多的生物學常識與假設，大家繼續觀看視頻.

視頻展示（2）：生物學家認為，睡眠中的恒溫動物依然會消耗體內能量，主要是為了維持體溫，消耗的能量與通過心臟的血流量成正比;由于動物體溫為通過身體表面散發的熱量，故表面積越大，散發熱量越多，保持體溫所需的能量也就越大，所以動物體內消耗的能量與身體表面積成正比.

研究還表明，動物的表面積大約與體積的[23]次方成正比，且動物的體重與體積成正比. 同時，心臟每次收縮產生的血量與心臟的大小成正比，動物心臟的大小與動物的體積也成正比.

問題4：通過專家的講述，我們可以抽象出哪些數學關系？

追問1：為了研究方便，分別將能量與血流量用字母E和Q表示，如何用數學關系式表示“正比關系”？

追問2：同理，將這里的表面積、體積等關鍵詞用字母來表示，這段話中還包含哪些數學關系？試用數學關系式表達.

追問3：借助正比關系，即可研究Q，q與W的關系，試將其中的邏輯關系填入方框中. 可見，Q，q均可用W表示，f是關于W的函數，大家能否推導出函數關系呢？

師生活動：通過師生互動，從專家的講解中提煉出生物學知識和假設，學生很容易獲取高頻次出現的“正比關系”. 教師通過問題引導學生用數學語言標記各種研究對象，用數學語言刻畫“正比關系”，逐步應用“比例模型”得出Q，q與W的關系式（含待定系數）. 同時，借助希沃電子設備展示學生自主推導出來的表達式，對于存在困難的小組和個人，教師予以適當指導，讓他們通過模仿達到預期的效果. 最后，讓學生以小組為單位，通過合作探究得到[f]關于[W]的表達式. 由于此處研究對象較多，可以借助如圖1所示的方式引導學生逐步推導得出結果：[Q=mW23;q=nW;][f=Qq=kW-13=kW3]（k為大于0的待定系數）.

【設計意圖】在問題3的基礎上，本環節提供生物學的知識背景，讓學生通過獨立思考解決“建立脈搏率與體重關系”的核心問題，逐步引領學生突破“比例模型”的難點. 在數學表達式的最終推導環節，對學生的邏輯推理能力有一定的要求，通過框圖幫助學生梳理信息，得出各對象間的關系.

環節4：科學計算，求解模型.

問題5：馬是恒溫動物. 根據上述模型，能否算出一匹體重為450 000 g的馬的脈搏率？

追問1：為什么這個函數模型不能直接應用？

追問2：如何完善這個模型？

追問3：通過代入數據計算，可得出不同種類恒溫動物的系數k，模型中的k如何取值？

師生活動：教師在學生初步得到數據規律、利用正比關系推出模型的基礎上，進一步提出追問，啟發學生發現由系數k未知帶來的問題，引導學生用數據去完善之前的數學模型. 在學生遇到計算問題時，鼓勵學生使用信息技術解決復雜的運算，逐步求解出數學模型. 對于模型中k的取值如何確定的問題，讓學生分組討論后匯報討論結果，教師與學生進行互動得出答案. 在求解k的過程中，及時肯定“取平均”這種常見的解決實際問題的方法，同時也可以告訴學生，統計學中還有很多“取平均值”以外的計算系數k的方法，有待課后進一步探究.

以求均值的方式求解[k，] 可得[f=kW-13=2 325W-13.] 由此可得表2. 并求得[k]的平均值為2 325.477 8.

【設計意圖】鼓勵學生使用信息技術進行復雜的運算求解，化解計算中的難題. 在求解k的過程中，肯定學生提出的方法，同時指明更專業的方法，讓學生有更進一步發展的空間，可以讓不同層次的學生在學習過程中得到不同的發展.

環節5：檢驗模型，初步應用.

問題6：如何檢驗所求數學模型的合理性？

追問：通過表3中馬的體重與脈搏率，你能判斷出模型的合理性嗎？

師生活動：先讓學生獨立思考，給出檢驗方法. 例如，繪制數學模型的函數圖象，與之前繪制的散點圖進行比對，根據吻合程度來驗證;代入更多的其他動物的數據進行檢驗;等等.

教師可以引導學生利用信息技術繪制出函數模型[f=2 325W-13]的圖象，觀察離散的點與圖象的關系，直觀判斷擬合程度是否合理.

引入馬的數據，讓學生借助信息技術進行計算，檢驗脈搏率的吻合程度. 同時，教師要向學生指出，統計學中有更為合適且專業的檢驗方法，后面將會學到這些方法.

【設計意圖】檢驗函數模型是通過數學建模解決實際問題的一個重要環節，與建立的模型是否合理、是否能推廣應用等相關，因此必不可少. 模型檢驗的方法不唯一，可以利用代數運算檢驗，也可以通過幾何直觀檢驗. 最后，通過馬的數據，再次驗證模型的合理性，讓學生體會數學建模源于生活，并最終解決實際問題. 同時，由于馬的體重數據與其他動物的差別較大，在用GeoGebra軟件作圖時有意將“很難找到坐標為[450 000，38]的點”的困難呈現出來，引發學生的思考，為問題7的提出進行.

問題7：在上述合理性的判斷過程中，無論是計算還是作圖，我們發現自變量（體重）的數據跨度非常大，從25到450 000，縱坐標數據也很大，給操作帶來了困難. 有什么數學方法或者數學運算，可以有效縮小橫坐標和縱坐標的數據，從而簡化作圖與研究過程？各小組討論.

師生活動：學生分組討論，從簡化圖形和計算的角度出發，思考解決方法. 教師適時鼓勵學生嘗試不同方法，并利用GeoGebra軟件進行計算與演示，引導學生對不同方法進行判斷與評價，最終引導學生選擇兩邊取對數運算的方法進行簡化和優化模型.

【設計意圖】引入對數運算簡化模型的思路，它的本質是從數據處理的角度，將非線性模型進一步變為線性模型，即將[f=kW-13]轉化為[lnf=lnk-lnW3]的形式，如圖2和圖3所示，簡化亦是優化數學模型. 它的產生并不是偶然的，在人教版《普通高中教科書·數學》必修第一冊第四章的閱讀材料“對數的發明”中展示的對數產生的背景與發展，為這里奠定了基礎. 在自主探究的過程中，教師要重視學生的不同想法，數學模型的建立本就不是唯一確定的，唯有經過不斷嘗試和對比、檢驗與修正的過程，不斷提高邏輯的嚴密性，才會得到相對滿意與適合的數學模型.

環節6：總結歸納，凝練所學.

問題8：回顧探索脈搏率和體重關系的過程，我們經歷了哪些步驟？

師生活動：先讓學生自己總結，再進行交流互動，最后得出基本步驟，并利用如圖4所示的框圖表示.

【設計意圖】數學建模活動的教學重在帶領學生經歷數學建模的全過程，明確數學建模的一般方法與步驟，從而加強學生的數學思維，提升學生數學抽象、數學建模、數學運算等數學學科核心素養. 學生先合作總結研究路徑教師再補充的形式，充分發揮了學生的自主性，也是檢驗和培養學生數學學科核心素養與綜合能力的好機會.

環節7：目標檢測設計（課后完成）.

釣魚比賽中，出于保護的目的，垂釣俱樂部鼓勵會員釣到魚之后馬上放生. 同時，該俱樂部還希望根據釣到的魚的總質量給予獎勵. 垂釣者怎么確定所釣到的魚的質量呢？如果采用便攜秤，一方面稱起來不方便，另一方面對于小魚并不準確. 請你提供一種方案，能夠快速有效地測量魚的質量.

根據材料，模仿上述過程開展一次建立函數模型解決問題的活動，以小組為單位，撰寫一份研究報告，并進行交流展示.

【設計意圖】在課堂上經歷完整的數學建模過程后，學生有了初步的認知與感受，學生只有通過獨立自主的方案設計與操作，才能夠將理論轉化為能力，讓數學建模的思想滲透到學生的內在，領悟到數學的重要性與實用性.

六、教學設計的說明與反思

數學建模活動作為一種綜合實踐活動課，與以獲取“四基”為主要目的的課有很大不同，《標準》強調要以課題研究的方式開展. 但是，就目前我國中學數學教學現狀來看，課題研究的方式實施難度較大. 本教學設計進行了一些新的嘗試，即以數學建模的主要環節為依據，設計探索性問題，引導學生開展建模活動，使學生掌握數學建模的基本要領后，再獨立開展數學建模活動. 本教學設計關注了以下幾個問題.

1. 設置梯度突破難點

“體重與脈搏”的數學建模需要突破的難點較多. 例如，跨專業背景的理解、“比例模型”的得出、函數模型的選擇、計算和檢驗等. 如果開門見山直接提出找尋脈搏率與體重關系的核心問題，學生很難找到方向、提出明確的想法. 為此，本教學設計以問題串的形式，引導學生經歷從背景知識入手，通過幾何直觀提出猜想，利用數形結合初步判斷，教師示范比例關系，借助框圖串聯變量，初步得出模型，最后進行計算與優化模型等過程，這是一個完整的數學建模過程，可以讓學生形成建立函數模型解決實際問題的完整體驗.

2. 重視課堂生成問題

數學建模是一個思維發散的過程，學生會因為個人閱歷、知識儲備與思維方式的不同，產生各種不同的想法. 例如，學生在通過圖象選擇函數模型時會提出不同的猜測，有反比例函數、冪函數、指數函數和對數函數等，對于容易辨別的要及時引導學生進行初步的判斷與篩選，對于不易判斷合理性的函數模型，留作備選，引導學生在建模成功后進行再認知與判斷. 在求解模型時，參數的確定方法不唯一，對學生提出的“求平均”系列方法，要給予及時的肯定. 在檢驗模型合理性的同時，也允許存在不同的判斷方式，“合理”與“不合理”的思考過程遠比最終結果重要.

3. 注重知識的延續性

數學建模雖然作為獨立的專題呈現在教材當中，但是它的研究內容與探究方法不是全新和陌生的，這一點在教材中有很多體現. 例如，從現實情境中抽象出數學問題及數量關系，這是教材中學習新概念、公式等的常用研究方法;對于函數圖象的觀察與猜測，完全可以借助初、高中學習的各類函數的性質展開，既是鞏固，也是應用;從一組比例關系過渡到學生自主完成所有比例關系，類比操作在平時的數學學習中屢見不鮮;優化函數模型時的對數運算，從教材的閱讀材料中即可獲取靈感. 可見，活動過程中用到的知識、技能、思想、經驗，學生在日常學習中都已經有了大量積累，這里主要是把它們調動起來進行綜合運用.

4. 信息技術融入教學

數學建模活動必須使用信息技術，這是由數學建模內容的特點所決定的. 本教學設計中使用了多樣化的信息技術. 例如，使用Excel軟件存儲和整理數據，應用多媒體播放視頻素材，利用GeoGebra軟件繪制函數圖象、進行數學運算，通過希沃授課助手同步學生的課堂討論成果等. 這對數學課堂的推進、學生思維的拓展起著不可忽視的作用.

七、對數學建模活動的教學思考

下面結合本教學設計對數學建模活動的教學提出一些思考.

思考1：數學建模課要上出數學建模的味道.

數學建模活動不同于數學應用或數據分析，不局限于數據的處理，需要從實際問題出發，讓學生經歷收集數據，挖掘關系，定性、定量分析，選擇模型，求解模型，檢驗模型到應用模型的過程.

課堂上對《標準》中給出的各種動物脈搏與體重數據的使用處理，顯得尤為重要. 通過將數表轉化為圖表，讓數據更直觀地呈現出來，從中容易得出體重越大，脈搏率越低（圖象上單調遞減）的定性分析結論，然后引導學生發現體重與脈搏之間具有類似于反比例（冪函數）的關系. 這里是根據圖中所給數據進行的合理猜想，從而自然地選擇冪型函數作為研究本問題的基本數學模型. 但是冪型函數[f=kWα]具體是怎樣的，不能簡單地用信息技術進行擬合，然后去討論擬合程度的優劣，這樣就變成了數據統計分析課. 我們應該在有了大致模型方向的基礎上，根據實際的生物學假設，提取數學關系式，進行數學推理，通過數學符號和語言來表述與建立數學模型，進一步探討選取冪型函數模型[f=kW-13]的科學性.

思考2：模型的選擇和求解是兩件事.

模型的選擇是基于數據、圖表的大致選擇，而獲得更精確的模型則需要精細的求解. 于是，如何求解系數[k]的值，就成了求解體重與脈搏關系模型的關鍵一環.

學生依據現有的知識儲備，可以想到利用已有數據給出的8個點分別求出8個對應的[k]值，但是8個值之間差異很大. 于是利用“求平均”這一最樸素的統計思想，求8個值的平均數作為常數是學生最容易想到的處理方法. 雖然這個方法較統計學中擬合回歸的方法精確度低一些，但作為高中生初步接觸統計學的相關內容，求平均的方法應該予以充分肯定，并在課堂中予以實施.

思考3：模型的最終確定需要進一步檢驗.

模型的最終確定還需要進一步檢驗，如果符合實際情況才能繼續下去. 這里要特別注意，不建議使用某個人的數據作為檢驗的依據. 因為本問題的研究有一個大前提，是恒溫動物在睡眠狀態下測得的脈搏率和體重的關系，如果課堂中使用學生的心跳和體重的關系，就背離了研究的假設，甚至連研究的對象都變了，檢驗就變成了一種假檢驗，科學性會大打折扣. 從《標準》的案例中給出的數據可以發現馬對應的數據顯得特別突兀，所以建議以前面7種動物的數據建立模型，用馬的數據進行檢驗. 當然，更好的做法是通過查閱資料，找到更多其他動物的相關數據進行檢驗.

如果數據檢驗偏離非常明顯，則說明可能是模型的選擇出了問題，需要重新選擇模型，或者是求解模型的方式精確度不夠，需要進一步優化. 本教學設計中的模型選擇沒有問題，但選擇平均數求[k]值的方法可能不夠精確，于是可以讓學生在課后繼續研究有沒有其他求[k]值的方法，鼓勵學生通過學習統計學的相關知識，采用方差分析等方法取得相對精確的模型數據.

思考4：模型及呈現方式可以優化，使之更為直觀.

由于本問題所給的數據跨度很大，所以在同一個坐標系內呈現并不那么“友好”，小數全擠在一起，大數又離得太遠. 有什么辦法可以讓這些數據的范圍壓縮，使數據的呈現更加直觀呢？對數函數的變化特征是“先快后慢”，所以將橫、縱坐標分別取對數，可以將橫坐標的范圍從25 ～ 450 000壓縮到2 ～ 14，縱坐標的范圍從0 ～ 700壓縮到3.5 ～ 7，而且數據的分布近似于線性分布，于是形成了對數線性模型，使得數據的呈現更加直觀，更加“親切”. 當然也可能有學生會想到轉換比例尺，求根號等方式壓縮范圍，這些都是很好的課堂生成.

思考5：數學建模過程要完整，盡量避免“縮水”.

顯然，數學建模的教學不宜采用“講練”的模式，《標準》要求采用課題研究的形式，通過選題、開題、做題、結題四個環節來推進建模活動. 所以，數學建模活動課是不同于日常教學的課，是在多節課中圍繞著一個主題開展豐富多彩的數學活動，需要課內外的結合，通過多樣化的方式、以“長作業”的形式完成. 要開好、用足必修課程中的6個課時和選修課程中的4個課時的數學建模活動，切不可讓數學建模課程“縮水”.

思考6：數學建模評價宜采取滿意原則和加分原則.

數學建模的學習過程有一定難度，因此評價要注重過程評價，而不以最后的結果作為唯一的評判依據. 教學過程重在引領學生經歷建模過程，如果學生提出的方法有理有據、思路清晰、表達準確，就可以給予滿意評價. 如果學生在分析論證的過程中能有一些創意，那么就適用于加分原則. 同時，數學建模是一種將數學知識與現實世界緊密聯系的綜合實踐活動，與育人方式的改革密切相關. 在數學建模活動過程中，學生能力和核心素養的提升將是全方位的.

對比《標準》與教材關于數學建模的內容，本次數學建模教學的嘗試才邁出了第一步，與理想的數學建模還有很大的距離. 從應用問題的教學出發，走向適應《標準》要求，基于“三用”、指向核心素養的數學教學，實現由教向學的轉型，我們依然任重而道遠.

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