考慮退化特性相關性的航空電連接器可靠性分析方法

段 雨 男，段 富 海，曹 慧

(大連理工大學 機械工程學院,遼寧 大連 116024)

0 引 言

電連接器作為特種基礎性元件，在航空、航天、電子、通信等行業應用廣泛．一架飛機上各類航空電連接器數量巨大，作用地位非常重要，要求其必須在各種惡劣苛刻環境條件下可靠工作，如果出現故障，將會導致與之關聯的整個系統發生故障．

針對電連接器這類高可靠性、長壽命產品的可靠性評估，目前一般采用加速退化試驗與Wiener 過程結合的方法．陳磊磊[1]在分析電連接器接觸對接觸電阻的微觀失效機理基礎上，采用基于Wiener過程與加速退化試驗結合的方法，對電連接器進行了可靠性評估．申敏敏[2]建立了貯存條件下的Wiener過程加速退化模型，并引入了描述測量誤差的參數，提高了預測精度．王浩偉等[3]研究了非線性Wiener過程在電連接器退化過程中的應用．Park等[4]用對數化的方法使產品的退化數據線性化，進而采用線性Wiener過程簡化模型復雜程度．

但上述研究對電連接器產品間的個體差異考慮較少．事實上由于加工工藝、制造誤差、運行環境等因素的影響，不同的產品會展現出不同的退化軌跡，即使對同批次產品總體進行可靠性評估時，也需要考慮產品之間的個體差異．基于以上分析，本文采用帶隨機效應的Wiener退化過程，建立單一退化特征下多應力綜合加速退化模型，并采用基于Bayesian更新的EM算法[5]對參數進行估計．

此外，在研究電連接器可靠性時，往往只針對一種退化特性展開研究，如Flowers等[6]對電連接器插針在不同振動水平、頻率下的微動磨損情況進行了研究．支宏旭[7]研究了溫度和電流應力對電連接器的接觸電阻退化的影響．駱燕燕等[8]研究了長期作用下，振動對電連接器接觸件接觸應力松弛的影響．夏宏運[9]研究了貯存條件下溫度和插拔對電連接器接觸電阻的影響．但上述研究對各退化特性間的相互影響考慮較少，實際上隨著某一退化特性退化量的增加，其他退化特性退化量的增長速度會受到影響．針對此情況，本文采用Copula函數描述各退化特性間相關性，建立考慮多個退化特性的退化模型，為綜合評估電連接器的可靠性提供參考依據．

1 基于Wiener過程的退化特性建模

1.1 隨機效應Wiener退化模型

Wiener過程廣泛應用于退化建模中，其形式為

X(t)=X(0)+λt+σB(t)

(1)

式中：X(t)是產品在t時刻的退化量；X(0)是初始退化量，通常取X(0)=0；λ>0，為漂移系數；σ為擴散系數；B(t)為標準布朗運動．

Wiener過程具有獨立增量性質，且在任意時刻t～t+Δt的增量服從正態分布[10]，即ΔX(t)=X(t～t+Δt)-X(t)，ΔX(t)～N(λΔt，σ2Δt)，則X(t)的概率密度函數為

(2)

設X(t)首次達到失效閾值ξ(ξ>0)時產品失效，定義失效時間τ是退化過程{X(t)，t≥0}的退化量首次達到或超過失效閾值的時間，即：

τ=inf{t|X(t)≥ξ}

(3)

則τ的分布服從逆Gaussian分布[11]，其概率密度函數為

(4)

分布函數為

(5)

其中Φ(·)為標準正態分布的分布函數．

可靠度函數為

Rτ(t|λ，σ，ξ)=1-Fτ(t|λ，σ，ξ)

(6)

帶隨機效應的失效時間τ的概率密度函數變為

(7)

分布函數變為

(8)

可靠度函數變為

(9)

1.2 加速退化模型

加速退化試驗思想是在失效機理保持一致的條件下，對產品施加大于工作狀態時的應力，以加速其退化過程，獲得產品的加速退化數據，然后通過推導得到產品在工作應力水平的退化模型，達到縮短試驗時間、提高試驗效率的目的．

對于Wiener過程，在加速退化試驗中一般認為漂移系數λ與加速應力有關，而擴散系數σ與應力無關[12]．針對恒定應力加速退化試驗中的溫度及振動雙應力，可采用如下的加速模型：

(10)

式中：a、b1、b2為常數，T為溫度應力(K)，f為振動應力(g2/Hz)．

(11)

即

(12)

模型中的所有未知參數

1.3 參數估計

設有n個樣本，對每個個體i在m個時刻ti，j的退化數據進行統計監測，得到xi，j=X(ti，j)，其中i=1，…，n，j=1，…，m．X為所有樣本的退化數據全體，Xi對應為第i個樣本的所有退化數據．Δtj=tj-tj-1；Δxi，j=xi，j-xi，j-1，對應于Δtj時間段內的退化增量．

設第i個產品的漂移系數為λi，令Ω={λ1，…，λn}．給定某一漂移系數λi，由式(2)可知，其對應的退化數據Xi服從正態分布，即：

(13)

則關于退化數據X和所有漂移系數Ω的對數似然函數為

(14)

由于模型中考慮電連接器間的個體差異，引入了λi，使得模型中含有隱含參數，普通的參數估計方法如極大似然估計、矩估計等方法不再適用，故本文采用基于Bayesian更新的EM算法[13]．

EM算法每次迭代由E步(期望步)和M步(極大步)構成．E步利用已觀測數據的期望代替λi；M步對求過期望后的對數似然函數取極大值．通過E步、M步不斷迭代逐步改進模型的參數，直至達到精度要求為止[14]．與此同時，在推得λi的后驗分布依然為正態分布的條件下，利用Bayesian公式，做到與退化數據同步更新，相較于普通的EM算法提高了估計精度．具體λi后驗估計如下：

p(λi|Xi，ψ(k))∝p(Xi|λi，ψ(k))p(λi|ψ(k))∝

(15)

又已知Xi和ψ(k)，且λi先驗估計服從正態分布，有

(16)

對比式(15)與(16)可得

(17)

(18)

則將式(17)和(18)代入式(14)中代替λi，有

E步：

Q(ψ|X，ψ(k))=EΩ|ψ(k)[L(ψ|X，Ω)]=

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

至此所有未知參數均可求出．

2 基于Copula函數的多退化特性建模

2.1 Copula函數理論

在對產品的多個退化特性進行可靠性評估過程中，往往已知各退化特性間存在著相關關系，但由于其中的相關機理十分復雜，難以得到具體的相關系數，無法通過協方差的方法確定其聯合分布，此時可通過Copula函數解決這一問題．

Copula最早由Sklar提出，旨在將多維分布函數與各邊緣分布函數連接起來，此定理將聯合分布H(y1，y2，…，yn)中隨機變量各自的隨機特性用其各自邊緣分布F(y)描述，而隨機變量間的相關性特性則由Copula函數Cn(u1，u2，…，un)描述，極大簡化了聯合分布函數的建模復雜度，提高了相關性建模的可行性．

2.2 常用的Copula函數及其選擇

常用Copula函數中代表性的包括Gumbel Copula、Clayton Copula、Frank Copula和t-Copula[16]．

(1)Gumbel Copula

(24)

其中θ為待定參數，θ∈[1，+∞)，當θ→0時，u，v→不相關．

(2)Clayton Copula

(25)

其中θ∈[0，+∞)，當θ→+∞時，u，v→完全相關．

(3)Frank Copula

(26)

其中θ∈(-∞，0)∪(0，+∞)，當θ>0時，u，v→正相關，當θ<0時，u，v→負相關．

(4)t-Copula

(27)

其中Tθ，ρ表示相關系數為θ、自由度為ρ的二元標準t分布函數．

由于不同的Copula函數即使在參數θ相同的條件下所描述的相關結構也不盡相同，Copula函數的選擇是否合適，直接關系到多變量之間的相關性描述是否準確．

從如圖1所示4種Copula函數的密度函數圖可見，Gumbel Copula函數適合描述上尾相關、下尾漸進獨立的非對稱尾部隨機向量；Clayton Copula函數適合描述下尾相關、上尾漸進獨立的非對稱尾部隨機向量；Frank Copula函數適合描述尾部漸進獨立的對稱尾部隨機向量；t-Copula函數適合描述尾部漸進相關的隨機向量．因此，該4種函數模型便可以描述絕大部分相關關系．

(a)Gumbel Copula

更具體的選擇方法，可通過AIC準則對模型進行檢驗，AIC準則的數學表達式為

A=-2logLe+2N

(28)

其中logLe表示整體對數似然函數，N為未知參數個數．

AIC值越小，說明擬合程度越高．

2.3 相關多退化特性建模

Copula函數可以對多元隨機變量進行建模，即采用vine Copula函數，而二元是多元的基礎和組成單元，因此本文選取較為典型的二元相關退化特性進行相關性建模，并假設每個退化特性均服從前文所建立的退化模型．

Y=(y1y2)，是二維退化向量，其聯合分布函數為H(y1，y2)，對應邊緣分布函數分別為F(y1)、F(y2)，則其聯合分布函數根據Sklar定理可表示為

H(y1，y2)=Cn(F(y1)，F(y2)；θ)

(29)

其中Cn(u1，u2)為二維Copula函數；θ為Copula函數中反映相關性的待估參數．

對應的聯合概率密度函數為

h(y1，y2)=c(F(y1)，F(y2)；θ)·f(y1)·f(y2)

(30)

其中c(F(y1)，F(y2)；θ)為Cn(F(y1)，F(y2)；θ)的概率密度函數．

由于僅含有未知參數θ，故對式(30)采用極大似然估計法，即可求出未知參數θ的估計值．

當采用獨立假設算法時[17]，電連接器的聯合可靠度函數為各退化可靠度函數的乘積：

R(t)=R1(t)·R2(t)

(31)

當采用Copula函數算法時，可靠度函數為

R(t)=P(min(T1，T2)>t)=P(T1>t，T2>t)=

R1(t)+R2(t)-1+Cn(F(y1)，F(y2)；θ)

(32)

當采用最薄弱環節算法時[17]，可靠度函數為

R(t)=min(R1(t)，R2(t)，…，Rn(t))

(33)

3 驗證算例

3.1 接觸電阻退化特性可靠性評估

以某型航空電連接器接觸電阻為研究對象，分析其單一退化特性．根據《電連接器試驗方法》(GJB 1217—91)規定，其接觸電阻超過5 mΩ，則視為接觸失效．設計其在溫度及振動綜合應力下的加速退化模擬數據．為保證電連接器在高應力下的失效機理不變，溫度不得超過158 ℃[18]．具體方案如下：

(1)設置S1、S2、S3、S44組應力水平，如表1所示．

(2)每組應力水平下設置6個電連接器樣本數據，各應力下的模擬退化數據如圖2所示．

在得到各應力下退化數據后，需要檢驗電連接器的退化量分布是否服從Wiener過程．

表1 各組應力水平設置Tab.1 Stress level setting of each group

(a)應力S1

前文中曾提到，在相等的時間間隔Δt內，產品的退化增量ΔX(t)服從正態分布，所以本文采用Anderson-Darling統計檢驗方法對相等時間間隔內每個樣品退化增量ΔX(t)進行正態性檢驗，若計算得到p>0.05，說明每個退化增量服從正態分布[19]，則整個退化過程服從Wiener過程．

采用Minitab軟件進行計算，得到各組數據p值如表2所示，由于篇幅限制，展示部分圖像如圖3所示．

表2 各組數據p值Tab.2 p Value of each group

(a)應力S1下樣品1

由表2可以看出，所有退化增量p值均大于0.05，故可以認為整個退化過程服從Wiener過程，可以采用前文建立的退化模型．

圖4 工作應力下接觸電阻失效概率密度函數曲線Fig.4 Failure probability density function curve of contact resistance under working stress

圖5 工作應力下接觸電阻可靠度曲線Fig.5 Reliability curve of contact resistance under working stress

本文方法與文獻[15]方法對模擬數據計算得到可靠度曲線的比較見圖6，文獻為不考慮隨機效應的預測方法．可見考慮個體差異的電連接器可靠度略低于文獻[15]所采用的方法，說明不考慮電連接器個體差異情況下，計算得到的電連接器可靠度存在一定風險．

圖6 可靠度曲線比較Fig.6 Reliability curve comparison

3.2 相關多退化特性可靠性評估

實際工作中，電連接器的接觸電阻增大會導致電連接器接觸件部分溫度升高，軟化接觸件金屬，使接觸壓力減小，壓力減小會進一步增大接觸電阻，所以電連接器的接觸電阻與接觸件正壓力兩退化特性間存在著相關關系．因此本文研究接觸電阻和接觸壓力松弛率的二元相關退化模型．

圖7 接觸壓力松弛率失效概率密度函數曲線Fig.7 Failure probability density function curve of contact pressure relaxation rate

圖8 接觸壓力松弛率可靠度曲線Fig.8 Reliability curve of contact pressure relaxation rate

將兩概率密度函數代入式(30)，計算各Copula 函數的參數θ估計值如表3所示．

表3 Copula函數參數估計值Tab.3 Parameter estimation value of Copula function

下面對Copula函數進行選擇．采用前文方法，計算4種Copula函數的AIC值．將求得的各參數估計值代入式(28)，各AIC值如表4所示．

表4 各Copula函數AIC值Tab.4 AIC value of each Copula function

從表4可見，Frank Copula函數對二元相關退化特征的聯合退化模型擬合效果最好，將θ值代入式(32)，得到Frank Copula相關可靠度函數．

最終，將采用式(31)的獨立假設算法可靠度曲線、采用式(32)的Frank Copula相關算法可靠度曲線、采用式(33)的兩條最薄弱環節算法可靠度曲線共4條曲線置于同一圖中進行對比，如圖9所示．

圖9 電連接器可靠度曲線Fig.9 Reliability curve of electrical connector

由圖9可見，在電連接器使用初期，系統可靠度均保持著較高水平，隨時間增加，3種算法的可靠度結果差異愈加明顯．其中，采用最薄弱環節的算法可靠度最高，采用獨立假設算法的可靠度最為保守，二者分別適用于退化過程相互獨立的兩特性之間，以及退化過程完全相關的特性之間．

而采用Frank Copula相關算法的可靠度介于二者之間，其適用于各退化特性間存在著一定聯系，但并不完全相關的情況．這種關系在實踐中更為常見，適用于工程實際中的大多數結構部件，因此用該算法計算出的可靠度更加契合真實的可靠度．

4 結 論

(1)航空電連接器由于制造誤差、加工工藝等因素存在個體差異，傳統基于Wiener過程的退化模型已經無法滿足對電連接器可靠性評估要求．本文通過引入隨機參數的方法建立基于隨機效應的Wiener過程退化模型，從實例分析結果中可見，考慮個體差異后產品的可靠度略低于傳統方法的．

(2)針對目前較少有文獻研究同時考慮電連接器多個退化特性的情況，提出多退化特性建模方法，采用Copula函數描述各退化特性間的相關性，簡化了聯合退化特性分布函數建模難度，同時該方法可應用于其他產品的多退化特性研究，具有一定實用價值．