關于Kane難題的一種解決方案

張九鑄

(金昌市龍門學校 甘肅 金昌 737100)

1 引言

如圖1所示，質量為m1,半徑為r1的均質剛性球殼繞其直徑的轉動慣量為J1，與剛性水平面進行斜碰．碰撞之初，球殼的質心速度為V01，與豎直的Oy軸負向的夾角為α，角速度ω01沿逆時針方向．球殼與水平面之間的碰撞恢復系數為e．再設上述各量能夠保證：球殼碰撞點的水平初速度為v0x>0，球殼在整個碰撞過程中受到方向不變的動摩擦力且該力滿足庫侖摩擦定律，動摩擦因數為fd．由平面運動剛體動力學方程及恢復系數定義有

圖1 剛性球殼與剛性平面之間的碰撞

-fdIN=m1V1x-m1V01sinα

(1)

IN=m1V1y-m1(-V01cosα)

(2)

-r1fdIN=J1ω1-J1ω01

(3)

(4)

其中IN是球殼在整個碰撞過程中受到的支持力的沖量，V1和ω1分別是球殼在碰撞過程末的質心速度和角速度，各矢量方向如圖1所示．聯立以上4式，可得到

V1x=V01[sinα-fd(1+e)cosα]

(5)

(6)

其中

系統在碰撞過程中的動能損失為

(7)

將式(5)，式(6)代入式(7)，得到

(8)

取具體數值α=30°，e=0.7，fd=0.4，a=0.30．將這些數值代入式(8)，算得ΔEk<0，這顯然不符合能量守恒定律．出現此類結果的問題稱為Kane難題[1]．

上述問題中的運動初始條件是合理的，解答過程中所用其他定理和公式也是合適的，故Kane難題產生的原因，只能是用庫侖摩擦定律If=fdIN將法向沖量大小IN和動摩擦力沖量大小If聯系起來這一點，進一步講，僅由上述運動學條件(V01，α，ω01)、幾何條件(r1)、動摩擦系數fd和恢復系數e這6個量無法確定球殼碰撞過程各階段的受力或各力之間關系，當然也無法保證球殼在碰撞過程中始終受的是滿足庫侖摩擦定律Fτ=fdFN的動摩擦力．實際上，在碰撞過程各階段，球殼與水平面之間的接觸力比較復雜．比如兩個彈性球體的碰撞，且接觸面是一個圓面，如圖2所示.

圖2 兩個彈性球之間的存在切向力時的接觸面

則碰撞過程中某些階段還可能出現這種情況：兩球之間的總法向力大小根據赫茲分布[2]應為

(9)

而接觸面之間的總切向力可用公式[2]

(10)

計算．以上二式中的a為接觸面半徑，c為黏著區(該區域內，兩球之間因分子間范德瓦耳斯力而相互吸引)半徑，c

鑒于此，筆者建議，仿照針對二碰撞點沿二剛體公法線的運動我們定義了可通過實驗測定的恢復系數e，現在也可以定義一個絕對值小于等于1的并且也可以通過實驗測定的“切向恢復系數k”，即二碰撞點的切向相對末速度與切向相對初速度之比．誠然，由式(10)和式(1)、(3)可知，式(7)中必然有

V1x≤V01x

ω1≤ω01

即ΔEk一定大于等于零．而由以上二式得到

V1x+r1ω1≤V01x+r1ω01

即圓球碰撞點的初、末速度滿足

為不失一般性，以下我們導出兩個作平面運動的剛性球碰撞過程中的、含參量k的動能損失計算式，繼而找出關于k值的滿足能量守恒定律的范圍．

2 動能定理的一種形式

設質點系中第i個質點的質量為mi，其在dt時間內的初、末速度分別為v0i和vi，合力(包括系統的內力和外力)的沖量為Ii合，則由質點動量定理，有

mi(vi-v0i)=Ii合

先用vi標乘上式，再用v0i標乘上式，然后將兩個結果相加，得到

(11)

將質點系中所有質點的相似方程相加，得到系統的動能損失為

(12)

上式中Ii已不再含有mi所受系統的內力．

現在將式(12)運用于兩個始終做平面運動的剛體的碰撞，且設只有一對碰撞點，如圖3所示．

圖3 二彈體的碰撞，單位矢量n和τ沿公法線和公切面

注意：同一剛體上所有內力做功之和為零，故式(12)右端這時只針對兩個碰撞點．設碰撞初，二剛體角速度分別為ω01和ω02，二碰撞點速度分別為v01,v02；碰撞末，二剛體的角速度分別為ω1和ω2，二碰撞點速度分別為v1和v2；碰撞中二碰撞點受到的法向沖量分別為I1n和-I1n，切向沖量分別為I′1τ和-I′1τ，其中n和τ分別為法向單位矢量和切向單位矢量．則由式(12)得到

(13)

3 兩個均質剛球在碰撞過程中的動能損失

研究兩個均質剛球的摩擦碰撞，如圖3所示．定義法向恢復系數、切向恢復系數分別為

(14)

代入式(13)，消去其中的末速度，得到

2ΔEk=-I1(1-e)(v01n-v02n)-
I′1(1+k)(v01τ-v02τ)

(15)

先求I1．設在碰撞過程中，球1質心的初、末速度分別為V01和V1，球2質心的初、末速度分別為V02和V2，系統的折合質量為μ，則由兩體運動動量定理，在n方向上有

I1=μ(v1n-v2n)-μ(v01n-v02n)

再用式(14)第一式將其改寫為

I1=-μ(1+e)(v01n-v02n)

(16)

再求I′1．由質心系中的角動量定理，對二剛球分別有

其中J1，J2分別是兩個圓球對各自直徑的轉動慣量．以上二式分別乘以r1,r2，變為

(17)

由質心運動定理，二剛球在τ方向上分別有

(18)

將式(17)第一式與式(18)第一式相加，將式(14)第二式與式(18)第二式相加，且考慮

V1τ+ω1r1=v1τ

V01τ+ω01r1=v01τ

V2τ+ω2r2=v2τ

和

V02τ+ω02r2=v02τ

分別得到

兩式相減，并且利用式(14)第二式，且令

(19)

得到

I′1=c(k-1)(v01τ-v02τ)

(20)

將式(16)、(20)代入式(15)，得到

(21)

4 k值的范圍及物理意義

由式(21)可知：因為0≤e≤1，所以，要恒有ΔEk≥0，則k值必須滿足

-1≤k≤1

(22)

式(22)是式(21)成立的必要條件，即式(22)是能量守恒對k值的限制結果．我們以二剛體沿n方向做對心的完全彈性(e=1)碰撞的情形為例，來考查式(22)的物理意義．當k=1時，由式(14)第二式，這表示碰撞過程中二碰撞點在τ方向上的相對速度不變，即二圓球在碰撞中不受切向力，當然有ΔEk=0．當k=0時，二碰撞點在τ方向上的末相對速度為零，這類似于n方向上的完全非彈性碰撞，這時ΔEk最大．當k=-1時，表示二碰撞點在τ方向上的末相對速度與初相對速度等大而反向，這說明二圓球之間的切向力保證了二碰撞點在τ方向上無相對運動，且該方向上的碰撞過程類似于n方向上的完全彈性碰撞，故

ΔEk=0