巧用圓周運動最高點測量重力加速度*

朱俊林

(江蘇師范大學科文學院 江蘇 徐州 221000)

1 引言

自伽利略研究自由落體運動伊始，無數的前輩們探索測量重力加速的新方法.例如：自由落體測量重力加速度實驗的改進[1]，基于磁力限制擺物運動的單擺測量重力加速度[2].隨著科技的進步，使得測量重力加速度的方法變得多樣.然而，當前的許多方法均無法排除或有效減小空氣阻力對測量結果的影響.在目前的物理實驗教學中，主要采用落球法或者單擺小角度近似簡諧運動來測量重力加速度.以上方法沒有考慮到空氣阻力對測量的影響.能不能采用一種新的測量方法，或者制作一種新的測量設備.原理可行操作便捷，并且可以有效減小空氣阻力對測量的影響.

2 解決方案

2.1 裝置結構

設計如圖1和圖2所示實驗裝置，用圓管構成的圓形軌道，在最高位置處留一缺口.缺口處安裝光電門計時裝置，圓弧軌道右側平滑連接一斜面軌道.

圖1 裝置簡圖

圖2 實物圖

2.2 實驗原理

雖然空氣阻力能夠影響水平切向的時間測量，進而影響到速度大小.但由于時間間隔極短，影響有限.因小球在缺口處沒有豎直方向上的速度，空氣阻力對向心加速度沒有貢獻，因而能夠有效減小空氣阻力對豎直方向上重力加速度測量的影響.

3 實驗方案

3.1 實驗思路

為了驗證我們的設想，即該方法能夠有效減小空氣阻力對測量的影響.特地選擇了大小幾乎相同的小鋼球和輕質塑料小球，做了3組實驗數據.并把實驗結果進行如下對比：(1)把小鋼球與輕質塑料小球用此方法測量的結果和當地官方公布的精確重力加速度做對比；(2)把輕質塑料小球用此方法測得結果和用落球法測量的結果進行對比，根據對比總結得出結論.

3.2 實驗步驟

把圓周軌道裝置固定好，在缺口處安裝好光電門裝置.把重錘線放下來確保最高缺口處水平.用游標卡尺測小球直徑d，用卷尺測出軌道半徑R，多次測量求平均值.

多次實驗在右側軌道上找到恰當位置，在該位置處釋放小鋼球，小球恰能從管道中心處越過缺口進入對側圓管軌道中.實驗時用手機錄像回放確保小球在最高點處速度是水平的且恰好正對通過.記錄每次小球通過光電門的遮光時間Δt.重復以上步驟10次，并記錄數據.

換同等大小的輕質塑料小球，再重復以上步驟10次，并記錄數據.

再用落球法測定輕質塑料小球重力加速度：調節好裝置設定下落高度h，無初速度釋放小球，記錄小球通過光電門的遮光時間Δt，重復10次.

4 實驗數據及處理

記錄實驗測量數據如表1、表2和表3所示.

表1 小鋼球做圓周運動測量數據

表2 塑料小球做圓周運動測量數據

表3 塑料小球做初速為零的自由下落運動測量數據

軌道半徑算術平均值

A類不確定度

B類不確定度

合成不確定度

相對不確定度

用同樣的方法求出表1、表2其他測量數據的不確定度并填入表格，如表4所示.

表4 圓周法直接測量數據的不確定度計算

將小鋼球測量數據平均值代入公式

得

合成相對不確定度

總合成不確定度

重力加速度結果

g=(9.81±0.15) m/s2

用同樣的方式處理塑料小球，得重力加速度

g=(9.51±0.14) m/s2

合成不確定度

Δg=0.05 m/s2

g=(7.74±0.05) m/s2

5 分析與總結

查資料得知本地重力加度大小為g=9.80 m/s2.小鋼球利用圓周運動法測得重力加速度g=(9.81±0.15) m/s2.與本地真實重力加速度相對誤差為0.11%，誤差極小說明本實驗所設計方法科學可行.即便用輕質塑料小球，采用圓周運動最高點法測得重力加速度g=(9.51±0.14) m/s2，與真實值誤差僅為2.96%.

用落球法測得輕質塑料小球重力加速度g=(7.74±0.05) m/s2，與真實值誤差達到21.0%，說明輕質塑料小球豎直下落時空氣阻力對測量影響很大.而相比之下，同樣的塑料小球，用圓周運動法得重力加速度g=(9.51±0.14) m/s2，與真實值誤差僅為2.96%.說明此方法能夠有效減小空氣阻力的影響.

通過對比也能發現，同樣大小的小鋼球和輕質塑料小球用圓周運動法測量，塑料小球偏差更大些，這說明水平方向的空氣阻力對測量是有影響的.空氣阻力通過影響小球通過光電門的遮光時間，進而影響切向速度大小的精確計算.在一定程度上影響豎直方向上的重力加速大小的測量，這也是本實驗方法主要的誤差來源.

但在時間間隔趨向于零時能夠有效減小誤差，本實驗中時間間隔在毫秒級別，而小球直徑也僅為十幾毫米，能使空氣阻力影響的因素得到有效控制.對比當地真實的重力加速度，即使是用受空氣阻力較大的塑料小球也能得到相對精確的測量結果.說明此方法切實有效地減少了空氣阻力對測量的影響，即驗證了前面理論上的設想和推導.