用Geogebra 軟件中“序列”指令巧解物理中的重復性問題

張曉麗 謝恩東

(安慶市第一中學 安徽 安慶 246003)

Geogebra官網對“序列”是這樣描述的：Sequence[ , , , , ]，其中文意為：序列(表達式，變量，初值，終值，增量)，其中表達式可為指令、函數、隱式曲線等.“序列”指令可以對其“表達式”按“變量”重復執行，可以很好地解決物理中的重復性問題，下面從線、面、體3個層面分別介紹“序列”指令的應用[1].

1 圖線中的重復性問題

運動學中經常會出現較復雜的運動，通常我們用圖線來輔助解決此類問題，如果物體的運動具有周期性，則圖線也應具有周期性，可以用“序列”指令輔助作圖.

【例1】一湖南、北兩岸各有一碼頭A和B，有甲、乙兩船分別于A和B間往返穿梭勻速航行，且船每到一碼頭立即返航．某時刻，甲和乙剛好同時分別自A和B出發，此后，兩船的第一次相遇點距A碼頭300 m，第二次相遇點距B碼頭200 m．問：

(1)湖寬是多少？

(2)自第一次相遇后，甲船至少還要航行多少航程，這兩船才會在第一次相遇的位置相遇？

分析與解：(1)設湖寬為L，甲、乙兩船的速度分別為v1和v2,設第一次相遇的時間為t，所以

v1t=300 mv1t+v2t=L

解得

同理第二次相遇

解得

(2)圖1是物體運動的x-t圖線，若兩船在第一次相遇位置相遇，甲的路程必須滿足

x甲=1 400k或x′甲=1 400k′+800

乙的路程必須滿足

x乙=1 400n或x′乙=1 400n′+600

兩船運動時間相同，由于路程的不確定性，需分情況討論.

圖1 物體運動的x-t圖

題中兩船在第一次相遇的位置相遇時，甲船至少航行x′甲=3 600 m，對應情形2)，如圖1中P點.

拓展：若題中要求“第一次相遇的位置同樣地相遇”，則相遇時兩船與第一次相遇時必須有相同的速度方向，對應情形1)，如圖1中Q點，甲船至少航行x甲=4 200 m.

制作方法：

(1)描點A，B，C，D，E，F，作出線段g，h，i，j，作出向量AF(v)、BE(u).

(2)指令欄依次輸入：序列(平移(g,ku),k,1,4)、序列(平移(h,ku),k,1,4)、序列(平移(i,kv),k,1,5)、序列(平移(j,kv),k,1,5)，得到兩船運動的x-t圖線，如圖2所示.

圖2 利用“序列”指令得到的兩船x-t圖

(3)隱藏不必要對象，再描出相遇點，設置好相關屬性后效果如圖1所示.

2 平面內軌跡的重復性

研究物體運動規律時經常會出現運動軌跡的重復性問題，其中以帶電粒子在磁場中運動出現最多.

【例2】一臺質譜儀的工作原理如圖3所示.大量的甲、乙兩種粒子飄入電壓為U0的加速電場，其初速度幾乎為零，經過加速后，通過寬為L的狹縫MN沿著與磁場垂直的方向進入磁感應強度為B的勻強磁場中，最后打到照相底片上.已知甲、乙兩種粒子的電荷量均為+q，質量分別為2m和m，圖中虛線為經過狹縫左、右邊界M、N的甲種粒子的運動軌跡.不考慮粒子間的相互作用.

(1)求甲種粒子打在底片上的位置到N點的最小距離x；

(2)在答題卡的圖中用斜線標出磁場中甲種粒子經過的區域，并求該區域最窄處的寬度d；

(3)若考慮加速電壓有波動，在(U0-ΔU)～(U0+ΔU)之間變化，要使甲、乙兩種粒子在底片上沒有重疊，求狹縫寬度L滿足的條件.

圖3 例2題圖

分析與解：(1)設甲種粒子在磁場中的運動半徑為r1，電場加速

且

根據幾何關系

x=2r1-L

解得

(2)如圖4所示，最窄處位于圖形中間

圖4 甲種粒子經過的磁場區域最窄寬度

解得

(3)設乙種粒子在磁場中的運動半徑為r2，r1的最小半徑

圖5 重疊情形

圖6 臨界情形

不重疊應滿足

2r1min-2r2max>L

即

解得

制作方法：

(1)在x軸上描點M，N，位置均可沿x軸移動；

(2)輸入：序列(半圓((x(M)+k,0),(x(M)+k+16,0)),k,0,x(N)-x(M),0.1)，得到序列l1表示一簇從MN射入的甲粒子軌跡，如圖4所示；

(3)輸入：序列(半圓((x(M),0),(x(M)+k+16,0)),k,-1,1,0.1)，得到序列l2表示一簇從M射入因電壓波動的甲粒子軌跡；輸入：序列(半圓((x(N),0),(x(N)+k+12,0)),k,-1,1,0.1)，得到序列l3表示一簇從N射入因電壓波動的乙粒子軌跡，如圖5所示；

(4)改變N的位置可以得到臨界情形，如圖6所示；

(5)“序列”指令還可結合其他指令處理帶電粒子在磁場中運動的周期性問題，圖7是“序列”指令結合“平移”得到的粒子的軌跡(2019年高考江蘇卷第16題)，圖8是“序列”指令結合“旋轉”得到的粒子的軌跡.

圖7 “序列”結合“平移”粒子軌跡

圖8 “序列”結合“旋轉”粒子軌跡

3 三維運動的頻閃照片

頻閃照片是采用每隔相等的時間間隔曝光一次的方法，在同一張相片上記錄物體在不同時刻的位置，能很好地反應物體的運動特點，頻閃照片的物理原理與打點計時器記錄物體的運動特點是相同的.用“序列”指令可輕松得到頻閃圖.

【例3】如圖9所示，豎直圓筒內壁光滑，半徑為R，上部側面A處開有小口，在小口A的正下方h處亦有與A大小相同的小口B，小球從小口A沿切線方向水平射入筒內，使小球緊貼筒內壁運動，要使小球從B口處飛出，小球進入A口的最小速率v0為( )

答案：B.

圖9 例3題圖

圖10 小球能從B口飛出 圖11 小球不能從B口飛出

對比圖10和圖12及圖13，可知當n=1時，v0取最小值，所以最小速率

圖12 小球沿內壁運動n圈從B口飛出

圖13 小球沿內壁運動1圈從B口飛出

制作方法：

(1)切換到3D視圖，繪制一個高為5、半徑2的圓柱體表示圓筒；

(2)創建滑動條v表示物體的速度；

(3)指令欄輸入：序列((2cos(-2πvt+π),2sin(-2πvt+π),5-5t2),t,0,1,0.005)，得到的頻閃圖.程序部分截圖如圖14所示，改變v可以看出動態變化.

圖14 程序部分截圖