GeoGebra在驗證猜想中的應用

俞 翔 李 更

(寧波市奉化區江口中學 浙江 寧波 315504)

物理教師應用GeoGebra軟件輔助教學的能力日漸嫻熟，由《物理通報》近幾年發表的文獻可見微知萌，在2017至2019年共有文獻4篇，2020年有文獻6篇，2021年截至4月已有4篇.縱觀這些文獻，GeoGebra多應用于物理場景的建立和疑難問題可視化的研究，如陳林老師借助3D繪圖實現對電場電勢的三維建構，艾亮老師利用微積分思想研究v-t圖像中的面積.現就一改編題，借助GeoGebra應用于對未知規律的探尋和驗證.

1 等時圓模型的應用

【例題】如圖1所示，ad,bd,cd是豎直面內3根固定的光滑細桿，a,b,c,d位于同一圓周上.每根桿上都套著一個小滑環(圖中未畫出)，3個滑環分別從a,b,c處釋放(初速為零)，用t1,t2,t3依次表示滑環到d所用時間，則( )

圖1 例題圖

A．t1t2>t3

C．t3>t1>t2D．t1=t2=t3

解析：鑒于d點并非圓周的最高點和最低點，要應用等時圓模型，需構建等時圓.以d點為圓周的最低點，過b點做圓，如圖2所示.此圓與ad和cd軌道相交于a′和c′，由等時圓模型的規律可知，若小滑環自a′，b和c′由靜止開始下滑至d點所用的時間相等.從而可見，自ad下滑的時間t1小于自bd下滑的時間t2.同理，自bd下滑的時間t2小于自cd下滑的時間t3.所以，選項A正確.

圖2 借助等時圓模型巧解例題

2 等時圓模型的拓展

由于題目中并未明確表明d點的位置，不妨將d點向下移動，如圖3所示.

圖3 研究普適規律

移動d點并不會變更題目本意，即應有不變的結果t1

圖4 滑軌處于圓心側上方

得

對于確定的d點而言，β為定值，所以當α角度逐漸減小時，t值增大.

如果ad弦低于圓心O，如圖5所示，則有

當α角度逐漸減大時，t值仍增大.

圖5 滑軌處于圓心側下方

從而可見，只要落點d相同，開始下滑的位置越高，所用時間越小，即始終有t1

3 問題的產生 猜想與論證

“圓時間規律”的結論t1

細細推敲等時圓模型的規律和“圓時間規律”均沒有問題.猜想在d點下移的過程中，盡管下滑的時間會變化，且各軌道所用時間t1,t2,t3不等，但與之同時t1,t2,t3之間的差值在逐漸減小.

為驗證猜想，采用GeoGebra制作動畫研究時間差.做一個半徑為5的圓，并按題設在圓周上取a,b,d點建立下滑軌道，設置頂角γ用以記錄d點在圓周上位置的變化，d點越接近于圓周最低點，角度γ越小.借助Length指令獲取兩個軌道長度，借助角度工具獲取斜面傾角.利用勻變速運動公式計算下滑時間，并求時間差，如圖6和表1所示.

Δt=t2-t1=1.86 s-1.56 s=0.3 s

圖6 圓和軌道

表1 通過軟件獲取研究所需數據

在d點代數區設置其“增量”為5，“速度”為3的情況下啟動動畫.觀察d點下移過程中，不同軌道下滑的時間差，并借助“記錄到表格”功能以獲得數據列表.從數據清晰可見，伴隨著d點的下移，γ角趨向于零，t1與t2的數值逐漸逼近，即Δt=t2-t1趨向于零.

將動點d的“速度”降低到0.1，以獲取更多的數據，并在GeoGebra中以Δt為橫坐標，γ角(弧度值)為縱坐標創建點陣，如圖7所示.由圖7可見，在d點下移到最低點的過程中，通過不同軌道下滑的時間差趨向于零.

通過研究可知，若在圓周一側取一位置略低的d點，作為斜面底邊的端點，從圓周另一側選取一些點作為光滑斜面的頂點，讓物體自各頂點下滑，下滑的時間和各頂點到d之間的高度差有關，高度差越大，時間越小.其成立的條件是d點不能是圓周的最低點.

圖7 γ-Δt點陣

該測試題改編自2004年高考全國理綜卷Ⅰ，原題中“d點為最低點”，正確選項是D.借助于GeoGebra的探究，也發現改編題默認d點為一側點的做法略有不當，在試題中增加一條“d點非最低點”的條件，讓試題更為嚴謹.