重申“位置-時間關系”本質內涵的必要性
——兼談“坐標系意識”淡化的隱憂

楊振東 高寒萱

(廣西師范大學物理科學與技術學院 廣西 桂林 541004)

高中物理教學中，習慣性地將質點運動學中的x-t關系及其圖像籠統地稱為“位移-時間關系”與“位移-時間圖像”；而教學實踐表明，在處理部分運動學問題時，不得不將其解釋為“位置-時間關系”“位置-時間圖像”.如果不能對上述兩種說法的聯系與區別作出明確的辨析，教學中將會引發出諸多疑難問題.有鑒于此，我們從x-t關系的本質內涵出發，對其中的困惑作出澄清與討論.

1 由“位移-時間關系”引發的困惑

如圖1所示是中學階段“追及問題”典型的x-t圖像，思維縝密的學生會問：如果x-t圖是位移-時間圖像，那么縱軸坐標表示位移.而當t=0時x=x0，豈非意味著甲尚未開始運動卻已經有了x0大小的位移？其次，t=t0時刻圖像出現交點，是表示甲、乙此刻在同一位置處相遇，還是二者在這段時間內具有相同的位移？事實上，這些疑惑的本質是在追問：究竟x的本質內涵是位置還是位移？二者是不同的物理量，為什么要劃上等號？平心而論，每一個具有理性思維的學生都難免產生上述疑惑，而困惑的源頭正是受到“位移-時間關系”“位移-時間圖像”等說法的干擾.

圖1 追及問題中的x-t圖像

毋庸諱言，這一問題不僅出現在學生中，教師群體中陷入誤區的人也并不在少數.一個典型的例子是，部分教師在教學中聲稱“速度是位移x對時間t的一階導數”，這也是將x與t的函數關系籠統視為“位移-時間關系”產生的典型誤解，其科學性有待商榷.

2 對x-t關系本質內涵的澄清

運動學最原始的問題是如何確定物體在空間中的位置.當質點沿直線運動時，可選取該直線建立一維坐標軸.質點的位置可用坐標x表示.若質點位置發生變化，則坐標x發生相應變化.質點位置與時間的關系可表示為x=x(t)，即x-t關系.該函數關系即質點的運動學方程.需要強調的是，此處x表示質點所處位置的坐標，因此x-t本質內涵是表示質點位置坐標x隨時間t的變化關系.如圖2所示，t時刻物體位于x(t)位置處，經Δt時間后質點位于x(t+Δt)位置處，從x(t)處引一矢量至x(t+Δt)處，這一矢量稱為位移矢量，簡稱位移.位移可用帶正負號的量Δx=x(t+Δt)-x(t)表示.Δx為正值，位移與x軸正方向相同；Δx為負值，位移與x軸正方向相反.

圖2 一維坐標系中質點的位置與位移

如果已知質點速度隨時間的變化關系v=v(t)，同時當t=0時刻質點位于x0位置處，那么可以得到其x-t關系

對于勻變速直線運動而言

v(t)=v0+at

上式積分結果為

這正是勻變速直線運動的運動學方程，它表明了做勻變速直線運動時，質點的位置坐標x隨時間t的變化關系.

高中階段為簡化討論，往往選擇質點的初始位置作為坐標原點，即可使得x0=0，這樣t時刻質點的位置坐標x(t)就能夠間接表示質點在Δt時間間隔內的位移Δx.即

也就是說，這種情形下同一個物理符號x“身兼二職”，既表示其本質內涵“質點位置(坐標)”，也表示運動過程“質點的位移”.需注意的是，當且僅當初始位置作為坐標原點，即滿足t=0，x=0時，“位置-時間關系”才能簡化理解為“位移-時間關系”，因此不能毫無限制地將二者劃上等號.事實上，這一點在2019版普通高中教科書物理必修第一冊中已經作出說明：物體在每一時刻的位置或每一時間間隔的位移可以用x-t圖像直觀地表示，在直角坐標系中選時刻t為橫軸，選位置x為縱軸，其上的圖線就是位置-時間圖像.如果將物體運動的初始位置作為位置坐標原點O，則位置與位移大小相等(x=Δx)，位置-時間圖像就成為位移-時間圖像[1].

應當承認，采取這樣的簡化方式將“位移”這一過程量間接通過狀態函數表達出來，回避了從“位置”到“位移”的“轉譯”過程，在一定程度上使質點的運動學規律表現得更加精煉.然而，這也不可避免地引發負面效應——如果不加限制地將x稱為“位移”，會造成對“位置”這一本質內涵的遮蔽，使學生對運動學規律停留在朦朧的、似是而非的認識階段.如果跳出特定的適用情形，仍然持這一認識，將對學生處理問題造成困擾，甚至阻礙.這需要我們在教學中作出明確的辨析.

另一個需要澄清的問題是速度與位移間的關系.當時間間隔Δt趨近于零時，位移Δx與時間Δt的比值用以精確描述質點運動的快慢，這一極限亦可用數學中的微商表示，即

數學上將其稱為x對t的導數.值得注意的是，式中的dx作為dt時間內的元位移，實際是位置坐標的微分，即

dx=x(t+dt)-x(t)

而非位移的微分.因此,嚴謹、科學的表述應為“速度是質點位置(坐標)x對時間t求一階導數的結果”.對于三維空間的曲線運動，我們在建立空間直角坐標系后，往往說“速度矢量是位置矢量對時間求導的結果”，正是同樣的道理.位移本身是過程量而非狀態量，它不能作為時間的函數；在數學中亦不存在過程量的全微分，更無法對時間作微商運算，所謂“位移對時間求導”的說法是不科學、也不可取的，在教學中理應規避.

3 “位置-時間關系”的應用優勢

不少人認為，將x-t關系解釋為“位移-時間關系”，也許理解上并不嚴謹，但處理問題時能獲得更大的便利.我們認為，這樣的觀點有失偏頗.在某些情況下，持“位置-時間關系”的本質理解，反而更能夠簡化問題求解的思路與步驟.下面以兩個實際問題為例作出探討.

【例1】物體從距地面高4.9 m處以初速度v0=9.8 m/s豎直上拋，求落地時間.

圖3 豎直上拋運動

方法一：對物體運動過程進行分段處理.設物體經t1時間后到達最高點，則有

v0-gt1=0

最高點距拋出點的距離為

設物體從最高點落至地面經歷時間為t2，

因此，落地時間為

方法二：如圖3所示，以拋出點為坐標原點，豎直向上建立一維坐標系.則落地時刻坐標為-H，因而有

第二種方法亦被稱為“坐標法”，其本質是將x-t函數關系視為“位置-時間關系”.相較之下，坐標法有效回避了對勻變速直線運動過程的考查，而能夠對物體某一時刻的位置下定論，其處理問題的思路顯然更具有簡潔性.

【例2】在距離地面H=45 m處豎直上拋一個小球，經3 s后，在地面處以同一初速度豎直上拋一個小球.兩球在離地面高度5 m處相遇.求：(1)相遇時距第二次拋出小球經過的時間；(2)拋出兩球的初速度.(g取10 m/s2)

典型的思路是分階段考慮第一個球前3 s的位移、第3 s的速度，再討論此后兩球的運動過程及相遇時各自的位移.由于運動過程涉及多個階段，對于大部分學生而言，理清思路存在一定困難.但如果嘗試用“位置-時間關系”的視角來處理這一問題，將能有效減少繁雜的分析和推理過程，問題也將迎刃而解.

解：取地面為坐標原點，向上建立一維坐標系.設初速度為v0，待求時間為t，相遇位置處的坐標為y=5 m，則有

解得

t=±1 s

舍去負根得

t=1 sv0=10 m/s

4 “坐標系意識”淡化的隱憂

事實上，當大多數人“想不到”用坐標法來處理問題時，已經昭示著我們在質點運動學章節的教學中存在某種疏漏.筆者認為，這種疏漏正是我們在處理問題時一味地用“位移”替代“位置”所致.這是因為，對于一個確定的運動過程，當參考系選定后，無論怎樣建立坐標系，都不會影響到位移的大小與方向.當我們直接通過運動學公式求解出位移大小，并結合初、末位置判斷出位移方向時，就逾越了建立坐標系的步驟，久而久之將造成“坐標系意識”的淡化.因此，不少人感覺到，“坐標系”僅僅作為質點運動學篇章開宗明義的第一講，被教師以“短、平、快”的教學方式一筆帶過，其后逐步消失在師生的視野中.

對于上述現象，部分教師認為，淡化坐標系的建立過程是消除冗余、“熟能生巧”之舉.然而我們擔憂，忽略掉必要的建系步驟會“弄巧成拙”，引起學生不良的思維“跳步”，為后續的學習埋下了隱患.這表現在3個方面.第一，在中學物理學習階段，常用的坐標系有3種：直角坐標系、斜交坐標系、自然坐標系，在不同情境中靈活選擇建系方式與坐標原點，在解決問題時可以發揮獨到的作用，有效簡化運算過程.用“位移”代替“位置”的做法，逾越了建立坐標系的步驟，處理問題時無疑損失了一項重要的工具.第二，涉及多個物體或多個過程的復雜運動，只有建立好確定的坐標系才能化繁為簡，把一個復雜的物理過程解剖為若干部分，并就各部分遵循的物理規律列出同一個坐標系下的方程，以建立方程組進而聯立求解未知量.不重視坐標系的建立，建立的方程失去了統一的標準，在聯立時容易造成混亂，無疑為正確處理問題加大了阻力.第三，只有建立坐標系才能將矢量式轉化為分量式，用代數運算代替矢量運算.例如，在運用動量定理時，將沖力、沖量以及初、末動量與坐標系的正方向進行比較，確定它們應取的正負號，才可列出動量定理在某一方向的分量式，將矢量運算轉化為代數運算.若學生沒有形成“坐標系意識”，則無法透徹理解分量式的方向性，列式時往往容易出現隨意添抹正、負號的現象.

綜上所述，我們認為x-t關系所體現的“位置-時間關系”是“坐標系意識”的反映，除運動學規律外，x-t關系本身還承載著更深刻的建立坐標系、精準描述物體位置的功用.因此，對“坐標系”作用的闡述絕不該一筆帶過，反而應在質點運動學x-t關系的學習過程中逐步滲透、深化理解.否則學生對質點運動學規律的理解就可能是片面或畸形的，同時還會為后續學習埋下隱患.這一點希望教學者能納入考量.