受擾網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定性分析與控制設(shè)計

姚 合 軍

安陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南 安陽 455000

伴隨著通訊網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)被引入到控制系統(tǒng)中來，不僅減少了系統(tǒng)連線，而且降低了系統(tǒng)成本，網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)也應(yīng)運而生并成為國內(nèi)外控制界研究的熱點之一[1-5]．

針對網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的研究大多集中在網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時延、數(shù)據(jù)包丟失、網(wǎng)絡(luò)帶寬受限等方面[6-7]，而且關(guān)于網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)穩(wěn)定方面的研究主要采用Lapunov穩(wěn)定性理論討論系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性，對系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定性的研究卻較少[8]．在實際工程中，由于網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的工作時間一般比較短暫，人們除了對系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性感興趣外，更關(guān)心的往往是系統(tǒng)滿足一定的暫態(tài)性能要求．因此，對網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的有限時間性能分析與控制綜合就顯得尤為重要．

上世紀(jì)50年代，文獻[9]率先提出了短時間穩(wěn)定的概念．隨后，文獻[10]在有限時間理論中引入線性矩陣不等式方法，極大地推動了有限時間理論的發(fā)展．文獻[11]將網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)定義為帶有丟包和時延等網(wǎng)絡(luò)缺陷的控制系統(tǒng)，利用Bernoulli分布序列對帶有隨機丟包的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)進行建模．在此基礎(chǔ)上，利用線性矩陣不等式方法，得到系統(tǒng)有限時間有界的充分條件．文獻[12]建立了具有范數(shù)有界擾動的線性離散時延系統(tǒng)魯棒有限時間穩(wěn)定的充分條件，并利用線性矩陣不等式方法給出了時延相關(guān)的充分條件．文獻[13]研究了不確定非完整系統(tǒng)的有限時間鎮(zhèn)定問題．上述研究成果主要針對傳統(tǒng)的點對點系統(tǒng)，關(guān)于網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定性分析及控制方面的結(jié)果卻極少見報道．文獻[14]研究了一類具有短時變時延和采樣抖動的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的有限時間控制問題，利用魯棒控制方法解決有限時間穩(wěn)定性問題．文獻[15]把預(yù)測控制方法引入到網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中，得到了有限時間穩(wěn)定的充分條件．

然而，以往為數(shù)不多的關(guān)于網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)有限時間控制的研究結(jié)果也是針對確定性網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的研究，缺少對外界干擾、網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時延、數(shù)據(jù)包丟失等因素的分析．因此，研究受擾網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定性分析與控制問題具有較強的實際意義．本文旨在研究外界干擾影響下網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的暫態(tài)性能分析與控制設(shè)計問題．利用有限時間理論和線性矩陣不等式方法，探尋系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定性條件及控制器設(shè)計方法，為減少外界干擾對網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的影響、提高系統(tǒng)暫態(tài)性能提供有效方法與途徑．

1 時延網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)模型建立

考慮如圖1所示的不確定網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)

圖1 經(jīng)典網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)

(1)

其中： 常數(shù)矩陣A，Ah∈Rn×n，B∈Rn×m，B1∈Rn×l是系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣和控制矩陣；x(t)∈Rn代表系統(tǒng)狀態(tài)；u(t)∈Rm代表控制；h代表系統(tǒng)狀態(tài)時延；ω(t)∈Rl代表滿足下面不等式條件的外部干擾

ωT(t)ω(t)≤d，d≥0

(2)

ΔA(t)，ΔAh(t)∈Rn×n，ΔB(t)∈Rn×m，ΔB1(t)∈Rn×l是代表不確定性的未知矩陣滿足

ΔA(t)=D1F(t)E1ΔAh(t)=D2F(t)E2

ΔB(t)=D3F(t)E3ΔB1(t)=D4F(t)E4

其中D1，D2，D3，D4，E1，E2，E3，E4是具有合適維數(shù)的常數(shù)矩陣，F(xiàn)(t)是具有合適維數(shù)的未知時變矩陣滿足

FT(t)F(t)≤I

由于網(wǎng)絡(luò)媒介的引入，不可避免會出現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時延τ=τsc+τca，因此網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(1)變?yōu)?/p>

(3)

設(shè)計網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(3)的狀態(tài)反饋控制器如下

u(t)=Kx(t)

(4)

其中K是待定的未知常數(shù)矩陣．則閉環(huán)系統(tǒng)為

(5)

其中

2 主要結(jié)果

2.1 有限時間鎮(zhèn)定條件

引理1[16]對已知的常數(shù)ε>0和矩陣D，E，F(xiàn)，其中F滿足FTF≤I，則下面矩陣不等式成立

DEF+ETFTDT≤εDDT+ε-1ETE

引理2[6]線性矩陣不等式

等價于

R(x)>0，Y(x)-W(x)R-1(x)WT(x)>0

其中Y(x)=YT(x)，R(x)=RT(x)為對稱矩陣．

定理1對已知常數(shù)c1，c2，T>0(c1

(6a)

(6b)

其中λmax( )和λmin( )分別代表最大、最小特征值，

證對網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(3)，選取如下Lyapunov泛函

(7)

沿閉環(huán)系統(tǒng)(5)的狀態(tài)軌跡，有

其中

由條件(6a)，可得

(8)

在(8)式左右兩邊乘以e-αt得到

從而

從0到t進行積分得到

(9)

(10)

另外，容易知道

(11)

由(10)和(11)，可得

(12)

由條件(6b)和不等式(12)得到

xT(t)Rx(t)≤c2?t∈[0，T]

注1基于有限時間穩(wěn)定性理論，利用線性矩陣不等式方法，把網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(1)有限時間穩(wěn)定性條件轉(zhuǎn)化為定理1中的矩陣不等式(6a)和一個不等式約束(6b)．然而，由于(6a)是非線性的，因此不能借助MATLAB軟件進行直接求解，需要進一步進行等價變換．

2.2 有限時間控制器設(shè)計

(13a)

λ1R-1

(13b)

(13c)

(13d)

0

(13e)

(13f)

成立，則網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(3)是(c1，c2，T，R，d)有限時間鎮(zhèn)定的，其中

證下面主要證明矩陣不等式(6a)等價于線性矩陣不等式(13a)．

把式(5)代入(6a)得到

(14)

其中

Ξ=PA+ATP+Q+T-αP+PΔA(t)+ΔAT(t)P

由引理1可知不等式(14)等價于

(15)

其中

由引理2可知不等式(15)等價于

(16)

其中

在不等式(16)兩邊分別乘分塊對角矩陣

diag{P-1，P-1，P-1，I，I，I，I，I}

可知不等式(6a)等價于

(17)

其中

由不等式(13b)-(13e)可知

(18)

由引理2可知不等式(13f)等價于

(19)

由(18)式和條件(6b)可得

(20)

由不等式(19)-(20)，容易知道不等式(6b)成立．

注2在定理2中，利用矩陣不等式技術(shù)把定理1中的非線性矩陣不等式等價轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式組(13a)-(13f)，從而可以借助MATLAB軟件直接求解，也正因為此，定理2的結(jié)論更加方便地適用于工程實際，具有一定的實際應(yīng)用價值．

3 仿真算例

算例1在不確定網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(3)中選取系統(tǒng)參數(shù)如下

選取c1=0.5，α=0.8，T=2，R=I2，求解線性矩陣不等式(13)，得到狀態(tài)反饋控制器

選取初始條件為

得到系統(tǒng)狀態(tài)仿真結(jié)果如下圖2，3．

由圖2，3，系統(tǒng)狀態(tài)在8 s時間內(nèi)收斂于0，因此系統(tǒng)狀態(tài)是有限時間穩(wěn)定的．

圖2 狀態(tài)x1(t)的響應(yīng)曲線圖

圖3 狀態(tài)x2(t)的響應(yīng)曲線圖

從而得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間形式

其中

考慮到系統(tǒng)可能會受到不確定性外界干擾和執(zhí)行器傳輸時延的影響，考慮如下形式的2自由度振動系統(tǒng)

其中

利用PID控制方法進行MATLAB仿真模擬，用于建模和仿真的主動懸架參數(shù)如下

m1=300 kg，m2=50 kg，k1=16 000 N/m，k2=1 000 N/m，b=1 200 N·s/m

采用階躍信號作為系統(tǒng)的參考輸入，通過改變P值來實現(xiàn)PID控制對主動懸架的影響．為了比較PID控制器對系統(tǒng)狀態(tài)的仿真結(jié)果，采用本文提出的方法求解線性矩陣不等式(13)，得到狀態(tài)反饋控制器

u(t)=2Kx(t)=[-1.989 6 0.124 5]x(t)

分別選取P=-200，-300，-400，對系統(tǒng)進行仿真，同時利用定理2中算法進行仿真，得到模擬加速度和時間之間的關(guān)系如圖4所示．

圖4 加速度與時間的關(guān)系

從圖4中可以看出懸架輸出的最大幅度范圍隨P絕對值的增大而減小．通過調(diào)節(jié)P值，PID控制可以有效地吸收懸架的振動輸出．但隨著P的絕對值逐漸增大，系統(tǒng)振動頻率也趨于增大，使得系統(tǒng)的收斂時間增大，穩(wěn)定性變差．因此，PID控制雖然能夠有效地吸收懸架的振動輸出，但不能保證系統(tǒng)的收斂速度．圖中點劃線是利用定理2中算法得到的狀態(tài)響應(yīng)曲線．從圖4可以看出，點劃線的收斂速度和平滑程度都比虛線好．結(jié)果表明，該控制器能有效地改善系統(tǒng)的動態(tài)性能，本文提出的算法優(yōu)于PID控制方法．

4 結(jié) 論

本文把有限時間穩(wěn)定性分析與控制方法引入到網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中，主要做了如下工作： 充分考慮到網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時延對系統(tǒng)的影響，建立更加切合實際的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型；結(jié)合有限時間穩(wěn)定性理論，利用線性矩陣不等式方法探尋系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定的充分條件；利用矩陣不等式變換技巧把非線性的穩(wěn)定性條件等價轉(zhuǎn)化為線性的矩陣不等式組形式，并同時得到了系統(tǒng)有限時間狀態(tài)反饋控制器設(shè)計方法．由于得到的條件可以通過MATLAB十分方便地求解，因此該方法更加容易應(yīng)用到工程實際．下一步的工作將嘗試對帶有數(shù)據(jù)包丟失的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)進行研究．