角接觸球軸承的罰函數粒子群算法優化設計

胡啟國，杜春超，吳明欽，楊學蛟，曹歷杰

(1. 重慶交通大學，機電與車輛工程學院，重慶 400074； 2. 川慶鉆探工程公司 安全環保質量監督檢測研究院， 四川 廣漢 618300)

0 引 言

雙列角接觸球軸承被廣泛運用于旋轉機械中，高效、安全運行能直接保障系統的正常運行，因此開展雙列角接觸球軸承優化研究具有一定的意義。

目前，很多學者對軸承進行了研究，分別從軸承的結構、失效機理和可靠性[1]等方面出發，考慮不同因素對軸承性能的影響。軸承結構復雜，優化參數能使軸承具有更好的性能。黃鵬等[2]以單位承載能力下總功率損失最小作為優化目標函數，采用粒子群優化算法對磨床砂輪主軸靜壓軸承進行優化，明顯改善了軸承的綜合性能；馮吉路等[3]提出以軸承最小生熱率為優化目標函數，采用Kriging算法和粒子群算法(particle swarm optimization，PSO)相結合的混合算法對軸承的結構參數進行優化，取得了較好的設計結果，提高了設計效率；考慮粒子群算法在目標函數比較復雜時，其容易陷入局部最優解，尤其是當目標函數存在多峰極值時，更易陷入局部最優的情況，徐向陽等[4]提出了一種改進自適應權重PSO算法，并利用懲罰函數處理約束問題，對行星齒輪傳動系統進行多目標優化設計，結構參數優化后具有更高的傳動效率；李奇等[5]提出多目標優化方法，采用改進粒子群算法對混合動力系統重量和體積的多目標優化參數匹配計算，得到了最優解；羅天宇等[6]推導了角接觸球軸承的軸向剛度計算公式，并以軸承剛度為目標函數進行優化，結果表明，在滿足壽命的前提下，適當增加滾珠直徑減少滾珠數量；程超等[7]建立了雙列角接觸球軸承結構優化的數學模型，采用免疫算法對其主要結構參數進行優化設計，并通過遺傳算法對比分析，其優化結果優于遺傳算法。利用傳統粒子群算法進行結構參數優化，粒子向個體最優位置、全局最優位置移動的速度較緩慢，影響尋優效率，且當存在多目標優化問題時，傳統粒子群優化算法易陷入局部最優解等問題。

因此，筆者采用罰函數改進粒子群算法，以軸承額定動載荷和額定靜載荷多目標函數，對雙列角接觸球軸承結構主要參數進行優化設計。首先，建立軸承多目標優化數學模型，采用線性加權和法，解決粒子群算法在處理多目標優化問題上的缺陷；其次，在PSO中引入粒子隨機衰減因子，加快收斂速度，提高算法的全局搜索能力。最后，引入罰函數來處理約束問題，較好地實現了軸承優化設計，使額定動載荷和額定靜載荷得到了較大提高。

1 軸承優化數學模型的建立

在滾動軸承服役過程中，高額定靜載荷能改善軸承的承載能力和運行平穩性，能有利于延長軸承的疲勞壽命。因此，尋求軸承最優結構參數過程中，不僅要考慮軸承的動載荷疲勞失效，還需要考慮靜載荷不足引起的塑形變形失效，提高軸承承載能力和抗沖擊載荷的能力。

1.1 目標函數

軸承的優化設計是在不改變軸承裝配尺寸下，建立優化目標函數，通過求解目標函數，得到最優的軸承參數組合。筆者以基本額定動載荷和基本額定靜載荷為軸承優化設計的目標函數。

軸承的額定動載荷公式[8]如式(1)：

(1)

式中：bmov為動載系數；軸承列數l=2；接觸角α=30°；Z為單列滾珠數；dg為滾珠直徑；fc為其它相關系數(軸承類型、幾何參數等)，其一般表達式[9]為：

(2)

式中：γ為幾何參數，γ=dgcosα/Dgp；Dgp為滾珠的節圓直徑；fi、fe分別為內、外滾道溝曲率半徑系數。

當軸承滾珠直徑大于25.4 mm時，式(1)不再適用于計算軸承的額定動載荷。根據美國國家標準協會(ANSI)的推薦，球徑dg的冪指數由1.8改為1.4。而本研究中的球徑均未超過25.4 mm，根據式(1)計算是合理的。

由軸承設計理論和相關經驗可知，軸承內滾道和滾珠的接觸應力通常大于軸承外滾道和滾珠的接觸應力。因而以內圈和滾動體的接觸應力來確定球軸承額定靜載荷，軸承的基本額定靜載荷計算公式[9]如式(3)：

(3)

軸承在使用時對軸承的額定動載荷和額定靜載荷均有要求，只是在具體實際問題中所占的權重各不一樣。因此以C1為優化對象，其表示額定動、靜載荷的加權和，表達式為：

C1=β1C+β2Co

(4)

式中：β1、β2分別為C和Co的加權系數，滿足β1+β2=1。

滾動體和內圈的曲率差[9]計算如式(5)：

(5)

式中：ρⅠ1表示滾動體表面接觸點的第Ⅰ主曲面曲率；ρⅠ2表示內圈滾道表面接觸點的第Ⅰ主曲面曲率；ρⅡ1表示滾動體表面接觸點的第Ⅱ主曲面曲率；ρⅡ2表示內圈滾道表面接觸點的第Ⅱ主曲面曲率；∑ρ表示曲率和。曲率和∑ρ計算公式如式(6)：

(6)

在多目標優化問題中，各優化目標之間往往會相互矛盾。由式(1)～(3)可以看出，滾珠直徑和個數對軸承的額定動載荷和額定靜載荷影響各不相同，滾珠直徑對于軸承的額定動載荷影響較大，而滾珠個數對于軸承的額定靜載荷影響較明顯。因此，為了同時提高軸承的額定動載荷和額定靜載荷，必須要在滾珠的大小和個數之間作出折中。

1.2 設計變量

軸承的結構參數主要包括fi、fe、Z、dg和Dgp，將上述參數作為優化設計變量，如式(7)：

X=[x1,x2,x3,x4,x5]=[fi,fe, Z,dg,Dgp]

(7)

1.3 約束條件

軸承的主要參數優化變量應該滿足如下條件：

1)滾道溝曲率半徑約束

滾道溝曲率半徑系數與軸承軸徑向剛度、游隙、接觸角、摩擦力矩和保持架滑動率等密切相關，是影響軸承動態性能的重要結構參數。文獻[10]指出，曲率半徑取值應滿足小于0.535dg的條件。所以，約束條件如式(8)：

(8)

對于溝曲率半徑小于0.515dg的軸承設計，通常只要對其它4個結構參數進行優化設計即可。

2)滾珠直徑約束

Kg,min(D-d)/2≤dg≤Kg,max(D-d)/2

(9)

式中：Kg,min為直徑約束最小值；Kg,max為直徑約束最大值；D為外徑；d為內徑。滾珠直徑約束條件為：

(10)

3)保持架力學性能約束

為了使軸承具有較好的力學性能，應保證軸承內部滾珠數量，但保持數量充足的同時會造成保持架過梁寬度之間的矛盾。因此，對保持架進行約束條件如式(11)[10]：

u5(X)=πDgp-1.05dgZ-Zbmin≥0

(11)

4)滾珠組節圓直徑約束

為了保證軸承運行過程的旋轉靈活度，滾珠組節圓直徑與軸承平均直徑的差值不宜過大。因此，進行優化設計時，節圓直徑應大于軸承平均直徑，約束條件為：

(12)

5)外圈壁厚約束

參考軸承設計標準，軸承外圈溝底壁厚度應大于ξdg，其中，ξ為常數。約束條件如式(13)：

u8(X)=(D-Dgp-dg)/2-ξdg≥0

(13)

綜合以上分析及約束，可以得出角接觸球軸承主要參數設計多目標優化模型：

(14)

式中：f1(X)、f2(X)為第一、第二優化目標。

2 計算方法和程序

2.1 粒子群優化算法

標準PSO算法在每次迭代過程中，粒子個體和群體之間的位置和速度按照式(15)進行更新：

(15)

在PSO中，慣性權重ω為關鍵參數，較大的ω全局搜索能力增強，局部搜索能力降低，反之亦然，通過控制ω可以調整全局和局部搜索能力。在自適應粒子群算法中，ω為變量，是進化代數的減函數，ω隨著進化代數的增加而線性遞減，即：

(16)

式中：Tmax為最大迭代次數；t為當前迭代次數。

通過對PSO算法進行改進，增加隨迭代次數改變的粒子隨機衰減因子α、表示收斂速度快慢的參數β和表達更新常數μ，同時賦予其初始狀態參數值[5]，其中α可以表示為：

αk+1=αk·μ,α∈[0,1]

(17)

即每次迭代過程的α值滿足μ倍等比關系。

改進粒子位置的更新過程為：

(18)

式中：r為隨機數；S為取值區間大小。

2.2 懲罰函數

懲罰函數作為目前主要的約束優化處理方法之一，其核心思想是將約束優化問題轉化為無約束問題來求解，對不符合約束條件和試圖穿越約束邊界的非可行點予以懲罰，使其往可行域靠近。其構造思想是在原目標函數中加入懲罰項，從而得到一個增廣目標函數，由此將約束優化問題轉化為無約束優化問題。

對于優化問題〈A，f〉中，A為約束條件的可行解，f:A→Rn為目標優化對象，所以得出目標對象minf(x)求解表達式：

(19)

式中：Gj(x)≥0(j=1,2,…,m)為約束條件，其中，約束Gj(x)≥0與min[0,Gj(x)]=0等價。所以，可進行約束問題的等價替換，得出：

minf(x),x∈Rn

(20)

s.t. min[0,gj(x)]=0,j=1,2,…,m

(21)

(22)

式中：F(x,M)為懲罰函數；M為懲罰因子，是非負常數；Mp(x)為懲罰項；p(x)為懲罰函數。只要M值較大，則F(x,M)的最優解與約束問題的最優解相近。因此，將求解約束極值的問題轉化為求解無約束極值問題。

2.3 罰函數粒子群算法基本步驟

根據標準粒子群算法原理，采用懲罰函數處理角接觸球軸承優化設計中的約束條件，確保其目標函數的解在合理區間內，提高求解精度，罰函數粒子群算法的優化流程如圖1。

圖1 PSO算法求解流程Fig. 1 PSO algorithm solution flow chart

具體步驟如下：

Step 1粒子群初始化：粒子數N，學習因子c1和c2，最大權重ωmax，最小權重ωmin，最大迭代次數Tmax，罰因子M等，隨機生成粒子種群。

Step 2根據懲罰函數懲罰，用隨機性衰減因子α增加粒子在邊界區間的隨機性。

Step 4根據式(16)更新慣性權重ω，采用新的慣性權重ω得到當前粒子位置和速度。

Step 5判斷更新后粒子的位置是否滿足約束條件，若不滿足要求則返回Step 2，反之則以更新后的位置作為全局最優。

Step 6運行至設定的最大循環次數Tmax，得到全局最優結果。

3 算例分析

3.1 罰函數粒子群算法求解

為了驗證筆者提出的罰函數改進粒子群算法的可行性，選取型號為3210的角接觸球軸承，開展以額定動、靜載荷為目標函數的優化分析。軸承內、外徑分別為50、90 mm。約束條件相關系數為bmin=0.1dg,Kg,min=0.45，Kg,max=0.6，ε=0.55，ξ=0.3。

罰函數粒子群算法的控制參數有粒子群大小N=20，學習因子采用標準值c1=c2=2，最大權重ωmax=0.9，最小權重ωmin=0.4，且最大迭代次數Tmax=150，α=0.2，β=0.2，μ=0.95，懲罰因子M=1015。圖2 為3210軸承基于罰函數粒子群優化算法的適應值優化曲線。

圖2 3210軸承適應度優化結果Fig. 2 3210 bearing fitness optimization results

筆者采用迭代次數為程序終止條件。由圖2可知，當迭代次數達到50次時，優化結果曲線開始收斂并逐漸趨于穩定，算法程序還未迭代到給定的迭代次數，優化設計結果曲線就已經收斂。由圖2還可以看出，其收斂速度快且穩定，體現了該算法的優越性。優化后的軸承設計變量參數如表2。

表2 罰函數粒子群算法優化后設計變量值Table 2 Design variable values after penalized function particle swarmoptimization algorithm

從表2可以看出，經PSO優化后的設計參數滿足軸承設計標準，軸承內、外徑均滿足標準化系列推薦值，同時也滿足約束條件，符合軸承設計要求。

將優化后所得的結構參數帶入式(2)，得到：

將結構參數帶入式(5)，得到：

通過查閱滾動軸承設計手冊，3210軸承的額定動載荷為46 kN，額定靜載荷為46.8 kN。顯然，經過改進粒子群算法優化后的軸承的額定動載荷和額定靜載荷顯著提高，額定動載荷提高了66.46%，額定靜載荷提高了70.60%。

3.2 遺傳算法和免疫算法求解

為了進一步驗證所提出的罰函數粒子群算法的優化效果，分別采用遺傳算法[14]和免疫算法[7]對3210角接觸球軸承進行優化驗證，最終得出優化結果如表3。

表3 遺傳算法和免疫算法優化后設計變量值Table 3 Design variable values after genetic algorithm and immunealgorithm optimization

將這兩種算法所得的優化設計參數代入式(1)和式(3)，經計算可到得到軸承的額定動載荷和額定靜載荷，表4列出了3種算法的優化計算結果。

由表4可知，經過罰函數粒子群算法優化后的結果顯著提高，其中相較于遺傳算法，分別提高了2.081、0.17 kN；相較于免疫算法，額定靜載荷提高了3.14 kN。經過優化對比，結果表明，罰函數粒子群優化算法的優化效果優于兩種算法。

表4 各優化算法目標函數值結果對比Table 4 Comparison of objective function values ofvarious optimization algorithms kN

4 結 論

1)綜合考慮影響軸承性能的多種因素，以軸承幾何結構參數為優化設計變量，綜合考慮設計變量約束條件，建立了軸承優化數學模型。

2)提出了一種用于提高角接觸球軸承性能的罰函數粒子群算法，針對傳統粒子群算法易于陷入局部最優解和無法處理帶復雜約束條件的缺點，以3210角接觸球軸承為例，以其額定動載荷和額定靜載荷為目標進行優化設計。結果表明，優化后的的額定動、靜載荷分別提高了66.46%和70.60%。

3)采用遺傳算法和免疫算法對3210角接觸球軸承進行了優化設計，驗證了所提出的罰函數粒子群算法的優化效果。結果表明，采用罰函數粒子群算法能較好地提高角接觸球軸承的性能。