基于混沌電路的壓電諧振器動力學特性研究*

趙向陽,周慧琳,王 磊

(1.河南工學院 車輛與交通工程學院,河南 新鄉 453003;2.河南工學院 材料科學與工程學院,河南 新鄉 453003;3.河南工學院 經濟學院,河南 新鄉 453003)

0 引言

混沌是在確定性系統中發生的貌似隨機的無規則或不規則運動[1]?；煦缡窍到y固有的特性,它的表現是復雜的,既非準周期和周期運動,又非隨機運動,而是呈現出對初值敏感的貌似隨機現象[2-3]。從20世紀70年代以來,混沌研究取得了較大進展,在數學、物理學、生物學、生態學、氣象學、通信、醫學等諸多領域得到了廣泛應用并取得了可喜的成績[4-6]。

1 非線性電路中的混沌演化過程

混沌是非線性系統在特定條件下的一種非線性動力學行為,已有大量研究表明在一些非線性電路中存在混沌現象[7]。比較典型的混沌電路有Chua電路、Chen電路、Jerk電路、Lorenz電路和L?電路等。其實,從混沌發現以來,通向混沌的途徑一直是非線性系統的重點研究方向[8]。目前,通向混沌的主要途徑有:概周期分叉、陣發性、倍周期分叉、激變、擦邊分叉[9-12]。

以林森電路為例分析混沌的演化過程。林森電路構成如圖1所示,其中線性電感L=100μH,線性電阻R=200Ω,D是一變容二極管,u是一正弦交流電壓(頻率2MHz)。

圖1 林森電路原理圖

如圖2所示,電壓幅值Um變化引起電流的復雜變化。當Um<1V,即圖2中0～Um1段,電路中電流I是一周期非正弦電流,其頻率、周期和u相同。當Um1

圖2 回路電流I隨Um變化情況

2 壓電諧振中的混沌現象

2.1 等效電路

壓電諧振器是諧振式傳感器和執行器的核心部件,通常工作在共振和穩幅狀態。在外部簡諧振動激勵作用下,壓電諧振器可以等效為一正弦交流電源和一電容串聯。將其與電阻、電感和非線性電容串聯,設計的電路如圖3所示。

圖3 壓電諧振器分流電路

其中,Cp是壓電諧振器固有電容;非線性電容Cn有以下庫伏特性:

vc=aq3

(1)

其中,vc和q分別是非線性電容兩端電壓和電荷,a是非線性系數。

對圖3所示電路,根據基爾霍夫定律,有

(2)

很顯然,這是一個Holmes型Duffing方程。

2.2 等效電路求解方法

對方程(2)進行等效變換:

(3)

方程組(3)是典型的一階微分方程組,很難求其解析解。利用四階龍格庫塔算法求其數值解。將方程組(3)繼續進行變換,令

(4)

(5)

其中,x是向量,F(x,t)是向量函數。方程組(3)可以變換為如下形式:

(6)

方程(6)可由以下方程進行迭代求解:

(7)

其中,

l1=F(xn,tn)

(8)

(9)

(10)

l4=F(xn+Δtl3,tn+Δt)

(11)

方程(7)給定一個初值,利用MATLAB編制程序即可求解。

2.3 等效電路中的混沌現象

給定參數L=1H,R=0.1Ω,Cp=1F,a=1,ω=1rad/s,給定初值q=0,i=0,對等效電路系統方程進行求解,得出電路輸出信號隨時間變化的時域波形圖和相圖。圖4、圖5、圖6分別是其他參數不變情況下僅改變激勵電壓Vm值時系統輸出的結果。

(a)電荷時域波形

(b)電流時域波形

(c)相圖圖4 Vm=0.1,初值q=0,i=0時電路輸出結果

由圖4—6可知,隨著激勵電壓幅值的增大,系統特性發生變化,電路輸出波形從簡單到復雜,但并沒有很強的規律性,這證實了確定電路中的不確定性,即貌似隨機性的行為特征。且從圖6可以看出,該系統的軌線滿足不交率,即兩條最大軌線不可能穿過同一常點,因為其解的光滑映射是唯一的,所以其軌線在相空間只能纏繞而不會相交,這時系統出現混沌現象。

(a)電荷時域波形

(b)電流時域波形

(c)相圖圖5 Vm=10,初值q=0,i=0時電路輸出結果

(a)電荷時域波形

(b)電流時域波形

(c)相圖圖6 Vm=90,初值q=0,i=0時電路輸出結果

3 結論

本文通過將壓電諧振器等效并串聯非線性電容構建了一個典型的受迫Duffing電路,同時建立了其動力學方程,并著重研究了 Duffing 電路的非線性動力學特性。通過將Duffing 方程降階并編制程序進行數值仿真,系統表現出了復雜的動力學行為;在選擇適當的電路參數時,系統進入混沌狀態。對于Duffing 電路,其非線性特性在各種領域有著極大的潛在應用價值,如將其初值的敏感特性應用在保密通訊中,在其隨機共振響應下可以進行信號檢測等。這項研究有著重大的理論和工程應用價值[12]。