“大道至簡”：一道高考試題的解法思維層次分析

周如俊

(江蘇省灌南中等專業學校 222500)

圓錐曲線上直線過定點問題是近幾年高考命題的熱點問題.此類試題常涉及對學生數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析等核心素養的考查.

(1)求E的方程；(2)證明:直線CD過定點.

一、“普法”思維——“華山不止一條道”

1.“直求法”——“精心運算”

點評這種解題思維指向是設點P坐標，通過直線PA，PD與橢圓分別有兩個交點特征，由韋達定理分別求出兩點坐標，寫出直線方程，完成定點證明.

2.“特值法”——“猜想論證”

由對稱性知，直線CD所過定點必在x軸上，設定點為T(xT,0).

點評這種解題思維指向是從特殊情況猜想定點坐標結論，再證明猜想，體現解題思維的嚴謹性.

3.“代換法”——“設而不求”

(m2+3)yCyD+m(t-3)(yC+yD)+(t-3)2=0.

點評這種解題思維指向是通過設而不求的策略，直接設直線CD方程x=my+t及C,D兩點坐標，借助yC+yD,yC·yD整體代換，找到m，t滿足的關系式，進而求出定點坐標.

4.“斜率法”——“對稱轉化”

以下解法同“代換法”.

點評這種解題思維指向是利用橢圓上點與任意關于原點對稱的兩條連線的斜率乘積為定值的常用結論，避免了非對稱式中因無法使用韋達定理解題被“卡住”的尷尬局面，體現了“對稱轉化”的簡化策略.

5.“三角法”——“恒等變換”

由對稱性知，直線CD所過定點必在x軸上.

點評這種解題思維指向是利用橢圓的參數方程，引參設點求直線CD方程，借助三角恒等變換證得定點，體現了“多想少算”的優化策略.

6.“齊次法”——“平移轉化”

點評此解法利用過原點兩條直線斜率之積為定值的簡潔特性，快速求出直線mx′+ny′=1 中m，n之間關系，從而鎖定定點坐標，有效降低運算的難度.

二、“通法”思維——“似曾相識燕歸來”

1.“通法”化歸

借鑒前述“齊次法”的研究，可將試題引申為“常態二次圓錐曲線(圓、橢圓、雙曲線、拋物線)F(x,y)=Ax2+By2+Cx+Dy+E=0(A2+B2≠0)上給定的點P與異于點P的動弦MN兩端點之間斜率之和(之積)為定值時，求解(證)動弦過定點的問題”.

定理常態二次圓錐曲線F(x,y)=Ax2+By2+Cx+Dy+E=0(A2+B2≠0)上有一定點P(x0,y0)與異于點P的動弦MN兩端點.已知直線PM，PN的斜率存在，分別記為kPM，kPN.并記F1=2Ax0+C,F2=2By0+D.

若kPM+kPN=λ，則有：

若kPMkPN=λ，則有：

2.“通法”應用

上述定理是常態二次圓錐曲線動弦過定點(定向)問題的一類簡捷、易記、便用的“通法”.

依托高考試題數據分析，是探索數學本質、關聯和規律的重要研究手段，有利于增強學生基于數據表達現實問題的意識.文獻大數據分析表明，2013年江西卷(理)第20題、2011年全國高中聯賽第11題、2004年北京卷(理)第17題、2005年江西卷(理)第20題、2009年遼寧卷(理)第22題等高考(競賽)試題都屬于圓錐曲線上動弦過定點類問題.