破解含參不等式恒成立問題的常見策略

許萬成

(江蘇省建湖縣第二中學 224700)

不等式在實際生活中的應用非常廣泛，因此它是歷年高考考查的重點與熱點，經常與其它數學知識比如函數、方程、解析幾何等綜合起來考查.在這類問題的考查中，同學們對于含參的問題處理起來都是比較頭疼的，針對這種情況，筆者總結了三種常見的處理策略，現在以例題的形式呈現給同學們.

一、判別式法

有關含參數的一元二次不等式問題，若能把不等式轉化成一元二次函數或者一元二次方程，通過根的判別式或者數形結合思想，可以使得問題得到順利解決.

例1 對于x∈R,不等式x2-2x+3-m≥0恒成立，求實數m的取值范圍.

思維點撥不等式x2-2x+3-m≥0對于一切實數恒成立等價于對應二次函數的圖象恒在x軸的上方.

解析不妨設y=x2-2x+3-m，其函數圖象是開口向上的拋物線，為了使y≥0(x∈R)恒成立，只需對應方程的Δ≤0，即(-2)2-4(3-m)≤0.

解得m≤2，故實數m的取值范圍為(-∞,2]

評注對于在一切實數上恒成立的一元二次不等式問題，可以轉化為對應二次函數圖象的分布，利用判別式進行快速求解.

二、分離變量法

如果能夠將參數分離出來，建立明確的參數和變量x的關系，那么可以利用函數最值求解.a>y恒成立?a>ymax,a

例2 已知函數y=x2-ax(a∈R)在x∈[1,+∞)時，y≥-x2-2恒成立，求a的取值范圍.

故所求a的取值范圍是(-∞,4].

評注在二元不等式中，如果可以很容易地將參數與變量分離開來構造出兩個函數，將求參數范圍問題轉化為求最值問題來處理，那么我們經常使用分離變量法來處理有關參數問題.

三、變更主元法

在有幾個變量問題中，常有一個變元處于主要地位，我們稱之為主元.在解含參不等式時，有時若能夠換個角度，變參數為主元，可以得到意想不到的效果，使得問題可以快速解決.

例3 不等式t2-at≥0對所有的a∈[-1，1]都成立，則t的取值范圍是____．

思維點撥看作關于a的一次函數，根據一次函數恒成立問題列出不等式組，求得t的范圍.

故答案為：(-∞,-1]∪{0}∪[1,+∞).

評注在含參數不等式恒成立的問題中，參數和未知數是相互制約、相互依賴的關系.本題已知參數a的取值范圍，求t的取值范圍，若能夠轉換兩者中的地位，則關于t的不等式就轉化為關于a的不等式，問題既可以迎刃而解了.