不等式中的任意與存在問題

孟方明

(浙江省春暉中學 312300)

一、一元不等式

1.任意問題

整理，得12m4-5m2-3≥0.

即(3m2+1)(4m2-3)≥0.

說明形如g(m)≥f(x)的不等式任意性問題，可轉化為g(m)≥f(x)max；形如g(m)≤f(x)的不等式任意性問題，可轉化為g(m)≤f(x)min.

2.存在問題

去分母，整理得m·(2x)2+(m-3)2x-1<0.

設2x=t，則t∈(1,2)且mt2+(m-3)t-1<0.

由mt2+(m-3)t-1<0，得m(t2+t)<3t+1.

說明形如g(m)≥f(x)的不等式存在性問題，可轉化為g(m)≥f(x)min；形如g(m)≤f(x)的不等式存在性問題，可轉化為g(m)≤f(x)max.有的時候由于f(x)的最值不一定存在，還要注意所求范圍的端點是否可取.

二、二元不等式

1.任意與存在搭臺

解析(1)略；

當x∈(0,1)時，因為f′(x)<0，所以f(x)單調遞減；

當x∈(1,2)時，因為f′(x)>0，所以f(x)單調遞增.

對于條件“對任意x1∈(0,2)，存在x2∈[1,2]，使f(x1)≥g(x2)成立”，不妨先固定x2，則只需要f(x1)min≥g(x2).

說明一般地，若對任意x1∈D1，存在x2∈D2，使f(x1)≥g(x2)成立，先求出無參函數的最值，如本題中，函數f(x1)無參， 固定x2，先求出f(x1)的最小值，得到f(x1)min≥g(x2)；再考慮“存在”，求出g(x2)的最小值，滿足f(x1)min≥g(x2)min，或者視f(x1)min≥g(x2)為一元不等式處理.對任意x1∈D1，存在x2∈D2，使f(x1)≤g(x2)成立可類似處理.

2.任意與任意唱戲

例4 已知函數f(x)=(a+1)lnx+ax2+1.

(1)討論函數f(x)的單調性；

(2)設a<-1，如果對任意x1,x2∈(0,+∞)，|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|，求a的取值范圍.

解析(1)略；

令g(x)=f(x)+4x，則上式等價于g(x)在(0,+∞)在單調遞減.

設t=4x+1>1，

由恒成立的意義知，只需a≤h(t)min.

所以h(t)≥-2，

故a≤-2.

說明一般地，若對任意x1∈D1，任意x2∈D2，使f(x1)≥g(x2)成立，只需滿足f(x1)min≥g(x2)max；若對任意x1∈D1，任意x2∈D2，使f(x1)≤g(x2)成立，則只需轉化為f(x1)max≤g(x2)min.本題由于不等式的對稱性，通過構造函數，利用單調性求解問題，其過程體現了將二元x1,x2減為一元x的重要思想方法.