變換視角談碰撞 統一模型巧解題

胡永琰

(福建省上杭縣第一中學 364200)

一、即時碰撞

對于“碰撞”這部分內容，高中教材主要是講一維的正撞，從正碰中能量的觀點進行分類：彈性正碰、非彈性正碰以及完全非彈性正碰.碰撞時，相互作用時間極短，內力遠大于外力，因此滿足系統動量守恒.如圖1所示：整個碰撞過程可以拆分為“接近過程”和“分離過程”.在教學中，應該認真引導學生剖析碰撞過程，強化物理過程分析，切忌死記硬背，唯有讓學生深刻理解了碰撞現象的本質和特征，才能在各種碰撞情境中靈活處理相關問題.

圖1

例1在光滑水平面上有兩個相同的彈性小球A、B質量都為m， 現B球靜止，A球向B球運動，發生碰撞，已知碰撞過程總機械能守恒，兩球壓縮最緊時的彈性勢能為Ep，則碰撞前A球的速度？

評析此題重點考察碰撞過程的分析，顯然，把A、B兩球的碰撞拆分成“接近”和“分離”兩個過程，不難發現，兩球接近過程中A減速、B加速，當兩球速度相等的時，系統的彈性形變最大，獲得的彈性勢能最大.由此應用能量和動量觀點便可求解.此外，因為碰撞作用時間極短，筆者又把這種碰撞稱為“即時碰撞”，相關歸納如下，此類碰撞也是學生最熟悉的，如圖2.

圖2

此類碰撞問題的解題策略:

(1)抓住碰撞的特點和不同種類碰撞滿足條件，列出相應動量守恒和能量守恒方程求解.

(2)涉及“一動碰一靜”模型，兩物體發生彈性正碰的動量守恒和能量守恒方程如下：

m1v1=m1v1′+m2v2′

①

②

對于碰后的兩球的速度，應熟記起來，可以在處理此類題目中提高解題效率.

(3)“一動碰一動”模型中，兩物體發生彈性正碰的動量守恒和能量守恒方程如下：

m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′

①

②

例2(15·全國Ⅰ卷)如圖3，在足夠長的光滑水平面上，物體A、B、C位于同一直線上，A位于B、C之間.A的質量為m，B、C的質量都為M，三者都處于靜止狀態，現使A以某一速度向右運動，求m和M之間滿足什么條件才能使A只與B、C各發生一次碰撞.設物體間的碰撞都是彈性的.

圖3

解析根據題意,以時間為線索展示相應的物理過程，如圖4：

圖4

具體解答如下：

A和C碰撞：由能量守恒得：

①

由動量守恒得：mvA=mvA′+MvC′

②

③

④

依題意：A和C碰撞后要反彈，則有vA′<0

⑤

由③⑤易得m

A和B碰撞：由能量守恒得：

⑥

由動量守恒得：mvA′=mvA″+MvC′

⑦

⑧

因為A只與B、C各發生一次碰撞

所以有：vA″≤vC′

⑨

評析綜合“能量”和“動量”的觀點依序剖析各物理過程，列出各自的能量和動量方程，根據熟知的“一動一靜”模型的相關結論，就可以條理清晰、快速高效地破解這類題目.

二、慢碰撞

1.構建“慢碰撞”模型，巧解“彈簧——滑塊”類問題

在某些情境中，涉及的物理現象表象看來并非是“碰撞”現象，但細推其物理過程，與碰撞過程完全一致.如圖5：在光滑的水平面上，有A、B兩球和一輕彈簧，A、B兩球的質量分別為m1、m2，B與輕彈簧右端連在一起以速度vB向右運動，A以速度vA撞向彈簧(vA>vB),從狀態1到狀態2的過程，因彈簧形變明顯，較之于“即時碰撞”作用時間比較長，但本質就是放慢了的完全非彈性碰撞而已，因此筆者在此稱之為“慢碰撞”.同理，從狀態1到狀態3的過程就是一個放慢的完全彈性的碰撞.如此，就可以把這類模型化歸到熟知的碰撞模型中，進而可以靈活運用“一動碰一靜”、“一動碰一動”彈性正碰的相關結論了，巧解相關問題.

狀態1：彈簧處于原長狀態 狀態2：彈簧壓縮至最短 狀態3：彈簧恢復原長圖5

例2如圖6，左端固定著輕彈簧的物塊B靜止在光滑的水平面上，物塊A以速度v0向右運動，通過彈簧與物塊B發生正碰，已知物塊A的質量大于B的質量，當彈簧壓縮到最短時，下列說法正確的是( ).

圖6

A.彈簧原長的時候B的速度最小

B.A、B速度相等的時候A的速度最大

C.A、B速度相等的時候A與B的機械能最小

D.A、B分離時A、B的運動方向相反

例3如圖7，用輕彈簧相連的質量均為2kg的A、B兩物塊都以v=6m/s的速度在光滑水平地面上運動，彈簧處于原長，質量4kg的物塊C靜止在前方，B與C碰撞后二者粘在一起運動．在以后的運動中，求：

圖7

(1)當彈簧的彈性勢能最大時，物體A的速度多大？

(2)彈性勢能的最大值是多大？

(3)A的速度有可能向左嗎？為什么？

解析B與C發生即時碰撞粘在一起，此后，A、彈簧及BC粘連體構成了“慢碰撞”模型，根據碰撞特點知：當A與BC共速時，彈性勢能最大，由系統動量和能量守恒易得A的速度和彈性勢能的最大值.由“慢碰撞”過程可知：從A開始壓縮彈簧到彈簧恢復原長的過程中，彈簧彈力始終向左，因此，當彈簧到彈簧恢復原長的時刻A的速度最有可能向左，故只需算出此時A的速度情況即可判斷.此外，認真分析從A開始壓縮彈簧到彈簧恢復原長的過程，便會發現A與BC粘連體構成了“一動碰一動”的彈性正碰模型.根據相關結論，可快速得到A的速度.

點評引入“慢碰撞”模型后，就可以從“碰撞”的角度來處理彈簧——滑塊類問題，從“動量和能量”兩個視角切入，把相關碰撞模型特點及有關結論遷移應用到此情境中來，便可科學有序地求解相關問題.

2.構建“慢碰撞”模型，巧解“滑塊——木板”類問題

如圖8，滑塊A以一定的初速度v滑上粗糙的長木板B上，長木板B與地面光滑接觸，A、B通過系統摩擦內力的作用下，分別做減速和加速運動，若長木板B足夠長，易得A、B最終達到共速且以共同速度做勻速直線運動.整個物理過程就如放慢的完全非彈性碰撞，只不過系統損失的動能以摩擦生熱的內能呈現而已.如此，在處理這類“滑塊——木板”問題時也可以構建碰撞模型，再用非常熟悉的“動量和能量”的觀點求解問題，提高解題效率.

圖8

圖9

(1)A與B相對靜止時的速度

(2)木板B至少多長，A才不至于滑落.

解析小球與A發生即時碰撞，根據即時碰撞特點：只與直接作用的物體有關，內力遠大于外力.此時小球與A構成系統動量守恒，與B無關.A與小球即時碰撞后獲得一定初速度，此后，A與B發生完全非彈性慢碰撞，依次列出系統的動量守恒和能量守恒方程，便可求得相關物理量.

點評同理，引入“慢碰撞”后，可從“碰撞”的角度來處理“滑塊——木板”類問題，亦是強化“動量和能量守恒”觀念解決問題的過程.

綜上例談中可見：從“作用時間”上把碰撞又分成“即時碰撞”和“慢碰撞”兩種模型，特別是在引入“慢碰撞”模型后，可以把“滑塊——彈簧”、“滑塊——木板”這類情境統一化歸到“碰撞”模型中來，再用熟知的“碰撞”問題的通性通法來解決，進而可以精準、高效地求解相關問題.

教學中，應當引導學生加強對物理概念和物理規律的內涵的理解，強化建模能力，通過物理模型實現物理規律與物理現象的關聯與對接.同時注意物理模型的相關性, 通過不同物理模型進行類比 、延展 、拓寬, 找出其共性和個性, 建立系統化的物理規律轉化系統，進而能快捷有效地處理實際問題.