盤點小量近似 建構數理模型
——鑒賞2021年1月浙江物理選考壓軸題

陶漢斌

(浙江省金華第一中學 321015)

2021年1月浙江省物理學科選考堅持高考改革方向，試題彰顯以實際問題為背景，要求學生分析物理現象中的關鍵特征和主要因素，建立合適的物理模型與數學模型.選考物理第22題以芯片制造技術為背景，設計了離子注入晶圓的問題情景，考查學生對電場、磁場、平拋運動、圓周運動和牛頓運動定律等基本知識和基本理論的綜合應用.此試題突出考查了運動的獨立性原理，立體三維空間的想象能力，最終還是聚焦在數學中小量近似的計算方法和物理建模能力.本文以2021年1月浙江省選考第22題為例，具體闡述了高中物理中小量近似的數學方法，回歸核心素養中模型建構的培養，以實現數學與物理的互利合作雙贏.

一、原生態考題賞析

例1 (2021.1浙江選考第22題)在芯片制造過程中，離子注入是其中一道重要的工序.如圖1所示是離子注入工作原理示意圖，離子經加速后沿水平方向進入速度選擇器，然后通過磁分析器，選擇出特定比荷的離子，經偏轉系統后注入處在水平面內的晶圓(硅片).速度選擇器、磁分析器和偏轉系統中的勻強磁場的磁感應強度大小均為B，方向均垂直紙面向外；速度選擇器和偏轉系統中的勻強電場場強大小均為E，方向分別為豎直向上和垂直紙面向外.磁分析器截面是內外半徑分別為R1和R2的四分之一圓環，其兩端中心位置M和N處各有一個小孔；偏轉系統中電場和磁場的分布區域是同一邊長為L的正方體，其底面與晶圓所在水平面平行，間距也為L.當偏轉系統不加電場及磁場時，離子恰好豎直注入到晶圓上的O點(即圖中坐標原點，x軸垂直紙面向外).偏轉系統整個系統置于真空中，不計離子重力，打在晶圓上的離子，經過電場和磁場偏轉的角度都很小.當α很小時，有sinα≈tanα≈α，cosα≈1-α2/2

圖1

(1)離子通過速度選擇器后的速度大小u和磁分析器選擇出來離子的比荷

(2)偏轉系統僅加電場時離子注入晶圓的位置，用坐標(x，y)表示；

(3)偏轉系統僅加磁場時離子注入晶圓的位置，用坐標(x，y)表示；

(4)偏轉系統同時加上電場和磁場時離子注入晶圓的位置，用坐標(x，y)表示，并說明理由.

解析(1)通過速度選擇器離子的速度

(2)經過電場后，離子在X方向偏轉的距離為

離開電場后，離子在X方向偏轉的距離為

(3)離子進入磁場后做圓周運動，如圖2所示

圖2

經過磁場后，離子在Y方向偏轉距離

離開磁場后，離子在Y方向偏移的距離為

點評本題借用復合場的平臺，考查圓周運動、類平拋運動中的偏轉問題，最后一小題在疊加場中運用運動的獨立性原理進行解題.學生要有立體空間想象的能力，將立體圖轉化為平面圖進行思考.運算的過程中用到小量計算的方法，經過電場和磁場偏轉的角度都很小，當α很小時，有sinα≈tanα≈α，cosα≈1-α2/2，這種小量近似在學習單擺模型時曾經做過推導.

二、盤點小量近似計算

1.角度θ小量近似sinθ=tanθ=θ

當角度θ很小時，有sinθ=tanθ=θ,當然θ是用弧度制度.在擺角很小的情況下(一般是小于10°)，忽略空氣阻力，單擺的振動是以O為平衡位置的簡諧振動，同時又是繞懸點P做圓周運動.在運動的過程中，動能與重力勢能相互轉化，機械能守恒,如圖3所示.

圖3

2.數值x小量近似(1+x)n≈1+nx

數值x很小時，(1+x)n≈1+nx.帶電粒子在磁場中偏轉時，經常用到這個小量近似計算.

例題磁譜儀是測量α能譜的重要儀器.磁譜儀的工作原理如圖4所示，放射源S發出質量為m、電量為q的α粒子沿垂直磁場方向進入磁感應強度為B的勻強磁場，被限束光欄Q限制在2φ的小角度內，α粒子經磁場偏轉后打到與束光欄平行的感光片P上.(重力影響不計)

圖4

(1)若能量在E～E+ΔE(ΔE>0，且ΔE?E)范圍內的α粒子均垂直于限束光欄的方向進入磁場.試求這些α粒子打在膠片上的范圍Δx1.

(2)實際上，限束光欄有一定的寬度，α粒子將在2φ角內進入磁場.試求能量均為E的α粒子打到感光膠片上的范圍Δx2

(2)動能為E的α粒子沿±φ角入射，軌道半徑相同，設為R