基于數學直觀的2021屆武漢四月質檢導數壓軸題的求解

林新建

(福建省福清市教師進修學校 350300)

2021屆武漢高三四月質檢導數解答題以常見的對數函數、冪函數、三角函數為基本素材，以不等式恒成立問題為載體，考查各類數學思想和學生的綜合能力.對于以指數、對數、三角函數為素材結合命制的含參導數試題，一般很難用常規的分離參數法求解，同時導數法也往往求解不出極值點，分類討論及不等式放縮也較為繁瑣.但是利用“直觀”能夠將問題中錯綜復雜的數據直觀化和簡明化，幫助我們沖破內隱條件的桎梏，直面問題的本質.

試題呈現已知函數f(x)=ln(1+x)-x+a(1-cosx).

(2)若存在正實數t，使得當x∈(-t,t)時，有xf(x)≥0恒成立，求a的值.

下面是參考答案給出的求解過程.

解析1 (1)略.

①當a=1時，h′(x)在(-1,1)上的單調遞減，h′(1)=1-sin1>0.所以-10，所以h(x)單調遞增.又此時h(0)=0，故-10，g(x)單調遞增.所以-1f(0)=0， 此時存在t=1使得當-1

當x10，g(x)單調遞增，所以x1f(0)=0，xf(x)<0，不存在t>0，使得當x∈(-t,0)時xf(x)≥0.

綜上所述，a=1.

評析上述求解過程充分利用了f′(x)(即g(x))，f″(x)(即h(x))，f?(x)(即h′(x))表達式的特征，通過對a的取值進行細分，以達到對這三個導函數的取值進行確定，從而最終實現對f(x)的增減性和符號的判定，構思巧妙.

解后反思求解本題后，筆者始終有種意猶未盡的感覺，于是重新審視了整個求解過程，并進行了一些思考.上述求解過程很巧妙，但其求解的整個思路并不是那么一目了然，是否存在更彰顯試題本質的解法？因為試題最終是要判斷函數y=xf(x)的符號，故可嘗試從直觀上加以理解，看能否從題設條件出發，預測出問題的求解思路.

直觀分析①當x∈(-t,t)時，有xf(x)≥0成立，則x∈(-t,0)有f(x)≤0，且x∈(0,t)有f(x)≥0.因為f(0)=0，所以f(x)的圖象過原點，要使得xf(x)≥0恒成立，直觀判斷f(x)的圖象在x=0左側附近及右側附近均單調遞增(得f′(x)≥0)；

③注意到f′(0)=0，f′(x)的圖象過原點，要使得f′(x)≥0恒成立，直觀判斷f′(x)的圖象在x=0左側附近單調遞減(得f″(x)≤0)，右側附近單調遞增(得f″(x)≥0)；

⑤由④得a=1.欲證a=1時xf(x)≥0成立，由于f″(0)=a-1=0，結合③中的分析，直觀預測f″(x)圖象在x=0附近單調遞增，從而只需驗證在x=0附近有f?(x)≥0.

基于上述直觀分析，筆者得到較參考答案更加簡潔的求解過程.

解析2 (1)略.

①當a<1時，得f″(0)<0，則存在δ1>0，當x∈(-δ1,δ1)時有f″(x)<0，此時f′(x)單調遞減.又f′(0)=0，則當x∈(0,δ1)有f′(x)<0，則f(x)在區間(0,δ1)內單調遞減，f(x)0，使得當x∈(0,t)時xf(x)≥0.

②當a>1時，得f″(0)>0，則存在δ2>0，當x∈(-δ2,δ2)時有f″(x)>0，此時f′(x)單調遞增.又f′(0)=0，則當x∈(-δ2,0)有f′(x)<0，所以f(x)在區間(-δ2,0)內單調遞減，f(x)>f(0)=0，則xf(x)<0，不存在t>0，使得當x∈(-t,0)時xf(x)≥0.

③當a=1時，由于f?(0)=2>0，則存在δ3>0，當x∈(-δ3,δ3)時有f?(x)>0，所以f″(x)單調遞增，結合f″(0)=0，得x∈(-δ3,0)時f″(x)<0，x∈(0,δ3)時f″(x)>0.從而f′(x)在(-δ3,0)內單調遞減，在(0,δ3)內單調遞增，且f′(0)=0，得x∈(-δ3,δ3)有f′(x)≥0，所以f(x)在區間(-δ3,δ3)內單調遞增.由于f(0)=0，則x∈(-δ3,0)有f(x)<0，x∈(0,δ3)有f(x)>0，此時存在t=δ3使得當-δ3

綜上所述，a=1.

上述求解過程與參考答案相比，更順暢自然，一氣呵成.無疑，這種順暢自然、一氣呵成來自于我們對題目所作的“直觀理解”、解題方向的“直觀判斷”、最終結果的“直觀預測”.在問題解決中，我們應努力尋求直觀的手段和方法，努力實現“讓問題在我們面前直觀起來”！