操千曲而后曉聲 觀千劍而后識器
——用對數平均不等式妙解導數題

盧會玉

(甘肅省嘉峪關市第一中學 735100)

《普通高中數學課程標準(2017年版)》中提出：通過高中數學課程的學習，學生能獲得進一步學習和未來發展所必需的數學基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗.其中“基本活動經驗”在筆者看來就是從對知識的點滴積累再升華為能力的過程.高中數學教學，特別是高三后期的教學中，解題教學成為了不可缺少的環節，那么積累經驗、總結經驗、提升思想就成為每一個高三人必須要做的事情.對于學生而言，他們在獨立思考的過程中，在聽老師講授的過程中以及和同學相互探究的過程中所獲得的解題經驗，就成為思考下一個問題的利劍.

很顯然，只有不斷積累、不斷提升，才能觸類旁通.在距離高考越來越近的日子里，筆者認為，基于“基本活動經驗”的解題不失為高效率的學習方法之一.基于這個理念，設計了以導數為背景的專題課.

(1)討論f(x)的單調性；

(1)討論f(x)的單調性；

(2)若f(x)有兩個極值點x1和x2，記過點A(x1，f(x1)),B(x2，f(x2))的直線的斜率為k，問：是否存在a，使得k=2-a？若存在，求出k的值，若不存在，請說明理由.

(1)討論f(x)的單調性；

(2)若f(x)有兩個極值點x1和x2，記過點A(x1，f(x1)),B(x2，f(x2))的直線的斜率為k，問：是否存在a，使得k=2-a？若存在，求出k的值，若不存在，請說明理由.

很明顯這三個題的相似度非常高，所以筆者刻意地將這三道題的第二問放在一起進行對比，可以發現函數f(x)基本相同，都是已知f(x)有兩個極值點x1和x2，都是要研究斜率k與2-a的關系.

第一問比較常規，求導之后通分發現分子上面是二次函數，所以我們既要考慮判別式，還要考慮定義域，綜合討論得出結論.解法如下：

當a≤0時，f′(x)<0，此時f(x)在(0,+∞)上單調遞減；

當a>0時，判別式Δ=a2-4，

①當Δ≤0，即0

當x∈(0,x1),(x2,+∞)時，f′(x)<0，所以f(x)在(0,x1)和(x2,+∞)上單調遞減；

當x∈(x1,x2)時，f′(x)>0，所以f(x)在(x1,x2)上單調遞增.

綜上可知，當a≤2時，f(x)在(0,+∞)上單調遞減；當a>2時，f(x)在(0,x1)和(x2,+∞)上單調遞減，在(x1,x2)上單調遞增.

2018年高考Ⅱ卷21題的第二問相對要有難度一些，但是也有幾種適合學生的做法.

對數平均不等式讓很多學生的眼前一亮，都覺得真是一個解題神器！話說回來，導數題確實讓很多學生望而生畏，但它又不是那么不可高攀.如果在平時的學習中善于學習，善于積累，更能做到觸類旁通的話，那學習就會更輕松,所以必要的練習還是要有的.于是筆者又設計了如下的題目讓學生挑戰.

練習已知函數f(x)=ex-x-m(m∈R)，若f(x)有兩個零點x1和x2，求證x1+x2<0.

本題乍一看去并不像對數平均不等式的直接應用，甚至有學生懷疑筆者是不是把題寫錯了，然而還是有學生能看破玄機的.

2019年考試大綱中提到的“能力”是指空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力以及應用意識和創新意識.很顯然，今天所遇見的問題除了沒有涉及空間想象能力，其他的都進行了深入的考查，甚至對學生的意志品質也是一種考驗.那么如何才能有能力？怎么才能有很好的個性品質？唯有一如既往地重視學生所必需的數學基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗.因為劉勰的《文心雕龍·知音》中早就說過“操千曲而后曉聲，觀千劍而后識器.”正所謂十年磨一劍，一朝試鋒芒，我們要不斷積蓄力量，保持長久的激情，方可到達勝利的彼岸.