基于波束空間的四階累積量LCMV 波束形成算法

楊夢(mèng)琪，秦 云

（江蘇大學(xué)電氣信息工程學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江 212000）

0 引言

自適應(yīng)波束形成技術(shù)是陣列信號(hào)處理中的重要研究對(duì)象，廣泛應(yīng)用于通信、雷達(dá)、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域［1］。近年來(lái)，常規(guī)的自適應(yīng)波束形成器由于抑制干擾和噪聲的能力不佳，在實(shí)際應(yīng)用方面漸漸無(wú)法滿足要求［2］。高階累積量的陣列處理方法被逐漸應(yīng)用于自適應(yīng)波束形成技術(shù)中，其包含信號(hào)幅值、相位等重要信息，在陣列數(shù)據(jù)處理中能夠擴(kuò)展陣列孔徑、抑制高斯噪聲（特別是高斯色噪聲）、校正陣元誤差等［3］。與常規(guī)算法相比，基于高階累積量的自適應(yīng)波束形成算法可有效減小主瓣寬度、降低旁瓣電平、增加對(duì)干擾的零陷深度，波束形成性能大幅提高［4-5］。

雖然基于高階累積量的自適應(yīng)波束算法有很多優(yōu)點(diǎn)，但計(jì)算過程中需要構(gòu)造高階累積量矩陣，具有計(jì)算復(fù)雜度高、計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)的缺點(diǎn)。對(duì)此，Zhao 等［6］、武思軍等［7］、李婷婷［8］去除陣列冗余數(shù)據(jù)，減小了計(jì)算量；劉春靜等［9］分析四階累積量矩陣中各元素之間的關(guān)系，去除相同或互為共軛的元素，計(jì)算量大幅度減小。然而上述方法中都有去除數(shù)據(jù)的操作，會(huì)導(dǎo)致信息量損失［10］。

本文將陣列接收數(shù)據(jù)由陣元域變換到波束域，在波束域中構(gòu)造協(xié)方差矩陣的四階累積量空間相關(guān)矩陣，結(jié)合文獻(xiàn)［11-12］中的矩陣原位替換解算方法與改進(jìn)原位替換求逆方法所提出的基于主元交換的原位替換算法，求解空間相關(guān)矩陣的逆，在線性約束最小方差（Linearly Constrained Minimum Variance，LCMV）準(zhǔn)則下求解最優(yōu)權(quán)矢量。與傳統(tǒng)LCMV 波束形成器和基于四階累積量的LCMV 算法相比較，本文方法在整體抗干擾性能、計(jì)算復(fù)雜度、適用性等方面有明顯優(yōu)勢(shì)，同時(shí)也節(jié)約了存儲(chǔ)空間［13］。

1 算法原理

1.1 信號(hào)模型

假設(shè)有M個(gè)各向同性的陣元，且陣元間距為d，遠(yuǎn)場(chǎng)處存在1 個(gè)期望信號(hào)（角度為θ0）和L個(gè)干擾信號(hào)以平面波入射（角度θl，波長(zhǎng)λ，l=1,…L）［14］，則第k個(gè)陣元接收信號(hào)可表示為：

整個(gè)陣元接收數(shù)據(jù)的矩陣表示為：

式 中，X(t)=[x1(t),x2(t),…,xM(t)]T，為陣列數(shù)據(jù)；N(t)=[n1(t),n2(t),…,nM(t)]T，為陣列噪聲；S(t)=[s0(t),s1(t),…,sL(t)]T，為信號(hào)源復(fù)包絡(luò)；矩陣為第l 個(gè)信號(hào)源的導(dǎo)向矢量，其中βl=

陣列的協(xié)方差矩陣為：

1.2 波束空間

波束空間處理是指對(duì)M 元陣列形成一組非自適應(yīng)波束，將信號(hào)從陣元域變換到波束域，再對(duì)各波束的輸出進(jìn)行最優(yōu)加權(quán)處理［15］。該組非自適應(yīng)波束（假設(shè)r 個(gè)，r

定義一個(gè)M×r的矩陣T 為轉(zhuǎn)換矩陣，則信號(hào)由陣元域到波束域輸出為：

其中，轉(zhuǎn)換矩陣T 為：

式中，μ(α)=，系數(shù)μ決定了波束覆蓋空間的起始位置。轉(zhuǎn)換矩陣T 的每一個(gè)列向量分別代表不同的方向，在感興趣的區(qū)域形成r 個(gè)波束，區(qū)域范圍為稱為波束空間區(qū)域。波束空間區(qū)域內(nèi)的信號(hào)被保留，區(qū)域外的干擾信號(hào)被抑制。

波束域輸出協(xié)方差矩陣為：

1.3 波束域LCMV 算法

陣元域LCMV 算法的代價(jià)函數(shù)和最優(yōu)權(quán)矢量為：

根據(jù)式（7）可以得到波束域LCMV 算法的最優(yōu)化問題描述為：

式中，Wbs為波束域LCMV 波束形成器的權(quán)矢量，Cbs=THC為波束域?qū)蚴噶考s束矩陣，f為對(duì)應(yīng)約束響應(yīng)矢量。

波束域LCMV 波束形成器的最優(yōu)權(quán)矢量為：

1.4 基于波束空間的四階累積量LCMV 算法原理

在波束域構(gòu)造信號(hào)四階累積量矩陣：

其中，?為克羅內(nèi)克積（Kronnecker），E{· }為期望。

滿足約束條件的最優(yōu)權(quán)矢量代價(jià)函數(shù)為：

那么，基于波束空間的四階累積量LCMV 波束形成器的最優(yōu)權(quán)矢量為：

方向圖為：

基于波束空間的四階累積量LCMV 算法原理如下：

（1）陣元接收數(shù)據(jù)X(t)，將數(shù)據(jù)信號(hào)變換到波束空間得到Xbs(t)。

（2）在波束空間構(gòu)造四階累積量空間相關(guān)矩陣R4bs、方向矩陣C4bs以及對(duì)應(yīng)約束響應(yīng)矢量f4bs。

（3）計(jì)算式（12），得到基于波束空間的四階累積量LC?MV 的最優(yōu)權(quán)矢量。

2 算法實(shí)現(xiàn)

2.1 四階累積量矩陣構(gòu)造

根據(jù)“1.4”項(xiàng)下算法原理，需要在波束空間構(gòu)造四階累積量相關(guān)矩陣R4bs、方向矩陣C4bs、對(duì)應(yīng)約束響應(yīng)矢量f4bs。運(yùn)算符?克羅內(nèi)克積表示：如果有A?B，相當(dāng)于將A 矩陣的每一個(gè)元素與B 矩陣相乘形成分塊矩陣。因此，方向矩陣C4bs的構(gòu)造是將Cbs中的每一個(gè)元素與矩陣相乘，對(duì)應(yīng)約束響應(yīng)矢量f4bs是由f中的每一個(gè)元素與矢量f*相乘得到。

根據(jù)式（10），四階累積量相關(guān)矩陣R4bs的構(gòu)造過程為：

也可以表示為：

2.2 基于主元交換的原位替換求逆算法

為進(jìn)一步降低算法的計(jì)算復(fù)雜度，運(yùn)用基于主元交換的原位替換算法求解式（12）中高階累積量矩陣（對(duì)稱共軛矩陣）的逆［13］，這樣既保留了高階累積量的優(yōu)越性，也降低了算法的計(jì)算復(fù)雜度。

基于主元交換的原位替換算法是在LU 分解基礎(chǔ)上的矩陣求逆方法，對(duì)n 階對(duì)稱共軛的非奇異矩陣A 進(jìn)行LU 分解，令A(yù)=LU，則A-1=U-1L-1。

假設(shè)矩陣A 表示為：

整個(gè)求逆算法步驟如下：

（1）獲取主元交換的約化系矩陣。首先對(duì)矩陣A 做初等變換，將矩陣分別變換為上三角矩陣U1和下三角矩陣L1。引入約化系數(shù)矩陣N，整個(gè)約化系數(shù)矩陣可表示為：

其中，式（17）中的aji.k表示矩陣A 在第k 次初等運(yùn)算后得到的第j行i列的元素，i,j=1,2,…,n，k=0,1,…,n-1。

根據(jù)式（17）計(jì)算約化系數(shù)矩陣，在計(jì)算過程中對(duì)主對(duì)角元素為零的行向量做換主元操作，保證主對(duì)角元素的非零性。主元交換的約化系數(shù)矩陣計(jì)算流程見圖1。

Fig.1 Primary component exchange flow圖1 主元交換流程

交換過程中引入標(biāo)志矩陣P，用以記錄主元交換過程以及結(jié)果恢復(fù)。主元交換原理為：如果njj=0,nij≠0，i>j且nsj=0,s=j,j+1,…,i-1，那么交換j 行與i 行，np.jk=nik,np.ik=njk，k=1,2,…,n。

由簡(jiǎn)單矩陣運(yùn)算規(guī)則可知，矩陣行向量交換可通過左乘單位矩陣的變形陣實(shí)現(xiàn)。因此，主元交換操作后，對(duì)于可逆矩陣一定存在初等方陣P，使得PA=LU，則有A-1=U-1L-1P。主元交換后的約化系數(shù)矩陣N（ap.ji的p 表示進(jìn)行了主元交換操作）為：

（2）行向量修正。主元交換后，N 的主對(duì)角元均不為零，還要對(duì)N 中主對(duì)角元小于零的元素進(jìn)行修正。修正過程為左乘修正矩陣M：

（3）計(jì)算三角逆矩陣。直接根據(jù)公式計(jì)算三角逆矩陣：

其中，上三角逆矩陣和下三角逆矩陣的元素為（具體分析參考文獻(xiàn)［12］）：

（4）求所需逆矩陣。

2.3 算法總體流程

基于波束空間的四階累積量LCMV 算法流程如圖2 所示。陣列接收數(shù)據(jù)通過轉(zhuǎn)換矩陣T 將信號(hào)由陣元域變換到波束域，在波束空間中構(gòu)造數(shù)據(jù)四階累積量空間相關(guān)矩陣R4bs、方向矩陣C4bs、對(duì)應(yīng)約束響應(yīng)矢 量f4bs，將R4bs輸出到求逆模塊，采用基于主元交換的原位替換算法求，然后在LCMV 準(zhǔn)則下求解最優(yōu)權(quán)矢量［17-20］。

Fig.2 Flow of fourth-order cumulant LCMV algorithm based on beamspace圖2 基于波束空間的四階累積量LCMV 算法流程

3 仿真結(jié)果與分析

3.1 仿真分析

（1）仿真1：陣元數(shù)N=12，波束數(shù)r=7，輸入信噪比為0。LCMV、陣元域四階累積量LCMV 與本文建立的基于波束空間的四階累積量LCMV 算法仿真方向比較如圖3 所示。通過比較分析可知，與傳統(tǒng)LCMV 算法相比，基于四階累積量的LCMV 算法和基于波束空間的四階累積量LCMV 算法的主瓣寬度更窄，旁瓣電平的零陷更低，優(yōu)勢(shì)明顯。

（2）仿真2：在陣元數(shù)N=12，波束數(shù)分別為r=5、r=7、r=9時(shí)，基于波束空間的四階累積量LCMV 算法仿真方向如圖4 所示。可以看到，當(dāng)波束數(shù)r=5 時(shí)，波束范圍外的干擾被濾除得很干凈，但波束區(qū)域內(nèi)的部分旁瓣略高，主瓣略寬。r=7 與r=9 的方向圖大致相同，在考慮計(jì)算量的情況下選擇r=7 性能最佳。波束數(shù)越大，濾波性能越好，但計(jì)算量增加；波束數(shù)越小，波束范圍越小，雖然算法計(jì)算量減少，但主瓣變寬。因此，波束數(shù)的選擇非常重要。

Fig.3 Simulation results of array element number N=12 and beam number r=7圖3 陣元數(shù)N=12，波束數(shù)r=7 仿真結(jié)果

Fig.4 Simulation results of array element number N=12 and beam number r=5，7 and 9圖4 陣元數(shù)N=12，波束數(shù)r=5、7、9 仿真結(jié)果

（3）仿真3：陣元數(shù)N=12，波束數(shù)r=7。輸入信噪比在-5～15dB 范圍內(nèi)變化，比較LCMV、陣元域四階累積量LCMV與基于波束空間的四階累積量LCMV 算法的輸出信噪比，具體如圖5 所示。從仿真結(jié)果可以得出，陣元域與基于波束空間的四階累積量LCMV 算法的輸出信噪比大致相等，且隨著輸入信噪比的增加，陣元域和基于波束空間的四階累積量LCMV 算法的輸出信噪比相較傳統(tǒng)LCMV 變高。仿真結(jié)果表明，基于波束空間的四階累積量LCMV 算法在保證較小性能損耗的前提下降低了計(jì)算量。

Fig.5 Output SNR results圖5 輸出信噪比結(jié)果

3.2 計(jì)算復(fù)雜度分析

構(gòu)造陣元域四階累積量矩陣的計(jì)算量很大，計(jì)算復(fù)雜度為Ο(M2×M2)。將信號(hào)數(shù)據(jù)變換到波束域后（波束數(shù)為r

基于主元交換的原位替換求逆算法更適用于硬件工程實(shí)現(xiàn)，存在以下優(yōu)勢(shì)：①占用存儲(chǔ)空間少，同一存儲(chǔ)空間內(nèi)先后存放數(shù)據(jù)，達(dá)到了原位替換的效果；②具有良好的可并行性，無(wú)論是分解方式還是計(jì)算公式，原位替換都具有很高的并行設(shè)計(jì)潛質(zhì)；③運(yùn)算復(fù)雜度較低，整個(gè)計(jì)算過程中，除了約化系數(shù)矩陣N 和三角逆矩陣對(duì)角線元素的計(jì)算過程涉及開方、除法運(yùn)算外，其他元素的計(jì)算多為加乘運(yùn)算。與QR 分解求逆算法相比，該算法避免了計(jì)算繁瑣的求范數(shù)過程，并且減少了開方、除法等復(fù)雜運(yùn)算的操作次數(shù)。因此，本文建立的求逆算法是優(yōu)越的、可行的。

4 結(jié)論

本文提出基于波束空間的四階累積量LCMV 波束形成算法，使信號(hào)處理從陣元域向波束域轉(zhuǎn)變，并將基于主元交換的原位替換求逆算法運(yùn)用到波束形成信號(hào)處理中，解決了高階累積量矩陣計(jì)算量大的問題。基于波束空間的四階累積量LCMV 算法將陣列接收信號(hào)從陣元域變換到波束域進(jìn)行處理，在保證波束主瓣寬度較小、旁瓣電平較低以及抗干擾性能較好的前提下，對(duì)算法過程中的求逆環(huán)節(jié)作出了改進(jìn)。所運(yùn)用的基于主元交換的原位替換求逆算法具有存儲(chǔ)空間占用少、可并行性好、運(yùn)算速度高且復(fù)雜度低等優(yōu)點(diǎn)。同時(shí)，仿真分析結(jié)果證明了整個(gè)算法的可行性和優(yōu)越性。通過對(duì)波束域處理與求逆算法的研究，對(duì)自適應(yīng)波束陣列處理技術(shù)有了更深認(rèn)識(shí)，研究結(jié)果對(duì)高階累積量在自適應(yīng)陣列處理領(lǐng)域中的應(yīng)用有很大參考意義。