孔洞對裂紋尖端應力強度因子影響的仿真分析

楊露露，陳 浩，楊亞莉

（上海工程技術大學機械與汽車工程學院，上海 201600）

0 引言

科技的發展驅動材料輕量化。鋁合金由于低密度、高強度、低成本的優秀性能，廣泛應用于汽車、航天等機械制造行業中。鑄造鋁合金由于其良好的性能，通常應用于發動機、車架等高強度受力部位，而材料的內部裂紋和孔洞缺陷往往會對鋁合金強度造成較大影響［1-2］，因此對鋁合金的力學強度研究十分重要，ABAQUS 等仿真分析軟件為研究提供了平臺支撐。

許多學者對孔洞和裂紋缺陷進行了研究。姜文等［3］、曾祥太［4］從孔洞缺陷的特征出發，展示了孔洞缺陷的特征參數對裂紋的產生和擴展作用，提出了孔洞疲勞壽命的定量預測模型；莫得鋒等［5］研究了壽命模型與線彈性斷裂模型之間的內在聯系，指出在材料缺陷中孔洞的分布往往呈現無規律狀態；馬迎松［6］研究了隨機分布的孔洞對材料的破壞規律。在材料破壞過程中，會經歷孔洞成型、裂紋成型到裂紋擴展幾個階段，裂紋和孔洞往往與材料的失效斷裂階段同時存在。在裂紋擴展階段，孔洞同樣會對裂紋擴展產生影響。一些學者研究了殘余應力對孔洞裂紋的擴展影響，引入了塑性變形參數，提出疲勞裂紋萌生壽命預測曲線［7-8］。孔洞會改變裂紋尖端的應力分布，從而改變裂紋擴展速率和擴展角度。呂斐等［9］、石路楊等［10］引入應力影響系數來預測裂紋擴展路徑的變化趨勢；劉劍等［11］、涂文鋒等［12］、寇佩佩［13］使用擴展有限元方法對含孔洞裂紋擴展進行分析，證明了擴展有限元的合理性和簡潔性；Lang等［14］通過數值模擬和計算，研究了降低裂紋擴展速率的應力分布。ABAQUS 不僅針對材料損傷，在工程中應用也很廣泛［15-18］，在機械車輛的動力特性以及強度剛度方面發揮著重要作用。以上研究都是基于各類有限元軟件對單孔洞或孔洞裂紋的相互作用來進行，對于三維裂紋尖端受孔洞影響的定量分析研究卻較少。本文通過ABAQUS 對含孔洞的6061 鋁合金內部的三維裂紋尖端進行特征分析，設定分布參數（距離、大小、角度），研究裂紋尖端的應力強度因子變化，并且通過MATLAB 進行三維擬合，為裂紋擴展速率和角度的變化提供理論支撐［19］。

1 有限元模型建立及孔洞各參數模型分析

三維裂紋和孔洞仿真模型選擇長度為a=5mm，寬度和厚度均為b=2mm 的長方體模型，在裂紋設置上選擇中間貫穿裂紋，長度為L=2mm，孔洞位置在裂紋尖端中間處，裂紋和孔洞位置二維展示如圖1 所示。

Fig.1 Two-dimensional model of hole crack圖1 孔洞裂紋二維模型

材料參數設置為：彈性模量E=71 000Gpa，泊松比λ=0.33，模型采用下端固定，上端施加σ=1 000Mpa 的豎直應力，內部貫穿裂紋長度為L=2mm。

由于要研究孔洞對于裂紋尖端處的應力強度因子影響，因此要考慮孔洞的3 種變量參數，分別為孔洞離裂紋尖端的距離l、角度ω以及孔洞半徑大小r。由于計算過程中J積分的穩定性，同時對于I 型裂紋，其J 積分和應力強度因子K 之間存在如下關系：

其中E 為材料的彈性模量，因此在計算中采用J 積分進行計算。

ABAQUS 中模型的網格劃分為四面體和六面體單元，基于對模型結果要求的精確性，選擇六面體網格，全局種子設置為0.04。由于含裂紋孔洞模型無法直接劃分六面體，因此需要對其進行切分。將孔洞獨立切割出來，再將其均等切割成八等份，并將其由圓心到圓邊逐漸加密Sin?gle 單元，最小到最大尺寸為0.001～0.002 5，其種子設置如圖2 所示。

Fig.2 Local encryption of hole unit圖2 孔洞單元的局部加密

最終得到模型的各參數設置如圖3 所示。

Fig.3 Model parameter setting圖3 模型參數設置

1.1 孔洞距裂紋尖端的距離對J 積分的影響

對孔洞參數進行設定時，由于孔洞離裂紋尖端太遠，應力影響會不明顯，太近時網格劃分又比較困難。因此，對距離l劃分為7 組，分別為0.03mm、0.05mm、0.1mm、0.15mm、0.2mm、0.25mm、0.3mm。控制恒定變量為：角度ω=90°，孔洞大小半徑r=0.004mm。在進行分析前，對比實驗設定為無孔洞時的裂紋中間節點的J 積分，在ABAQUS 后處理模塊中可以得出其大小為91.68，將其設為標準值J0。再對7 組含孔洞模型分別分析其節點處J 積分，結果如圖4所示的應力云圖。

Fig.4 Stress nephogram of result analysis圖4 結果分析應力云圖

計算差值如表1 所示。

Table 1 The value of J integral varying with hole distance at crack intermediate node表1 裂紋中間節點處隨孔洞距離變化的J 積分的值

將其在MATLAB 中進行曲線擬合如圖5 所示。

Fig.5 The relationship curve of J integral value changing with hole crack distance圖5 J 積分變化值隨孔洞裂紋距離變化的關系曲線

從圖5 可以看出其函數類型為冪函數，其J 積分差值f(x)的函數表達式為：

對其R2，檢驗其值為R2=0.996 6，符合擬合標準。

由圖5 可以看出，孔洞位于裂紋上方時，孔洞距離裂紋尖端越近，裂紋尖端的J 積分越小，且呈現冪函數形式的變化趨勢。孔洞處應力集中，會對其周圍的應力場產生弱化影響，這一過程原理近似于工程應用中“止裂孔”的作用。

1.2 孔洞距裂紋尖端的角度對J 積分的影響

模型的設定中力的施加為豎直力，孔洞周圍的應力場會隨著孔洞和裂紋尖端的相對位置變化而變化。在角度分析中，由于對稱性，將孔洞與裂紋中點處的夾角設定為0°～180°即可，本文選擇夾角為0°、30°、60°、90°、120°、150°六個角度，控制恒定變量為孔洞到裂紋尖端距離0.1mm，孔洞大小半徑為r=0.004mm，對六組模型分析其裂紋中點處J積分結果如表2 所示。

將其在MATLAB 中進行曲線擬合如圖6 所示。

在曲線擬合中，對不同函數的R2進行比較，最終確定復合三角函數的函數關系式如下：

由圖6 的曲線可知，角度對于裂紋尖端的J 積分有著較大影響，在靠近裂紋尖端水平處的孔洞會增大裂紋尖端的J 積分值，在45°和135°附近時，孔洞對于裂紋尖端的J 積分減小作用最明顯，在0°～90°以及90°～180°處的影響近乎相同。

Table 2 J integral value of crack intermediate node varying with hole angle表2 裂紋中間節點處隨孔洞角度變化的J 積分值

Fig.6 Relationship curve of J integral ralue changing with hole crack angle圖6 J 積分變化值隨孔洞裂紋角度變化的關系曲線

1.3 孔洞半徑大小對J 積分的影響

在不考慮鑄造缺陷的狀況下，孔洞往往呈現很小的半徑范圍，多為微米級別，將其分組設置為1～6μm，其對裂紋尖端中點處的J 積分影響如表3 所示。

Table 3 J integral value of crack intermediate node varying with hole radius表3 裂紋中間節點處隨孔洞半徑變化的J 積分值

曲線展示如圖7 所示。

Fig.7 Variation curve of J integral difference at crack tip with hole radius圖7 裂紋尖端J 積分差值隨孔洞半徑變化曲線

由圖7 可知，當孔洞半徑很小時，孔洞半徑的變化對于裂紋尖端的J 積分影響不明顯。有些學者提出孔洞半徑大小在25μm［20］時會對材料壽命產生較大影響，此即為孔洞關鍵尺寸，這與所得結論對應。

1.4 曲線的力學分析驗證

分析中間含圓孔平板的應力，根據復變函數理論，圓孔水平和豎直應力分量表達式如下：

利用復變函數理論的保角變換原理，把一個不規則分段光滑的曲線變換到單位圓上，導出復變函數的應力表達式及其邊界條件。對任意圓形孔其映射函數的一般表達式為：

可以得到各應力分量的表達式如下：

將其單位圓受力展示在圖8 中。

Fig.8 Circumferential stress distribution of holes under tensile stress圖8 拉應力作用下孔洞周向應力分布

由圖8 可知，孔洞周邊應力分布隨長度（距離）和角度變化趨勢和仿真中的曲線基本吻合，證明了仿真數據的合理性。

1.5 孔洞各參數綜合分析

通過以上分析可以看出，在微孔洞狀態下，孔洞對裂紋尖端的應力強度影響因子主要在于孔洞到裂紋尖端的距離和角度。在MATLAB 中進行擬合程序的編輯運行，分別在程序中編輯距離l和角度w以及裂紋尖端J 積分的變化值，并采用二次多項式擬合曲面，其擬合結果如圖9 所示。

確定公式參數，得到擬合曲面為：

其中，x1、x2分別表示距離l和角度，w、y為有孔洞時裂紋尖端的J 積分和無孔洞時裂紋尖端J0的標準差，即J=J0+y。

Fig.9 Quadratic polynomial fitting surface of multi-parameter J integral and standard difference J0圖9 多參數J 積分和標準J0 差值的二次多項式擬合曲面

2 任意拉應力和裂紋長度下的應力強度因子K 值預測

在已知不同孔洞分布的J 積分變化情況下，對應力強度因子做進一步分析。由三維空間J 積分理論可知，對于I型裂紋，其J 積分和應力強度因子K 之間存在如下關系：

E 為材料的彈性模量。

應力強度因子K 又和裂紋長度存在如下關系：

其中，Y 為形狀因子，a 為裂紋長度，由式（10）得，應力強度因子的大小為形狀因子、I 型拉應力大小以及裂紋長度所共同決定，對于含孔洞的裂紋尖端會隨著孔洞位置的變化而變化，而在應力以及裂紋長度相對固定的情況下，孔洞位置的變化往往對形狀因子間接造成影響。由式（10）、（11）得：

由前文擬合公式（9）可知，每個孔洞的分布都有其相對應的形狀因子，由式（11）得孔洞裂紋模型的形狀因子為：

在此模型中，應力σ=1 000Mpa，a=2mm，并且J 積分和應力平方成正比，和裂紋長度成正比。由式（13）可得任意孔洞分布下的形狀因子Y，因此對于任意應力S 和裂紋長度L 下的裂紋尖端J 積分JA有：

由式（14）可知，通過前文擬合的任意孔洞條件下的J積分變化值，可得出任意孔洞分布下的形狀因子，再將其特定的形狀因子帶入推導公式（14），便可得到單孔洞對于三維裂紋尖端的定量影響，從而得出不同孔洞分布以及材料受力情況下的裂紋擴展速率。

3 結語

通過有限元軟件ABAQUS 建模分析，得出裂紋尖端處的孔洞分布不同會對其應力強度因子造成不同的影響。孔洞距離裂紋尖端的距離越近，對降低其應力強度因子越明顯，這近似于工程應用中“止裂孔”效果。孔洞對裂紋尖端的相對角度變化多數情況下會減小裂紋尖端的應力強度因子，這一影響在45°或者對稱的135°時最明顯。研究表明，孔洞影響裂紋尖端應力強度因子是通過形狀因子來實現的。形狀因子和孔洞參數分布相關，并且可以通過公式將其定量表示，確定了形狀因子可通過任意裂紋長度和應力大小來確定裂紋尖端的應力強度因子大小。通過理論分析驗證了ABAQUS 仿真結果和MATLAB 擬合用于材料力學強度分析的合理性，以及仿真分析軟件在工程應用中的可靠性,因此仿真研究可以較為準確地在微觀層面上得到裂紋孔洞相互作用的機理，對于疲勞裂紋擴展預測提供了可行方法。本文主要研究了單孔洞和裂紋之間的相互作用，后續對于多孔洞之間的相互耦合還需進一步研究。