一種基于BCH 級聯極化碼的分段校驗譯碼算法

奚珍珍，劉順蘭

（杭州電子科技大學電子信息學院，浙江杭州 310018）

0 引言

極化碼是一種新型的編碼方式［1-2］，也是目前3GPP 標準制定中的一種信道編碼技術方案。學者們對極化碼的構造算法［3-4］、碼率兼容算法［5-9］、編譯碼算法展開了深入研究。極化碼在有限的碼長下信道極化現象并不完全，譯碼的準確性嚴重影響通信質量。連續消除譯碼（Successive Cancellation，SC）是基于極化碼最早提出的低復雜度譯碼算法，但是該譯碼容易存在錯誤傳播現象［10］；連續消除列表（Successive Cancellation List，SCL）譯碼是連續消除譯碼的改進算法，通過多路徑貪心搜索方法可減少丟失正確碼元的可能性［11-12］；CRC 輔助校驗的SCL 譯碼（CRC-Aided SCL，CA-SCL）［13］利用CRC 校驗碼檢錯的特性，進一步提高了譯碼的正確率，使極化碼相比低密度奇偶校驗碼（Low-Density Parity-Check，LDPC）［14］具有更好的性能。

隨著候選路徑數量L 的增加，譯碼準確率有明顯提升，但計算的內存也急劇增加，對此，文獻［15］提出了CRC 輔助校驗的分段譯碼，能在不降低譯碼性能的前提下對硬件的內存需求更低。而CRC 只能檢錯，BCH 碼不僅可以檢錯又可以糾錯。文獻［16］進一步改良，提出了BC-SCL 分段譯碼，對一段碼元進行糾錯，進而使譯碼性能得到改善；將polar 碼與其他碼字級聯也是改進譯碼準確性的有效方法：極化碼與卷積碼級聯的譯碼方法誤塊率，在各種編碼率下隨碼率增長呈指數衰減［17］；Saber 等［18］建議與極化碼級聯時，外碼的碼長小于等于8，并通過密度演化算法來計算子信道的錯誤概率，該方法不但改善了極化碼性能，而且計算復雜度較低。

為了進一步提高極化碼在有限碼長時的極化碼譯碼準確性，本文利用BCH 可糾正多個錯誤的特性［19］，實現由BCH 級聯極化碼并進行分段編碼與譯碼。為有效彌補錯誤傳播現象造成的性能損失，對BCH 譯碼也進一步改進，選擇錯誤概率較小且校驗成功的路徑作為輸出。仿真顯示，在相同條件下，系統極化碼［20］性能優于極化碼。因此，本文將該分段譯碼方法擴展應用到BCH 級聯系統極化碼。

1 極化碼概述

1.1 極化碼與系統極化碼

極化碼是一種基于信道極化理論的信道編碼方式。當碼長不斷增加時，編碼端通過碼字構造方法后，各個子信道的信道容量呈現出兩級分化現象，將信道容量趨近于1 的完美信道用來傳輸有用信息，從而達到信道容量。

對于給定的碼長N，極化碼編碼方式如下：

其中，A為信息位位置索引集合，AC為凍結位位置索引集合，uA為有用信息序列為凍結信息序列，通常置為0，GN(A)表示由A中元素對應的行構成的GN的子矩陣，GN(Ac)同理，⊕表示模2 加。

根據文獻［20］可知，系統極化碼與極化碼相比在SC 譯碼下錯誤傳播更少，兩者在編碼階段及譯碼階段都存在著差異。

系統極化碼定義為：

其中,x=(xB,)為系統極化碼的編碼碼字，B為{1,…,N}的任意子集，也稱為信息位位置索引集合，BC為B在{1,…,N}集合的補集，也稱為凍結位位置索引集合。GAB為G 的子矩陣，由i∈A,j∈B的元素(Gi,j)組成，，定義同上。

在編碼階段，極化碼的信息比特被分配到碼源序列，而系統極化碼是由編碼后的碼字攜帶信息比特。在譯碼階段，用于極化碼的譯碼算法都適用于系統極化碼，不同的是極化碼的誤碼率和誤塊率的統計是通過比較uA和而系統極化碼是通過比較xB和因此系統極化碼譯碼得到譯碼判決結果后，還需再進行編碼才能得到

1.2 SCL 譯碼

SC 譯碼過程是串行進行，因此存在容易錯誤傳播現象，且SC 譯碼碼樹形式的譯碼最終僅選出一條路經，容易丟失最佳路徑。為了降低該情況出現的概率，SCL 譯碼引入了保留多條譯碼路徑的思想。在譯碼準備階段，設定一個備選路徑數目的最大值L，在每一層譯碼過程中，最多可保留L 條備選路徑。在SCL 譯碼過程中有一個重要的參數，即基于LLR 的路徑度量值（Path Metric，PM）［21］，定義為：

2 BCH 級聯極化碼的分段校驗譯碼

BCH 級聯極化碼方案，是將BCH 碼作為外碼，極化碼為內碼，基于BCH 級聯極化碼的分段校驗譯碼詳細流程如圖1 所示。在極化碼編碼前，將信息比特分為兩段，每段分別通過BCH 編碼在每組信息比特的后面增加校驗位。SCL譯碼后對譯碼比特進行分段校驗，利用BCH 碼糾錯特性進行糾錯。

Fig.1 Flow of BCH cascaded polar code segment check decoding algorithm圖1 BCH 級聯極化碼分段校驗譯碼算法流程

通常，傳統的校驗方法是在信息序列的末尾添加一段校驗碼，而分段校驗與傳統檢驗的最大不同在于分段校驗是在信息序列中相對分散地插入較短的校驗碼。通過采用分段校驗輔助方法可實現提前終止譯碼，以省去不必要的譯碼時間。

2.1 編碼系統模型

如圖2 所示，BCH 級聯極化碼編碼系統模型主要包括BCH 編碼和極化碼編碼。假設采用（n，k，t）BCH 碼和（N，K）極化碼進行級聯，其中k 為參與BCH 編碼的信息比特序列長度，n 為BCH 編碼后得到的碼字長度，t 為糾錯能力，N表示極化碼長度，K 表示參與極化碼編碼的信息比特序列長度，BCH 碼字中包含了r=n-k 個校驗比特。

Fig.2 BCH cascaded polar code coding system model圖2 BCH 級聯極化碼編碼系統模型

2.2 分段校驗譯碼算法

BC-SCL 譯碼算法是在SCL 譯碼后，分別進行BCH 譯碼和CRC 校驗，因此只有第一段可以進行糾錯。本文提出的譯碼算法是兩段都進行BCH 譯碼，每段都有糾正t 個錯誤的機會，在較低的內存需求下，提高了整體的譯碼性能。

本文提出的適用于BCH 級聯極化碼的分段校驗譯碼算法可分為兩個部分：第一部分是SCL 譯碼算法，譯碼結束后，按照路徑度量值由小到大的順序保留L 條路徑；第二部分是BCH 分段校驗譯碼算法，依次對L 條候選路徑進行校驗，若校驗失敗再進行糾錯。選擇路徑度量值最小且校驗成功的路徑作為輸出，有效彌補了錯誤傳播現象造成的性能損失。

圖3 為BCH 分段校驗譯碼算法流程。該算法的輸入值是SCL 譯碼后的L 條路徑中存放拆分后的譯碼比特序列的，其 中表示第L 條路徑中存儲的n個譯碼比特，輸出序列默認為第一條路徑存儲的n 個譯碼比 特首先通過校驗 矩陣對第一條路徑進行BCH 校驗，若校驗成功則直接輸出該序列，進行下一段BCH 校驗譯碼；若校驗失敗，則對該路徑進行BCH糾錯并進行校驗。若成功，直接輸出當前糾錯后的結果，進行下一段BCH 校驗譯碼；若糾錯失敗，繼續對下一條路徑進行判定。此算法利用BCH 碼的檢錯與糾錯特性，自列表的第一條路徑開始，檢測到首條可通過校驗的路徑即立即終止本段的譯碼算法。若直至最后一條路徑都校驗失敗，則輸出默認序列。該算法通過層層嚴格篩選，輸出能夠通過BCH 糾錯校驗的路徑且錯誤概率相對最小的路徑，由此進一步提高了BCH 級聯極化碼的誤碼性能。

Fig.3 BCH segment check and decoding algorithm flow圖3 BCH 分段校驗譯碼算法流程

BCH 級聯極化碼分段校驗譯碼流程如下：①初始化。給定（N，K）系統polar 碼，（n，k，t）BCH 級聯polar 碼，其中BCH 碼的校驗位數量r=n-k，候選路徑的數量L，凍結信息序列置0；②BCH 編碼。將長度為K-2r 的輸入信息序列分為兩段，對每段分別進行BCH 編碼，完成編碼后將兩段BCH 碼合并碼字，并進行混合比特；③polar 碼編碼。利用公式（2）對得到的混合比特進行編碼得到極化碼的碼字；④輸入信道。使用BPSK 對接收到的碼字進行調制，調制后添加噪聲并傳輸到接收端；⑤polar 碼譯碼。對接收到的信息執行SCL 譯碼，得到按照錯誤概率由小到大的順序保留的L 條路徑；⑥BCH 譯碼。首先將SCL 譯碼得到的L 條序列拆分，得到兩段L 條子序列；其次，按順序依次對每段的L 條信息序列的估計值進行校驗與糾錯，檢測到首條可通過校驗的路徑即立即終止本段的BCH 譯碼；若直至最后一條路徑都校驗失敗，則本段輸出默認的序列。兩段都完成BCH 譯碼后，將兩段譯碼結果合并作為最后的輸出結果。

由于系統極化碼性能比非系統極化碼更優異，因此本文將提出的譯碼算法推廣應用到BCH 級聯系統極化碼。在整個編譯碼過程中，系統碼的編碼稍有不同，按照式（3）、式（4）進行編碼，譯碼部分完全適用。

3 仿真結果與分析

基于以上理論分析進行MATLAB 仿真。AWGN 信道下，采用SCL 譯碼并加入文獻［16］的BC-SCL（BCH-CRCaided segmented SCL decoding）算法，與本文所提的BCH 級聯極化碼分段校驗譯碼算法進行對比。

實驗1：將文獻［16］提出的BC-SCL 與本文提出的級聯極化碼分段校驗譯碼在相同信噪比條件下進行比較，仿真參數如表1 所示，不同碼長情況下的兩種譯碼誤碼率性能比較如圖4 所示。

Table 1 Simulation parameters（based on fig.4）表1 仿真參數（基于圖4）

表1 中BCH-polar（128）代表本文提出的分段校驗譯碼算法，極化碼碼長為128，BC-polar（128）代表BC-SCL 算法極化碼碼長為128，SCL 譯碼的列表長度L 為8。

由圖4（彩圖掃OSID 碼可見，下同）的仿真結果可見，在碼長相同的情況下對兩種譯碼方法的誤碼性能進行比較，本文提出的基于BCH 級聯極化碼的分段校驗算法在譯碼性能上比BC-SCL 譯碼效果更好。當誤碼率為10-3、極化碼碼長為64 時，本文提出的譯碼算法相比BC-SCL 獲得了約0.25dB 增益；極化碼碼長為128 時，本文提出的譯碼算法相比BC-SCL 獲得了約0.1dB 增益。采用本文提出的分段校驗譯碼算法，當極化碼碼長較短時，子信道極化程度低，誤碼率明顯降低。

實驗2：在相同信噪比條件下，將本文提出的算法擴展到BCH 級聯系統極化碼，同BCH 級聯極化碼比較。具體仿真參數為：極化碼與系統極化碼碼長分別為256、64，碼率為0.5，與之級聯的BCH 碼分別為（63，57，1）、（15，11，1）。

如圖5 所示，BCH-syspolar（256）與BCH-polar（256）分別代表本文提出的BCH 級聯極化碼分段校驗譯碼算法與擴展到BCH 級聯系統極化碼的分段校驗譯碼算法，極化碼與系統極化碼的碼長都為256。

相同碼長情況下，BCH 級聯系統極化碼的分段校驗譯碼性能均比級聯極化碼的分段校驗譯碼性能更好。當誤碼率為10-3，碼長為256 時，BCH 級聯系統極化碼的分段校驗譯碼算法比級聯極化碼的分段校驗譯碼算法獲得了約0.2dB 增益。碼長為64 時，前者比后者獲得了約0.2dB 增益。碼長越長，子信道極化越完全，極化碼與系統極化碼自身的性能會有所提升，BCH 級聯系統極化碼的譯碼算法與級聯極化碼的譯碼算法的誤碼性能會越好，并且前者比后者的誤碼性能更好。

Fig.4 Comparison of bit error rate performance of two decodings under different code lengths圖4 不同碼長情況下的兩種譯碼誤碼率性能比較

Fig.5 Comparison of the bit error rate performance of the decoding algorithm of the cascaded polar code and the cascaded system polar code under different code lengths圖5 不同碼長情況下，級聯極化碼與級聯系統極化碼譯碼算法的誤碼率性能比較

4 結語

本文提出了基于BCH 級聯極化碼的分段校驗譯碼算法，利用對SCL 譯碼序列進行BCH 分段校驗，選擇首條可通過校驗且錯誤概率相對較小的路徑作為輸出，更好地降低了誤碼率。仿真分析結果表明，相同碼長下，本文提出的譯碼算法性能明顯優于BC-SCL 譯碼算法。將該分段譯碼算法推廣應用到BCH 級聯系統極化碼，有限碼長的性能有進一步提升。下一步研究重點是在保證有限碼長性能的前提下降低譯碼的復雜度。