小波包變換在火箭發動機脈動壓力分析中的應用

楊 懿, 郭亞男, 王永鵬, 陳文麗, 賈志杰, 呂守國

(北京航天試驗技術研究所，北京 100074)

在火箭發動機試驗中，脈動壓力一般用于測量推力室內高頻、高壓、高溫壓力，具有測量精度高、系統頻響快、測量范圍大等多種特點。不僅能彌補穩態壓力無法滿足高、低溫和水擊壓力等特殊環境下測量能力的不足，還能為考核發動機性能、評估燃燒狀態等提供重要的參考依據。

目前，對于脈動壓力數據的分析尚停留于簡單觀測其在時域中的幅值大小。較穩態壓力參數而言，脈動壓力參數的數據采樣率更高、測量手段更先進、測量精度更高、系統響應頻率更快。因此，對于脈動壓力數據的分析不僅要在時域內精確分析壓力概值，還需要深度挖掘數據在頻域內的其他信息，并通過與其他測量參數數據相結合的手段，為設計部門準確評估發動機燃燒狀態和動態性能提供準確可靠的依據。

在數據時頻分析領域，常用的方法有快速傅里葉變換(FFT)、小波分析、小波包變換等方法，這些方法各有特點。傅里葉變換建立了時間域和頻率域相互轉換的關系。通過選擇不同的窗函數，可以清晰地分析數據在全頻域的特征。但該方法以正弦波及其高次諧波為標準基，不能分析局部頻率[1]，無法分析數據在某個時域內的特征。與傅里葉變換相比，小波分析能夠實現時間頻率的局部化分析，通過伸縮平移運算對信號逐步進行多尺度細化分析，最終達到在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時間分辨率，在高頻部分具有較高的時間分辨率和較低的頻率分辨率[2]。小波包分析是小波分析理論的改進型算法。在小波包數據分析和故障定位的研究領域，諸多研究人員都取得了相應的成果。商霖等[3]通過研究固體火箭燃燒室內脈動壓力能量分布的頻率特性與隨機振動的關系，研究發動機的工作原理。郭偉超等[4]利用小波包多分辨、分析信號能力強的優點，采用小波包能量譜與主成分分析相結合的方法提取振動信號中的故障特征信息，精確定位軸承的故障類型。王二化等[5]以多傳感振動信號為研究對象，將小波包各個頻段的能量比系數作為齒輪裂紋的故障特征，通過神經網絡模型特征分類法能有效辨識不同工況下的齒輪故障。

本文采用小波包變換分析方法對火箭發動機燃燒室脈動壓力數據進行去噪和樹狀分解分頻段分析，結合對應振動測點的數據，分析燃燒室脈動壓力與振動能量在頻域內的共性關系。結果證明該方法取得了較好的效果，并對后續其他相關產品試驗中脈動數據分析具有重要的應用價值。

1 脈動壓力測量系統的組成及數據特征

火箭發動機試驗中，脈動壓力測量系統一般由脈動壓力傳感器、傳感器循環冷卻系統、供電電源、信號轉換裝置和數據采集系統組成。測量系統組成圖如圖1所示。

圖1 脈動壓力測量系統組成圖

脈動壓力參數的測量需要精確體現燃燒室高溫、高壓、劇烈振動環境下的壓力變化信息。對硬件的要求主要體現在以下3個方面。

① 測量系統的頻率響應快，通常在10 kHz以上。

② 傳感器耐高溫、高壓和劇烈振動，頻率特性至少應有10～20 kHz的平坦段。

③ 采集系統的采樣頻率高，為捕捉瞬時壓力變化信息，采樣系統一般具備10 kHz/s以上的高采樣速率。

因此，對硬件系統的高要求決定了脈動壓力參數數據具有高頻、采樣點多和數據容量大等顯著特征。

2 小波包變換的基本原理

小波包分析方法具備小波分析多分辨分析的優點，能夠在全頻域內將信號頻帶劃分為多個層次，根據被分析信號的特征自適應地選擇相應的分析頻帶，使其對信號的頻譜分析更加合理。因此，與小波分析相比，小波包分析方法對時頻分析的能力更強，對信號的描述更加細致。在消除信號和圖像噪聲、提取特征信號、信號壓縮等領域應用更加廣泛。

2.1 小波包理論的基本原理

(1)

(2)

(3)

式中，g(k)=(-1)kh(1-k)，兩系數具有正交關系。尺度函數φ(t)與小波函數ψ(t)滿足式(4)、式(5)的雙尺度方程[6]：

(4)

(5)

由式(1)和式(2)構造序列{un(t)}n∈Z，n為非負整數，則稱該序列{un(t)}n∈Z為由基函數u0(t)=φ(t)確定的正交小波包。

令{un(t)}n∈Z是關于hk的小波包族，令n=0，1，2，…，j=0，1，2，…，并對式(1)進行迭代分解，則有：

(6)

(7)

小波包分解算法如下[6]：

(8)

(9)

小波包重構算法如下[6]：

(10)

(11)

通過以上分析可以看出，相對于小波變換在高頻分析能力上的不足，小波包變換能夠在全頻域中對信號進行分解，描述信號特征的能力更強。

在信號多層分解過程中，通常采用小波包Wicherhauser樹狀分解法對信號進行分解，然后再對處理后的分解信號進行重構。以3層小波包樹狀分解為例，其分解過程如圖2所示。

圖2 Wicherhauser樹狀分解流程圖

由上述分析可以看出，小波包分解的實質是對信號分解中的各級均進行高通和低通濾波。通過高、低通濾波器組將信號分解到不同的頻段內。

2.2 小波包最佳基波的選取

為方便對信號進行時頻分析，需要選擇合適的基波函數，將基波函數中的信號提取出來。對應圖2中的多層分解。自j=0向下分解的過程中，每一層均包含了多個基波。需要從中選擇最佳的基波。基波的選擇關系到信號分解以及時頻分析質量的好壞。

工程應用中常用信息代價函數來描述類似的選取程序過程。通常有3種信息代價函數：Shannon信息熵法、閾值法和P范數法[7～10]。其中，Shannon信息熵法比較適用于非平穩信號的分析，也是本文研究所選用的方法。

信息代價函數通過表征信號的有序程度和數值計算實現對信號有序性的測試。基本定義如下。

(12)

Shannon信息熵用λ(x)可表示為[6]

H(x)=λ(x)/‖x‖2+log2‖x‖2

(13)

2.3 小波基函數的選取

在工程應用中，常用的小波基函數有：Haar函數、DBN函數和SymN函數等。各基函數都有自身的特點。在信號處理中使用的基函數不同，得到的處理結果也不一樣。在實際的運用過程中需要根據數據和小波基函數自身的特點，選擇合適的小波基函數[5]。

小波基函數的選取主要遵循以下3點原則[11]。

① 支撐長度。支撐長度是指尺度函數、小波函數及其傅里葉變換的收斂速度。

② 對稱性。對稱性能夠有效避免信號處理中的移相問題。

③ 正則性和消失矩。正則性和消失矩呈正相關關系，決定小波系數重構的穩定性。

各種小波基函數的特點如表1所示。

表1 各小波基函數特點

Haar函數從Shannon正交尺度函數演化而來，以矩形函數作為標準正交基得出時域標準正交尺度函數，按照多分辨逼近原則推導Haar正交小波函數。根據其理論基礎[8]，Haar函數在時域中的支撐長度很短，時域分析能力強，但是衰減速度慢，在頻域中的局部分析能力較差。僅僅有一階消失矩，光滑程度低，表現力差。不適合分析波動強、采用頻率高的脈動壓力數據。

DBN函數是一類緊支集正交小波，N為有界正整數。該函數以周期函數為基礎，同時具備高、低通濾波器的特征。隨著N增大，衰減性降低，光滑性增加，消失矩亦隨之增高[8]。但總的來說，該函數光滑性不好。

SymN函數是DBN函數的改進型，除了具備DBN函數的優點之外，其對稱性比DBN函數要好，能夠有效降低在對信號進行分解、重構時的相位失真問題[12]。

在工程應用中，為獲得較好的去噪效果，通常需要根據數據和小波基函數的特點，選擇小波系中對稱性和正則性好的小波基函數往往能夠取得較好的去噪效果[13]。以本文試驗中的脈動壓力數據為例，試驗第10.910～第10.920 s如圖3所示。

圖3 試驗中第10.910～10.920 s脈動壓力數據

根據圖3中的脈動壓力波動特征可以看出，由于采樣率高，數據在一定范圍內波動劇烈，但對稱性好，具有相對穩定的周期，曲線光滑。基于前文3種小波基函數和脈動壓力數據的特征分析，本文選擇SymN函數進行數據的去噪處理。

2.4 小波包去噪的基本步驟

在工程應用中，不同的信號中所包含噪聲分量的比重有高有低，一般采用閾值法，通過設定不同的閾值對含噪信號進行去噪處理。小波包閾值去噪法一般分為以下4個步驟。

① 確定最優小波包基。

② 信號分解。

③ 設定小波包分解系數的閾值。對于每一個小波包分解系數，選擇合適的閾值。

④ 信號小波包重構。根據小波包分解特征信息和系數進行小波包重構。

工程應用中通常將信噪比、相關系數、均方根誤差作為去噪效果的評價指標。其中信噪比和相關系數是兩個最重要的指標。信噪比是信號功率與噪聲功率的比值，比值越大說明去噪的效果越好。相關系數是指去噪后的信號與原始信號特征信息的相似程度。本文選定信噪比作為小波包分解去噪效果的評判指標。

3 脈動壓力數據分析實例

3.1 數據分析的基本步驟

根據第2節的論述和多位技術人員的研究內容[14-16]，采用小波包變換對液體火箭發動機試驗脈動壓力數據進行分析主要分為以下步驟。

① 采用小波包分解對原始數據進行去噪處理。選定合適小波基、分解層數、閾值等。

② 選定合適的小波包基波。根據Shannon信息熵標準選定合適的基波。

③ 選定小波基函數類型和分解層數。

④ 信號的小波包分解、重構。

⑤ 分析各高、低頻系數的特征。

⑥ 數據驗證。根據分析結果，結合其他測量參數和分析方法對小波包變換的結果進行驗證，提取特征信息。

上述分析均通過Matlab軟件編程實現。

3.2 數據分析

某次火箭發動機試驗脈動壓力數據采集系統采樣率為10 kHz/s，燃燒室脈動壓力測點名稱：Pcios1。數據全程和局部數據分別如圖4、圖5所示。選取第10.80～11.00 s共計2000個樣本點作為分析數據。

圖4 全程脈動壓力數據圖

圖5 局部脈動壓力數據圖

3.2.1 傳統的數據分析方法

傳統的數據分析方法中，對于脈動壓力數據的分析主要考察其在時域內的特征信息。在發動機試驗過程中，根據發動機的工況，一般分為啟動段、穩定段和關機段。分別考核上述3個工況的壓力概值。詳細數據如表2所示。

表2 發動機不同試驗工況下脈動壓力數據

從表2中的數據可以看到，傳統的數據分析非常清晰地定位燃燒室在試驗各工況下的壓力概值，也為準確評估燃燒室的燃燒狀態提供了可靠的數據依據。但是不能獲取發動機不同工況下脈動壓力在頻域下的特征信息，無法為研究發動機動態性能提供可供參考的依據。

3.2.2 小波包變換分析方法

根據表1中各種小波基函數的特點，選定Sym3小波，自選閾值法(閾值thr=9.4712)，分解層數分別為2～4層，原始數據進行去噪處理結果如圖6所示。3種去噪方法的信噪比如表3所示。

圖6 Sym3小波、自選閾值、2～4層分解去噪效果圖

表3 Sym3小波、自選閾值、2～4層分解去噪結果信噪比數據

結合圖6和表3的數據可以看出，Sym3小波在保持信號原有趨勢信息的前提下，能夠較好地消除脈動壓力信號中的噪聲信息。隨著分解層數的增加，信噪比呈下降的趨勢，去噪后的曲線也越光滑，表明在消除噪聲的同時也過多地消除了原始信號中的有用信息。綜合上述信息，為盡量保存原信號中的有用信息，在消除噪聲的分析環節選擇2層分解去噪。

為驗證小波去噪結果是否正確，以發動機燃燒室脈動壓力測點Pcios1附近兩個穩態壓力測點Pcio1和Pcio2的平均壓力值作為參考標準，以200個樣本為間隔，計算樣本點中200～2000點的數據在去噪前、后與穩態壓力平均值之間的相對誤差。以200，400和600點的數據為例，計算結果如表4所示。

表4 Wicherhauser樹狀分解頻帶信息

從表4中相對誤差的計算結果可以看出，采用小波去噪后，數據的相對誤差較未去噪數據均得到了有效的降低。對于800～2000樣本點的相對誤差分析也能得到相同的結果。

采用Shannon信息熵標準、3層分解、DB5小波基波對信號進行分解。根據Wicherhauser樹狀分解重構算法，在第3層分解中將脈動壓力數據采樣頻率(10 kHz)分成8個頻率段，分解層對應頻率段如表5所示。DB5小波基波3層分解Wicherhauser樹狀圖和(2，1)節點的系數圖如圖7所示。(3，0)～(3，7)節點的高、低頻系數圖如圖8所示。

圖7 Wicherhauser樹狀圖和(2，1)節點的系數圖

圖8 (3，0)～(3，7)節點的高、低頻系數圖

表5 Wicherhauser樹狀分解頻帶信息

從圖8中可以分析得出，與節點(3，1)～(3，7)相比，節點(3，0)系數對應的幅值較大。節點(3，0)對應的是0～1250 Hz的中低頻段，說明在中低頻率段，脈動壓力所包含的能量較大。從圖5中第10.80～11.00 s脈動壓力數據趨勢分析，燃燒室內脈動壓力幅值大致在7.35～8.35 MPa范圍內波動且呈現周期性的壓強振蕩特征，且壓力的振幅呈遞增趨勢。說明在該試車時間段內隨著推進劑燃燒對壓強振蕩響應，燃燒產生的能量持續注入燃燒室工作系統，引起脈動壓力劇烈振蕩。其影響在燃燒室振動測點數據中應該能夠得到體現。為驗證小波包分解的有效性和準確性，分別對脈動壓力測點(Pcios1)、燃燒室軸向(a1)、徑向(a2)和切向(a3)振動測點進行FFT頻譜分析，分析結果分別如圖9～圖12所示。

圖9 脈動壓力測點(Pcios1)頻譜分析圖

圖10 振動測點(a1)頻譜分析圖

圖11 振動測點(a2)頻譜分析圖

圖12 振動測點(a3)頻譜分析圖

從圖9中可以看到，0～1250 Hz的中低頻段存在多個振蕩波動的幅值尖峰，表明在該頻率段，燃燒室內存在劇烈的壓力振蕩。從圖10～圖12中可以看出，徑向(a2)和切向(a3)振動測點同樣在0～1250 Hz的中低頻段存在多個加速度幅值尖峰，表明在該頻率段燃燒室存在徑向和切向的振動劇烈。而軸向(a1)振動測點在該頻率段內曲線較平緩，無加速度幅值尖峰，表明在該方向的振動較小。

由上述驗證分析結果可見，小波包對脈動壓力數據分析與振動測點頻譜分析結果相吻合。

4 結束語

通過對脈動壓力數據特征分析，利用小波包變換多分辨分析、全頻域自適應分解信號的優勢，采用小波包自選閾值去噪、小波包Wicherhauser樹狀重構算法、Shannon信息熵基波選擇標準等方法對脈動壓力數據進行細致、準確的頻域分段分析與特征提取。通過與穩態參數對比分析論證了選擇合適的小波基函數對數據進行去噪后的誤差。通過與傳統的脈動壓力數據分析方法的對比，論證了小波包分解在驗證數據變化規律、分析特征頻率段內能量分布有著傳統分析方法不具備的優勢。數據分析的結果展現了脈動壓力數據在頻段內的系數特征和能量分布情況，并通過對脈動壓力數據和相應振動測點數據的頻譜分析，驗證了小波包分解結果的符合發動機實際運行工況。該方法在其他型號發動機和組合件試驗脈動壓力數據分析中有重要的應用和推廣價值。