日照儀應(yīng)用實(shí)例探析

日照儀是假設(shè)各地海拔高度一致、總是晴天、在地平面上觀測(cè)各時(shí)太陽(yáng)位置的科普儀器，可以作為教具、玩具或文化擺件。它是五參量模擬計(jì)算機(jī)，松開(kāi)拉繩，轉(zhuǎn)動(dòng)框架，看著緯度板，輸入緯度，松開(kāi)卡子，在框架上串動(dòng)天柱，看著節(jié)氣刻度表輸入日期，就確定了日軌相對(duì)地平面的狀態(tài)。日照儀使用日中時(shí)刻為0的當(dāng)?shù)靥?yáng)時(shí)計(jì)時(shí)系統(tǒng)，時(shí)刻圈上的時(shí)刻所對(duì)日軌上的點(diǎn)就是當(dāng)時(shí)太陽(yáng)位置，觀者可看到太陽(yáng)的方位角和高度角。

日照儀可以讓觀者置身北極圈，欣賞夏至?xí)r太陽(yáng)欲落又起、冬至?xí)r太陽(yáng)欲出又沒(méi)的奇妙景觀；可以讓觀者置身赤道，體驗(yàn)終年晝長(zhǎng)夜長(zhǎng)相等，體驗(yàn)一年有兩個(gè)日照高峰，身臨其境；可以讓觀者置身北極看見(jiàn)每年有連續(xù)半年黑夜，連續(xù)半年白晝，連續(xù)半年白晝時(shí)，最高太陽(yáng)高度角達(dá)到23°26′，但北極仍然冰雪嚴(yán)寒，由此領(lǐng)悟到太陽(yáng)高度角小、日照作用很微弱的規(guī)律。再轉(zhuǎn)至哈爾濱進(jìn)行觀察，晝夜交替日照斷續(xù)，冬至?xí)r太陽(yáng)高度角最高21°，即可理解哈爾濱冬天冷的原因。圖1為日照儀。

圖1 日照儀Fig.1 Sunshine meter

1 比較北回歸線和赤道的太陽(yáng)高度角

日照儀上，日軌反映地球自轉(zhuǎn)，節(jié)氣刻線反映地球公轉(zhuǎn)引起太陽(yáng)在地軸上投影的變化。

觀察日照儀節(jié)氣刻度表，發(fā)現(xiàn)節(jié)氣刻線很不均勻。圖1上，節(jié)氣刻度表的4條加黑刻線，同是一個(gè)節(jié)氣，春分到清明刻線距離是夏至到小暑的6倍。將日照儀春分刻線對(duì)準(zhǔn)日期標(biāo)線，緯度調(diào)為0°，進(jìn)入赤道春分狀態(tài)，得出日中太陽(yáng)高度角ξ為90°。如圖2所示，日軌被地平面平分，赤道晝長(zhǎng)12 h。操作日照儀按加黑刻線將天柱移動(dòng)較長(zhǎng)距離，進(jìn)入下一個(gè)節(jié)氣清明，用專(zhuān)用量角器測(cè)得清明時(shí)赤道日中太陽(yáng)高度角為84°，偏離90°較多。再將日照儀調(diào)到北回歸線夏至狀態(tài)，得出日中太陽(yáng)高度角ξ為90°，在日照儀上算出晝長(zhǎng)為13.5 h。再將日照儀調(diào)為小暑，天柱只移動(dòng)少許加黑刻線距離，測(cè)得小暑時(shí)北回歸線上太陽(yáng)高度角略大于89°，僅偏離90°少許。這樣操作日照儀，見(jiàn)到了兩地分別在春分夏至日后的一個(gè)節(jié)氣中，北回歸線比赤道太陽(yáng)高度角高，這和北半球內(nèi)越往南太陽(yáng)高度角越高一般認(rèn)識(shí)相矛盾。

圖2 日照儀兩個(gè)狀態(tài)Fig.2 Two stages of sunshine meter

由文獻(xiàn)[1]，sinα=sinδsinΩ，其中α為赤緯角，圖2右圖是日地連線和日軌平面的夾角，每天變化很小，一天內(nèi)認(rèn)為不變。δ為赤黃兩面交角23°26′，Ω為地球公轉(zhuǎn)過(guò)的角度，春分時(shí)為0，每年轉(zhuǎn)動(dòng)2π弧度。

圖2右圖R為日軌半徑，O點(diǎn)為太陽(yáng)在地軸上的投影，D點(diǎn)為地球，距離OD=Rtanα。將OD長(zhǎng)度對(duì)Ω求導(dǎo)，OD′=R(sinδ/cos3α)cosΩ，在Ω=0時(shí)，變化率OD′=Rsinδ；Ω=π/2時(shí)，OD′=0，投影點(diǎn)在這兩地瞬時(shí)速度比為無(wú)窮大，在其后一個(gè)節(jié)氣期間內(nèi)，兩地平均速度比是日照儀上加黑刻線6倍距離揭示的6倍速度比。太陽(yáng)在地軸上投影速度差別是北回歸線太陽(yáng)高度角高于赤道相應(yīng)太陽(yáng)高度角的根本原因。

2 理論比較北回歸線和赤道的太陽(yáng)高度角

將α對(duì)Ω兩次求導(dǎo)，得到α″=-(sinδcos2δ/cos3α)sinΩ。

式中括號(hào)內(nèi)的表達(dá)式恒大于0，得到推論1，α″的符號(hào)和sinΩ的符號(hào)剛好相反。

圖3中綠虛線是赤道日中太陽(yáng)高度角ξ曲線，黑粗線是北回歸線ξ曲線，見(jiàn)文獻(xiàn)[1]。要比較赤道與北回歸線的最強(qiáng)日照，要選擇對(duì)應(yīng)時(shí)段相比。圖3曲線圖形應(yīng)比較以春分為中心的Ω在-π/2～π/2的半年赤道日照和以夏至為中心的Ω在0～π的半年北回歸線日照。因?yàn)閮汕€都中心對(duì)稱(chēng)且對(duì)應(yīng)日子對(duì)應(yīng)時(shí)刻對(duì)應(yīng)仰角亦中心對(duì)稱(chēng)(后續(xù)有補(bǔ)證)，可只比較ξ為90°以后的時(shí)段，即比較赤道Ω在0～π/2時(shí)段和北回歸線Ω在π/2～π時(shí)段，以下稱(chēng)這兩個(gè)時(shí)段為比較時(shí)段。

圖3 赤道和北回歸線ξ曲線圖Fig.3 ξcurve of Equator and Tropic of Cancer

對(duì)于赤道的比較時(shí)段：ξ=90°-α，ξ″=-α″，在Ω(0，π/2]區(qū)間sinΩ>0，根據(jù)推論1知α″<0，由此ξ″>0，所以肯定這段ξ曲線是凹的。

對(duì)于北回歸線的比較時(shí)段：ξ=66°34′+α，ξ″=α″，在Ω[π/2，π)區(qū)間sinΩ>0，根據(jù)推論1知α″<0，由此ξ″<0，所以肯定這段ξ曲線是凸的。

將圖3中ab凹曲線向右平移π/2，使a落入c，b落入d，稱(chēng)為E曲線，和曲線F之間存在陰影區(qū)域。兩比較曲線到了一起，上者凸下者凹，兩者不會(huì)相交。將陰影區(qū)上下端點(diǎn)的比較時(shí)段特稱(chēng)為比較時(shí)段內(nèi)，這樣就有推論2：在比較時(shí)段內(nèi)，北回歸線ξ都大于赤道相應(yīng)的ξ。

文獻(xiàn)[1]中，太陽(yáng)高度角計(jì)算公式以正切形式給出，根據(jù)其推導(dǎo)過(guò)程寫(xiě)出正弦形式如下：

sinσ=sinθsinα+cosθcosαcosΦ，其中，Φ為地球的自轉(zhuǎn)角，日中為0；θ為緯度角，北回歸線緯度角為23°26′，等于δ。

取β為0～π/2的任一實(shí)數(shù)，在赤道Ω=β時(shí)，sinσ=cosαcosΦ=(1-sin2α)0.5cosΦ=(1-sin2δsin2β)0.5cosΦ；Ω=-β時(shí)，sinσ=cosαcosΦ=(1-sin2α)0.5cosΦ=(1-sin2δsin2β)0.5cosΦ，與前式相同。

在北回歸線Ω=π/2+β時(shí)，sinσ=sin2δsin(π/2+β)+cosδ(1-sin2δsin2(π/2+β))0.5cosΦ

=sin2δcosβ+cosδ(1-sin2δcos2β)0.5cosΦ

Ω=π/2-β時(shí)，sinσ=sin2δsin(π/2-β)+cosδ(1-sin2δsin2(π/2-β))0.5cosΦ

=sin2δcosβ+cosδ(1-sin2δcos2β)0.5cosΦ，與前式相同，這就補(bǔ)證了赤道太陽(yáng)高度角以Ω=0為中心，中心對(duì)稱(chēng)，補(bǔ)證了北回歸線太陽(yáng)高度角以Ω=π/2為中心，中心對(duì)稱(chēng)。

比較σ大小，可以通過(guò)比較sinσ進(jìn)行。設(shè)G為北回歸線sinσ比赤道相應(yīng)的sinσ高出值。

圖4中，以Φ、Ω、G為三軸座標(biāo)系，畫(huà)出G諸曲線的包絡(luò)面。把赤道sinσ值作地平面，用綠虛線圈邊，以黑實(shí)線圈邊的灰色曲面為G的曲面，Ω軸的兩種刻度對(duì)應(yīng)兩地。

圖4 比較期間的sinσ比較Fig.4 Comparison of sinσ during comparison

太陽(yáng)高度角公式?jīng)Q定了上下午高度角中心對(duì)稱(chēng)，可只比較Φ為0～90°。赤道總是Φ=90°落日，北回歸線Φ>90°落日。Φ>90°屬于北回歸線太陽(yáng)高度角高于赤道相應(yīng)仰角部分，不需比較。

cd邊曲線反映的是Φ=90°時(shí)的情況。

北回歸線：θ=δ，sinα=sinδsin(Ω+π/2)，sinσ=sinδsinδcosΩ。

赤道：θ=0，sinσ=0，所以G=sin2δcosΩ=0.1582cosΩ，畫(huà)出曲面cd邊。

ab邊對(duì)應(yīng)的是兩地sinξ高出值，對(duì)應(yīng)圖3陰影區(qū)，由推論2，ab曲線中間不著地。

現(xiàn)求對(duì)于北回歸線Ω=π/2+β，赤道Ω=β對(duì)應(yīng)的G曲線，對(duì)于北回歸線：θ=δ，Ω=π/2+β，sinσ=sin2δcosβ+cosδ(1-sin2δcos2β)0.5cosΦ，對(duì)于赤道：θ=0，Ω=β，sinσ=(1-sin2δsin2β)0.5cosΦ，所以G=sin2δcosβ+[cosδ(1-sin2δcos2β)0.5-(1-sin2δsin2β)0.5]cosΦ。

令G=A-BcosΦ，β=π/2時(shí)B=0，當(dāng)β<π/2則B>0，可由β，算出A、B寫(xiě)出G式：取β=0，G=0.1582-0.1582cosΦ，畫(huà)出黑粗線ad邊；取β=π/3，G=0.0791-0.0396cosΦ，畫(huà)出紅虛線；取β=π/2，G=0，即bc直線段邊。

曲面上任意β對(duì)應(yīng)的曲線G=A-BcosΦ，最低點(diǎn)在ab邊上，最高點(diǎn)在cd邊上。曲面除了a點(diǎn)和bc直線段著地外都大于0。曲面不存在G值小于0的情況。

這從理論上證明了比較時(shí)段內(nèi)北回歸線的太陽(yáng)高度角都高于赤道對(duì)應(yīng)時(shí)刻的太陽(yáng)高度角。證明了以夏至為中心的Ω在0～π半年北回歸線的太陽(yáng)高度角高于以春分為中心的Ω在-π/2～π/2半年赤道相應(yīng)時(shí)刻太陽(yáng)高度角，只有這兩個(gè)半年開(kāi)始的一天和結(jié)束的一天以及正中間一天的日中時(shí)刻，兩地的太陽(yáng)高度角相等是例外。

公式計(jì)算比日照儀觀測(cè)更準(zhǔn)確更全面，但是在日照儀上解釋了現(xiàn)象實(shí)質(zhì)，更為清楚。