例談小學數學教學中模型思想的培養

陸開芹

[摘? 要] 從當下數學教學的變革發展中不難看出，“數學模型”是數學符號、數學式子以及數量關系對現實原型簡化的本質的描述。因此，要培養和發展學生形象的數學模型思想，就得重視基本生活原型的引入，并結合書本知識體系的學習，指導學生學會用符號、式子等建構對應的思考模型和解答模型，真正使學生經歷“數學化”的學習過程。

[關鍵詞] 模型思想;數學活動;數學素養

《義務教育數學課程標準（2011年版）》明確指出：“模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果，并討論結果的意義。”

一、滲透模型思想于情境中

無論從事怎樣的教學活動，我們都得為學生的自主學習、探究學習和合作學習搭建適宜的平臺。創設學習情境、教學情境就是提供最基本的平臺。因此，教學中要善于解讀知識內容，依托教材的編排規律，科學地把現實生活中與數學學習相關聯的素材引入教學之中，促使學生能夠在較為輕松活潑的氛圍中運用知識去分析問題、研究問題，從而引發學生積極的數學思考，促使學生進行必要的抽象、概括，促使數學模型的建立。

如構建“多減要加”的解題模型時，需要運用生活中“付整找零”的經驗，創設購物付錢的學習活動情境。一是提供一組商品的模型與單價，籃球98元，足球97元，排球97元。二是組織部分學生開展購物實踐活動，每個人都付出100元，體會到籃球值98元，營業員還得找回2元等。通過真實的商品交易活動，讓學生體會到多付出的還得要回來，使對應的思維變得清晰起來。三是提供運用感知的實踐嘗試，如231-99，453-198等，讓學生真正理解231-99=231-100（? ）（? ），453-198=453-（? ）（? ）（? ）。四是引導學生對練習進行反思與總結，使得“多減要加”的數學思想在具體情境中獲得理解，得到建構。

像上述這種以學生熟悉的生活原型為切入口，讓學生通過在既有的經驗支持下的學習與反思獲得新的領悟，使數學學習在自然狀態下走向深邃，其本質就是從“常識”上升為“數理”的蛻變過程，就是一個有效的數學建模過程。

二、感知模型思想于活動中

幫助學生建構數學模型，不僅需要精選數學原型，為學生的探求問題解決方法提供經驗、知識、技能的保障，更要引導學生參與知識形成的研學活動，讓學生在真實的活動中獲得更為豐富的感性材料，能夠多維度、立體地感知某類事物的特征或數量間的內在關系，使數學建模成為一種必然。

如“湊十法”的模型建構教學思考。首先，組織學習“9加幾”，讓學生體驗真實的數學學習活動。把9根小棒和1根小棒捆在一起，或者是9個圓片和1個圓片摞在一起等，變成一個“十”。通過活動，使學生明白9+1=10，10就是1個十，使“十”的表象建立起來。其次，引導學生拓展視角，去尋找更多的成“十”的例子。學生會在學習交流中，逐步認識到9個人+1個人是10個人，9本練習本+1本練習本是10本練習本等，讓學生在不同的感知中獲得最真切的感悟，形成“十”的認知。再次，采取半扶半放的學習方式，讓學生在活動中學習“8、7加幾”的算法，并通過擺小棒、擺圓片等活動，引領學生進一步感知“湊十法”，從而體會到“湊十法”在加法學習中應用是非常多的。最后，放手讓嘗試學習“6、5、4加幾”的算法，促使學生在不自覺中運用“湊十法”去解決問題。

當我們采取這種循序漸進的策略進行教學時，學生就一定能夠在相應的活動中逐步把握“湊十法”，并理解其價值。數學學習活動，給學生合作的機會，給學生交流的時空，讓學生有機會進行必要的觀察、操作、實踐等，有助于學生在活動中體驗“湊十法”的內涵，為形成“湊十法”的模型奠定了堅實的基礎。

三、建立模型思想于應用中

不管是數學概念的形成，還是數學規律的發現，其核心的內容還是在于數學思想方法的運用。也就是說，要使學生的數學學習變成技能、技巧，形成模型，就得讓學生學會活用“數學模型”，通過真實的問題研究，使他們能夠更科學地把握概念、規律的實質，順利構建新的認知體系，使學生的數學素養在研究問題中實現提升。

如“雞兔同籠”的問題模型建構教學思考。引導學生研究常規的雞兔同籠問題：“雞兔同籠，上有頭20個，下有腿50條。問雞兔各有多少個？”讓學生自主選擇策略去分析、研究、解決問題。組織學習反饋，有的學生采用畫圖策略，畫出20個圓圈代表總個數，先給每一個圓圈按上2條腿，會發現多出10條腿。因為雞是2條腿，兔是4條腿，所以再補充畫腿時，每一次是畫上2條腿，發現還需要畫上5次，得到兔有5個，雞有15個。有的學生采用的是假設策略，假設全是雞，腿的條數只有40條，那么就會多出10條。這時就得用兔子把雞換下來，每換1個就會增加4-2=2條腿，這樣就能得出10÷2=5個兔子，雞則是15個。

組織學生比較兩種策略時，學生會發現它們的實質是一樣的。比較使學生感悟到雞兔同籠的解決模型。應用模型，拓展訓練。我們都知道建模的目的是形成解題技能，鞏固思維成果，所以就得把建立模型過程中不可能一一列舉的同類事物通過習題的方式呈現出來，從而開闊學生考察視野，使學生學會分析不同的情境，學會運用模型思想去分析研究，進而深化對應模型的理解，提高穩定性。如可設計：①李老師為學校買來籃球、足球共80個，一共用去4350元。足球每個60元，籃球每個50元，籃球、足球各有多少個？②甲、乙兩個車間一共用煤126噸。已知甲車間每8天用1噸，乙車間每6天用1噸，兩個車間累計正好用了17天，甲乙車間各用煤多少噸？

通過不同類型的習題列舉，使學生明白雞兔同籠模型還有更多的例子，從而激發學生的學習興趣。這樣的設計思考，也會使雞兔同籠模型的外延不斷得以豐富和拓展。

翔實的模型應用實例，不僅為數學模型的理解提供了最直接的可能，也為學生知識體系的建構提供了試練場。上述案例，能夠使我們明白，模型的建立不只是知識的傳授，而是一種技能、智慧的積淀。因此，提供真實的訓練情境，才能加深學生的理解，促使學生更好地把握知識的脈絡，發展對應的數學思想。也許只有當學生經歷這樣的思索、體驗過程，他們對模型的建構才會實現由半具體、半抽象的模型向理性的數學模型蛻變，完成從物理模型到直觀的數學模型再到抽象的數學模型的建構過程，從而留下刻骨銘心的記憶。

四、深化模型思想于梳理中

數學學習是一個不斷積累、不斷升華的過程。因此，在教學中要善于引導學生整理和歸納所學知識，使他們在知識梳理中更好地領悟知識的本質、把握知識的真諦，從而形成科學的認知體系。同樣，數學模型思想的深化也需要學生經歷這樣的過程，只有在知識的整理、梳理中才能建構更準確的數學模型。

教師要引導學生學會“從現實生活或具體情境中抽象出數學問題”，讓學生在發現問題、提出問題的過程中找準數學模型的原點，從而使模型的來龍去脈更清晰。因此，可以指導學生回憶和復述最具代表性的、典型的活動過程，使相應的數學模型理解愈加深刻。

如“梯形的面積公式S=（a+b）h÷ 2”模型的深化，就可以通過情境變化的問題來深化。①一堆鋼管共有10層，下面的每一層都比上一層多一根，第一層有2根，最后一層有11根。這堆鋼管一共有多少根？②1+2+3+4+…+100=？③2+4+6+8+…+100=？……情境變化了，但解決問題的模型沒有變化，這樣不僅豐富了學生的學習內容，更拓展了模型的視角，使得梯形面積公式的運用模型外延得以延伸和拓展，有效地促進了學生數學素養的積累。

教師引導學生整理“用數學符號建立方程、不等式等表示數學問題中的數量關系和變化規律”。如在“正反比例關系”模型建構教學中，出示鞏固練習題：

指導學生解讀數據，把握本質，從而使對應的數學模型在具體的運用中得以深化。

提供模型的運用平臺，引領學生運用模型去思考、研究解決問題的策略，從而在學習反饋交流中感受模型的好處，激發深入探究的熱情，深化對模型的理解，促進模型思想的不斷升華。如在“圓的面積計算方法”教學中，就可以設計一組變式題，讓學生在不同建模的有效素材沖擊下進一步深刻理解數學模型，也使數學學習充滿情趣與智慧。“圖1中正方形面積是8平方厘米，求圓的面積”;“圖2中正方形面積是8平方厘米，求圓的面積”;“圖3中正方形面積是8平方厘米，求圓的面積”……

不同的情境會促使學生更集中精力關注學習的推進。同時，學生會在問題的研究突破中找準圓與正方形的內在聯系，從而使原有的數學模型得到充實和提升，使數學思考變得更加深邃，使數學學習充滿趣味，閃爍著智慧的光芒。

在小學數學教學中，教師應切實抓牢數學模型思想的滲透與孕育，靈活地創設學生探索數學模型和運用數學模型的學習情境，使數學學習真正成為學生數學素養積淀的活動，也使學生的模型思想在不斷積累中得以成長，模型素養在長期的歷練中得以發展，直至產生質的飛躍。