建模，讓數學學習走向深處

楊曄

[摘 要]數學建模指向模型思想和建模能力培養的全過程，通過“基于實際問題—建立數學模型—求解數學模型—應用數學模型”，幫助學生逐步形成和提升建模能力，核心價值在于通過解決一道題從而解決一類題。結合課例展開建模教學的策略論述，喚醒教師的數學建模教學意識，培養學生的數學建模能力。

[關鍵詞]數學建模;數學模型;教材

模型思想和數學建模能力作為一種重要的數學思想和數學學習能力，對學生數學思維的培養有重要的作用。它們是理論與實踐的相互表達，在小學階段，模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑，建模能力的培養有助于改善學生的學習方式，使學生主動學習、學會學習。

一、建模教學的現狀分析

數學模型是數學語言的一種直觀表達，具有廣泛性。為了解本區域教師對“數學建模”的教學情況，筆者進行了如下調查，并形成一些基本認識。

（一）調查研究，了解建模狀態

共有118位教師填寫問卷。從問題（1）的結果來看，了解數學建模的教師占76.3%，略知的占22.4%，不了解的占1.3%，這說明大部分教師對數學建模并不陌生。但是經常從數學建模角度進行課堂詮釋的教師只占12.5%，偶爾的占35.8%，51.7%的教師從未如此處理。同樣，（3）（4）兩個問題的調查結果也顯現出部分教師對建模文章的冷淡，經常關注和寫過相關文章的教師分別只占29.3%和8.4%。這是什么原因呢？既然大家對建模都了解，那為什么進行這方面思考的卻很少呢？從大家列舉的從建模角度詮釋的課堂教學內容來看，大家抓住了課程標準中“建立和求解模型的過程包括：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律”這句話，列舉的都是能夠總結出公式的相關問題，如加減乘除的運算，周長、面積的計算等，內容較為豐富。通過這份問卷可以看到，教師對建模的價值有一定的了解，但卻不重視在課堂上真正凸顯建模的意義和從建模的視角進行反思。

2.個案研究分析

筆者對78位教師關于”三角形的三邊關系”的教學視頻進行分析，發現在評價中提到“建模”的只有2位。數學建模在這節課中的地位非常突出，但教師教學中不談及，筆者認為主要原因在于模型思想還未植根于教師的教育教學理念中。

結合以上調查研究，同樣發現目前建模教學存在如下問題：

（1）認為建模指向結果的運用

在建模能力培養的過程中，教師對數學建模的意義理解的不充分，從而過于注重模型的運用，形成填鴨式訓練。這種情況多見于計算類、公式運用類教學，教師直接告知學生可以套用模型來解決一類問題。這樣在短時間內能夠達成掌握的效果，但學生對于模型的理解就會有所欠缺，導致學生對這部分學習過于機械化，感受了數學的精密美，卻丟失了自我探索的樂趣。數學課堂應該夯實過程，幫助學生經歷再創造，促進核心素養的落實、深度學習的發生。

（2）模型結構的邏輯理解不到位

數學是邏輯性較強的學科，很多知識的模型隨著學生能力的提升會不斷地完善和豐富，教師在教學時應該關注知識的邏輯體系，適時滲透，幫助學生對模型的形成有更為豐富的認識。如在教學四年級“用數對確定位置”時，教師就應該考慮到低年級的利用行、列確定位置和將來的在三維空間中確定位置，幫助學生初步經歷“線—面—體”的模型建構過程。

（二）文獻研究，了解研究動態

張景中教授被認為是我國最早研究數學建模的學者。筆者于2019年10月5日在中國知網以“數學建模”“小學數學建模”為主題和關鍵詞，對期刊類文章和碩博論文按照發表年度和研究層次展開檢索。從檢索結果中發現，不論是圍繞“數學建模”還是“小學數學建模”的研究數量，總體都呈上升趨勢，尤其是自2012年以來，有關“小學數學建模”的研究數量上升幅度較前幾年有明顯的變化。由此可以看出2011年數學課程標準增加的“模型思想”引起了許多教育研究者極大的興趣，大家紛紛投入其中開展相關研究，這同時也反映出“數學建模”在當今教育領域占據著舉足輕重的地位。同時，隨著數學核心素養的提出，建模又成為高中階段學生的六大核心素養之一，可見培養建模能力的重要性。

目前國內對小學數學建模的研究主要集中在以下幾個方面：小學數學建模教學的意義和價值;小學數學建模教學的目標;小學數學建模教學的策略與途徑;小學數學建模教學的過程。基于對以上學者研究的整理和學習，數學建模能力的培養不僅有助于學生核心素養的落實、學生學習走向深度，而且是數學學科走向數學科學的必經過程。

二、建模教學的實施策略

基于以上研究，筆者通過對教材的解讀、對內容的理解、對課堂的詮釋，形成如下數學建模教學策略。

（一）立足教材，把握知識生長邏輯

對于教學內容的研讀，必須從兩個維度出發進行思考，一個是內容體系，立足知識本位，索前與探后，了解教學內容在整個知識體系中的邏輯地位;另一個是基于教材進行思考，對例題深度把握，確定詮釋方法。對于小學中能突出培養模型思想和建模能力的內容，教師需要立足這兩點進行思考，才可能把握好模型知識的生長邏輯，有準備地步入課堂。

如蘇教版三年級下冊“長方形和正方形的面積”教學，學生通過度量操作逐步抽象建立面積計算模型，并在運用中深化和掌握。在備課這部分內容時，教師可以從以下幾方面進行研讀。

從內容體系來看，學生在之前已經學習過長度單位，并掌握度量線段長度的方法。線段長度的度量就是從一個維度進行單位的累加，這與面積的計算的本質是一致的。面積計算是從兩個維度累加單位，以此類推，學生六年級學習長方體和正方體的體積時，就是從三個維度進行單位累加。了解這部分內容所處的位置，教師就會從喚醒經驗的角度幫助學生主動進行探究，站在知識的上位進行教學，助推學生模型思想的形成。

從教材安排來看，本課時教材共安排了3道例題，這3道例題是讓學生從具體操作到逐步抽象概括的過程。教師在研讀時要清楚了解每道例題的價值。學生通過擺1平方厘米的小正方形，初步感受長方形的面積與小正方形的個數有關;再通過小正方形的數量來進行驗證;最后通過在心中擺小正方形，在三個維度的深化中形成長方形的面積公式，即建立模型。正方形面積的推導既是長方形面積計算模型的應用，又是深度理解模型的過程。看似簡單的面積計算公式，要讓學生真正的理解和掌握，教師不可定于“教”，而應助于“學”。

數學建模能將學生的思維過程用直觀的語言進行歸納總結，外化于行。同時學生對數學模型的理解、把握與構建的能力，在很大程度上反映了他們的數學思維能力、數學觀念及意識。教師在理解建模思想培養的典型素材時，必須站在更高的高度來理解，才能引導學生向深度學習邁進。

（二）基于學生，關注建模的全過程，有結構地組織教學

為體現數學模型的價值，我們應該把從生活中抽象出的數學問題，通過數學課堂的建構和求解再運用到生活中去，讓學生經歷完整的建模過程。

1.立足問題，指明教學方向

沒有問題指向就沒有課堂的教學研究，學生的數學學習是在不斷解決問題中掌握知識、形成技能，升華思想、豐富經驗。好的問題能夠激發學生的探索欲望，促進學生學習的深入。

例如五年級下冊的“圓的面積”，教學的核心就是“怎樣計算圓的面積”。因為這個核心問題，才有下面的問題探究，從而讓學生在一系列的探究和推理中形成圓面積的計算模型。

低年級的數學問題趨向于情境化，利用形象的圖片讓學生發現數學問題，抽象出數學模型，激發學生學習的欲望。到了中高年級趨向于具體的生活問題和科學的解決訴求，問題與學生的心智發展切合，因而很好地為建立數學模型做鋪墊。教師要善于捕捉情境中的數學信息，同時盡可能抓住生活中可利用的素材生成問題進行教學，這樣不僅可以拉近數學與生活之間的聯系，而且可以為應用數學模型、體現數學價值做支撐。

2.抽象概況，搭建模型結構

從具體問題抽象出數學模型，是數學建模的重要環節。當剝去無關因素，只留下問題本質時，數學課堂的研究之旅即為開啟。在幫助學生建立數學模型的過程中，教師應該循序漸進，使學生逐步了解模型的整體結構。

如六年級下冊“圓錐的體積”的教學。

學生通過實驗對圓錐的體積進行研究，分享時呈現兩類資源。

[資源1]學生使用的實驗材料是水、等底等高的圓柱和圓錐形容器，實驗的過程是在圓錐形容器里裝滿水，然后倒入圓柱形容器中，一共倒了3次，結論是圓柱的體積是與它等底等高的圓錐的體積的3倍。

[資源2]學生選擇的實驗材料是水、等底等高的圓柱和圓錐形容器，實驗的過程是在圓柱形容器中裝滿水，然后倒入圓錐形容器中，同樣倒了3次，結論是圓錐的體積是與它等底等高的圓柱的體積的1/3。

學生介紹自己的實驗操作過程，在清晰的表達中獲得圓錐體積的計算模型。

對于同一知識，學生所形成的模型結構并不是單一的，作為教師，要善于引導學生從不同的角度建構屬于自己的數學理解。通過問題情境和學習素材，放手讓學生聯系自己已有的學習經驗，嘗試建立不同的數學模型，在討論和對比中不斷優化模型，讓方法多樣化和方法優化成為學生模型建構的智慧橋梁。

3.提煉固化，探索模型之解

對于學生建立的數學模型，教師要讓學生以嚴謹的態度去進行求證，確定結果及結果的意義。教師要為學生提供探究的空間，讓學生經歷模型求解的過程。

例如蘇教版教材六年級下冊“圓柱的體積”的教學，學生通過長方體和正方體的體積計算已經形成對等底等高的圓柱的體積計算公式的猜想。接著通過轉化，在演繹推理中建立圓柱和轉化后的長方體的對應關系，從而證得圓柱的體積計算公式。

這樣的求解求證過程，是對知識的提煉和鞏固，更是對原有知識經驗的喚醒和升華。學生在圓的面積計算中已經獲得求解這類模型的經驗，再次運用，不僅是經歷，更是喚醒，除了在建模能力上獲得提升外，經驗也得以豐富。在教學中，很多探究規律的問題，重點就是模型的驗證，學生在建立模型后通過推理、實驗、舉例等方法求解模型，可以達成對知識的理解和掌握。

4.應用理解，提升建模能力

在教學中，教師可以從知曉、解釋和應用三個方面去促進學生對知識的理解，讓學生明白建立數學模型可以達成對數學知識的解釋，而模型的應用則是對數學知識的一種認可和延伸。在這一過程中，學生不僅達成對知識的鞏固和消化，更認識到數學建模的意義和價值所在。

例如在教學蘇教版四年級下冊“畫示意圖解決問題”時，當學生通過圖形建立了“長增加求原來面積”問題的模型時，教師就可以啟發學生思考“還可以怎樣改變圖形使得面積也發生變化”。這時候學生通過長增加想到寬增加，再到長和寬都增加使得面積增加，而面積增加對應的則為面積減少，長和寬不僅可以同時增加和減少，甚至還能一個增加一個減少……在這樣的變化中，學生不斷調整認知，挑戰自我思維，數學能力得到了充分的提升。

數學問題千變萬化，但數學模型卻始終如一，以不變應萬變，這就是數學的魅力所在。總之，基于模型思想的研究是數學教育的一種應然追求，幫助學生提升建模能力，體會數學的生活性、應用性、科學性和工具性，站在核心素養培育的高度，以深度表達促進深度學習，為客觀世界與數學科學之間搭建智慧的橋梁，創造數學理性之美。

（責編 吳美玲）