定位·探究·建模·運用

陳愛弟

[摘 要]求多邊形的內角和是讓學生借助探索三角形內角和的經驗來探索四邊形內角和及其他多邊形內角和，讓學生經歷量、畫、剪、拼等操作活動，引導學生觀察、思考、發現，把求多邊形內角和的問題轉化為求幾個三角形內角和的問題，引導學生在轉化中學會推理，在推理中找出規律，構建計算多邊形內角和的數學模型，從而培養學生解決問題的能力。

[關鍵詞]定位;探究;建模;運用;多邊形內角和

一、立足教材，整體把握

“求多邊形的內角和”的教學是先運用探索三角形內角和的經驗來探索四邊形的內角和，再借助統計表的形式，將圖形、邊數、內角和整合在一起，引導學生發現求多邊形內角和的規律，從而積累合情推理的經驗。為了更好地達成教學目標，筆者立足于教材內容本身，課前做好如下準備。

1.理解設計意圖，明確培養目標

教材中的例7主要是讓學生利用探索三角形內角和的經驗來探索四邊形的內角和，從而讓學生在了解四邊形的內角和是360度的基礎上，進一步探索五邊形、六邊形等多邊形的內角和，引導學生歸納規律，從而培養學生的簡單推理能力。

2.抓準重點突破，重在操作和發現

在探究多邊形內角和的過程，給予學生足夠的時間和空間，從兩個層次來突破教學重難點。 第一層次：先讓學生通過觀察發現特殊四邊形的內角和是360度，再在此基礎上通過合理猜想、不同的操作方法、不同層面的探究活動來驗證四邊形的內角和是360度。 第二層次：指導學生想辦法求出六邊形的內角和，促進學生轉化思想的鞏固。 在探索過程中，學生可能會用“剪拼”的方法，教師要讓學生體會到使用剪拼的方法會出現重疊部分，不利于得出結論。為此，引導學生經歷“轉化”的方法（如圖1）去探索結論，從而體會轉化方法在數學學習中的具體應用。

二、優化教學，循序漸進

深入研讀教材、鉆研教法、充分的教學準備是有效落實教學目標的重要保障。教學中，筆者重在引導學生動手操作、自主探究多邊形的內角和;教學方法上重在運用“轉化與優化”的數學思想進行課堂教學，循序漸進地引領學生理解和掌握新知，在實踐中建構數學模型，有效形成解決問題的方法，旨在培養學生數學能力，發展學生數學素養。

1.直觀引入

教學時，立足于學生已有的探索三角形內角和的活動經驗，筆者直截了當地拋出問題：“四邊形的內角和是多少度？”在此之前，學生對四邊形的知識已有了較深入的認識，包括四邊形的分類、特殊四邊形的圖形特征。因此，可以有意識地讓學生觀察圖形，說出長方形、正方形的各個內角的度數，然后計算出特殊四邊形內角和的度數是360度。 接著繼續設疑問難：“那么一般的四邊形的內角和是否也與長方形、正方形的內角和一樣都是360度呢？”再追問： “可以用什么方法求出一般四邊形的內角和呢？” 本環節從特殊的四邊形內角和入手，給學生提供一個直觀觀察與猜想的繼續學習平臺，從而引導學生經歷獲取數學知識的過程。

2.操作驗證

問題的指向性有利于啟發學生進一步求證知識的正確性，并激發學生在實踐中尋找答案。而動手操作是一種借助五官的操作活動，在操作過程中多種感官參與學習，學生就能加深對知識的理解，學到獲取知識的方法。 在操作中，學生利用已有經驗對四邊形內角和進行探究，并呈現多種解決問題的方法，如方法一：量角;方法二：剪拼;方法三：分成兩個三角形;方法四：分成四個三角形;等等。

學生經歷了不同層面的多種解決方法以及動手操作驗證猜想，得出結論：一般的四邊形內角和的度數也是360度。直觀引入、操作驗證可充分展現知識的形成過程，加上足夠的操作與探究時間，推進學生去大膽求證，學生在操作、探索活動中獲取知識，發展能力。

3.對比優化

教師處理好學生的課堂生成和教學預設是教學循序漸進的重要一環。 針對學生給出的不同方法，教師重在引導學生在多種可行的策略、方案或答案中篩選和優化，尋找最佳策略，以培養學生的數學能力。 通過讓學生觀察比較和討論分析得出： 方法一量角時容易出現誤差; 方法二剪拼時花費時間長，易受到外在操作條件的影響; 方法三簡單易懂，觀察可發現： 四邊形的4個內角和與2個三角形的6個內角和是相等的;方法四將四邊形分成的4個三角形后，發現4個三角形的所有內角和比原來四邊形的內角和多了一個“周角”。 比起前兩種方法，后兩種方法更方便快捷、更科學，也更具有一般性，容易得出準確結果。 通過對比，學生理解了為何要把四邊形轉化成求幾個三角形的內角和，并進一步感受到不管是特殊的四邊形，還是一般的四邊形的內角和都是360度的普遍性。

三、適度遷移，促成建模

遷移是一種重要的數學思維方法，它能夠對相同性質的問題做到“及時聯系”，提高學生對相同性質的問題的分析能力，從而推進學生的自我學習向著更高的層次發展。本課教學重難點在于讓學生通過“畫一畫”，把多邊形分成若干個三角形，再利用三角形的內角和求出多邊形的內角和，并從中發現多邊形與三角形的關系，從而構建數學模型。

1.放手探索，初步總結

在探索完四邊形的內角和后，筆者再次追問：“你能想辦法求出六邊形的內角和嗎？”學生有了豐富的求證經驗，又有了之前“優化方法”的指引，快速地選擇“畫一畫”的方法去解決問題， 而非“量角”與“剪拼”。學生的多種畫法如圖3所示。

在充分肯定學生的個人見解后，引導學生發現：計算六邊形的內角和時，可借用求四邊形的方法，把六邊形的內角和轉化成已學過的三角形或四邊形的內角和來計算。學生對多邊形內角和的計算方法有了更進一步的理解與掌握，有利于求各種多邊形內角和模型的構建。

2.歸納類比，成功建構

在學生經歷探究活動之后，教師有目的地培養學生發現、提出、分析和解決問題的能力，并讓學生在邊數增加的變化中感悟數學知識蘊藏的模型與規律。

學生根據表1中的輔助線提示，通過觀察順理成章地發現：從一個頂點出發向對角連線，可以把多邊形分成比邊數少2的三角形個數，得出多邊形的內角和=（邊數-2）×180°，從而發現了多邊形與轉化后的三角形個數之間的關系。

解決問題的方法總是多樣的，根據學生在探究四邊形和六邊形內角和時發現的方法，順勢出示第二種規律，即將多邊形中間的一點與每個頂點連接起來（見表2），得到的三角形個數與多邊形的邊數一樣多，但分成的所有三角形的內角和比原多邊形的內角和多出一個中心角，即“一個周角”。因此，引導學生觀察表格中的數據，可得出“多邊形的內角和=邊數×180°- 360°”的數學模型。

一個個探究活動，加深了學生對轉化思想的運用。學生在不斷的觀察、分析、比較當中，合理地推導出多邊形內角和的規律，并通過對比挖掘出知識間的聯系，成功建立計算多邊形內角和的數學模型，尋找出解決問題的方法。

四、綜合運用，深層提升

為了讓學生能夠靈活運用已學知識，筆者在綜合運用環節設計了兩道不同層次的練習題，難易得當，層層推進。

一道基礎題：求五邊形的內角和、八邊形的內角和、十一邊形的內角和。目的是讓學生能夠學以致用，利用規律快速地解決問題，從而體會探索知識并獲取知識的喜悅感。

一題有思考價值的題（如圖4），目的是考查學生是否懂得靈活運用已學知識。 學生在解題過程中，通過思考把疑難問題轉化為解決過的問題，從而鞏固新知，鍛煉了思維能力。

總而言之，要提升學生解決數學問題的能力和發展學生的數學思維能力，可以借助動手操作、探索實驗、類比總結等方法，聯系學生的已有經驗和數學知識，引導學生利用轉化思想架構未知與已知的橋梁，并應用經典方法合情推理，從而有效地構建“多邊形內角和”的知識模型，使得知識之間更具連貫性和系統性。

（責編 羅 艷）