循環節的認定應遵循簡寫法的“法理”

張琦

[摘 要]循環小數是一個常見的數學概念，教材對其有著嚴格定義，它也是一個母概念，依次衍生出“循環節”“簡寫法”等子概念。在簡寫循環小數時，因為“循環節”出現了“替補”，所以造成循環節認定上的麻煩和簡寫的爭議。因此，循環節的認定應遵循簡寫法的“法理”。

[關鍵詞]循環節;簡寫;循環小數

四年級期末試卷中有這樣一道填空題：無限小數7.5656565……簡記法是（ ），如果根據四舍五入法保留兩位小數是（ ）。對于第二個空，學生的答案“7.57”高度統一;對于第一個空，學生卻有兩種截然不同的答案。同樣的，全體閱卷教師產生了嚴重的分歧并進行了激烈的爭辯，但直到最后仍未有定論，最后只能將兩種答案都算作正確答案，才算平息風波。雖然評分標準可以權宜處理，而正確答案必然只有一個。

下面筆者結合所思所想詳細論述這道題中有關循環節的認定方法。

一、帶有非循環數字的寫法

有教師堅持認為7.5656565……的循環節是65，原小數應簡記為7.565，循環節只有兩位數字，所以根據簡寫規則，應該只保留一個循環節，并在循環節的首位和末位數字上面描畫一個小圓點，從這一點看，這種簡記方式完全符合循環小數的簡寫規則。而用一般方法書寫循環小數時，由于小數數位的無限重復，所以到最后用省略號表示，但是省略號之前的數位至少已經將依次不斷重復的數字呈現出來了，后面省略的部分是不言而喻的，如5.1212121212……，很容易讓人推斷出省略號省略的部分是不斷重復的“12”，如果省略號之前沒有揭示依次不斷重復的規律，后者沒有規律可循，如3.1415926……，這就是一個無理數，無法簡寫，只能借用一個新字符（如“π”）來表示。

也就是說，在用一般方法表示循環小數時，為了明白無誤地顯露循環節，一般要將一個完整的循環節重復列出2至3組，再加上省略號，而小數中的已顯示部分，最后是以5結尾，說明數字5就是已顯示的最后一組循環節的最后一個數字，據此推斷7.5656565……的循環節應是65。

綜合判斷，原小數已經顯示了兩組循環節“65”，而且可以看到，這個循環小數是一個混合循環小數，也就是不是所有小數數位都參與循環，十分位上的數字5就是獨立存在的，不參與循環，這也符合循環小數的定義：一個小數，從小數部分的某一位開始，一個或者幾個數字依次不斷重復出現，這樣的小數叫作循環小數。從定義中的“某一個”可以看出，循環小數的小數部分是可以包含非循環數字的，但是這一個（或多個）循環數字必須出現在第一個循環節之前，如循環小數3.2471818181818……，第一個循環節“18”出現在萬分位和十萬分位，而之前的十分位、百分位、千分位則屬于獨立的一次性非循環數字，而非循環數字出現在中間，那么循環節只能從非循環數字后算起，如循環小數3.1818182471818181818……，循環節仍是“18”，但是這個循環節“18”只能從第11、12位小數開始算起，簡寫為[3.181818247]18，而不能是3.18247，緊貼小數點后出現三次的“18”只能算是“非循環數字”，與后面重復出現的“18”有天壤之別。

同理，小數7.5656565……首個出現的循環節應該是第2、3位小數，循環節前出現一個非循環數字“5”，此循環小數可簡寫為[7.5]65。

二、不帶非循環數字的寫法

有的教師認為7.5656565……的循環節是56，仔細觀察這個小數，不難發現它是從第一位就開始循環，以第1、2位小數為循環節，并且在一般表示法中已經顯示了三組，7.5656565……最后一個數字5可以視為一個循環節寫到一半，省略號省略的部分應該是以6開頭的補充循環節“656565……”可簡寫為[7.]56。

這個理由也完全站得住腳，完全符合循環小數和循環節的定義。因為循環小數的定義里說到（前文已提到，此處不再贅述），從小數部分的“某一位”起，“某一位”這平平無奇的三個字暗藏玄機：既然是某一位，那就可以從第一位開始，也就是從小數部分的十分位開始。這樣一來，循環節就是從十分位起算到后面的某一位截止，此時循環節中也就不存在非循環數字，第一個循環節就應該是從貼近小數點的第一個數字算起，從后面重復的內容來看，確實只有“56”不斷循環，而且完整顯示出三組，最后省略號前一位到底是哪個數字已經無所謂，也就是在哪里截斷后寫上省略號，全憑人的直觀意志。

這樣的例子還有很多，一個小數的循環節越長，“偽循環節”就越多，如3.879879879……，循環節應該是“879”，規范的簡寫法應該是[3.]879。但是，如果硬將第一位小數8定性為“非循環數字”，那么循環節搖身一變就成為“798”，從第二位數字開始循環;如果將第1、2位數定義為“非循環數字”，那么循環節又變為“987”，從第三位數字開始循環……這全是因為循環的周期性和遞補性所致。

三、從簡寫法的“法理”上找答案

首先從循環小數的專業定義說起，現代漢語詞典這樣解釋：從小數點后面某一位起到某一位止，一個或者幾個數字總是依次不斷重復出現，這樣的小數就是循環小數。其中依次不斷重復出現的數字叫循環節。循環小數的縮寫法，是將第一個循環節之后的數字一概省略，而在這唯一一個循環節的首尾數字上標記一個小圓點。

例如0.33333……從小數部分第一位數字3起，開始不斷重復這一個數字，因而，其循環節是3，簡寫為[0.]3;1.2333……從小數部分第二位數字3開始，不斷重復出現這一個數字，其循環節仍然是3，簡寫法是[1.2]3;7.5656565……，嚴格來說，是從小數部分第一位數字5起到第二位數字6止，開始不斷重復，因此循環節是56，簡記作[7.]56;如果這個小數的十分位上不是5而換成別的數字，如7.0565656……，那么爭議就會消失，毫無疑問，是從小數部分第二位數字5起到第三位數字6止開始循環，此時循環節是65，簡記作[7.0]65……。

從簡寫法的“法理”上來講，循環小數的簡寫本就是為了簡略方便，因此在不改變數值大小的前提下，簡寫越簡單越好。

綜合比較分析后再來審視學生的兩個答案。首先7.5656565……與[7.]56和[7.5]65等值，根據循環數字的復制性、周期性和遞補性，循環部分是56循環還是65循環，其實都一樣。再者，從形式上來看，[7.]56比[7.5]65更簡略，便于書寫，因此這道題的正確答案是[7.]56。

最后，換算成分數來考慮：[7.]56=[75699]，而[7.5]65=[7560990]=[75699]，顯然，分數[75699]比[7560990]要簡略，按此，也是選擇[7.]56。

以上是筆者對循環節認定的一些看法，如有不當，敬請指教。

（責編 黃春香）