小數乘除法的算理剖析

吳靜環

[摘 要]計算教學中，教師往往出示幾個例題，引導學生觀察歸納出運算法則和性質后就讓學生進行大量應用訓練，這樣一來，幾道題的解題訓練就可以起到立竿見影的效果，因為教師給的題目基本上都是設計好數據的，非常好算。實踐證明，沒有專項的計算訓練，沒有深入的算理研究，學生就不會有過硬的計算技能。

[關鍵詞]小數; 乘除法;算理

計算是所有小學數學知識得以順利運用的前提，是構建數學知識框架的基石和鋼筋。由于教材中對計算教學的設計非常簡略和零散，因此有些教師認為，所謂計算教學，無非是一些數據的簡單疊加融合或者分離削減，也就是加減乘除的運算，技術含量較低，只要遵循運算順序按法則計算，就不會出紕漏，從而對計算的內涵和性質視若無睹，缺少必要的鉆研，客觀上降低了計算教學的門檻。在本校舉辦的學生計算能力普查中，這一嚴峻的問題更是暴露無遺，引起全校數學教師的重視和警惕。

一、直擊易錯題，尋找原因

筆者對學校五年級學生進行檢測，在分析測評卷的過程中，驚奇地發現“0.25÷0.1○0.25×9”這道題的錯誤率竟高達76.7%。一道判斷大小的常規題，錯誤率卻高得出奇，令人始料未及。隨后筆者詢問了受試的全體學生：“0.25÷0.1○0.25×9，左右兩邊的算式的值都能精確計算出結果，你覺得哪邊大哪邊小？給出你的理由。調查結果顯示，學生多半是連估帶猜，憑著對乘除法的基本意義妄加揣測，無端臆斷——除法就是將總數平均分成若干份，求一份是多少，所以平均分之后只會越分越少;而乘法則是除法的逆運算，剛好相反，是將若干份等量的物品合并起來，是擴倍、累加的過程，是一個聚少成多的操作，因此數據會暴增，毫無疑問，上述式子左邊的結果小于右邊的結果。

學生為何會如此武斷地下結論？筆者隨后梳理和歸整了教材中所有有關乘除法的知識（如表1）。

分析表1不難發現，五年級所學的小數乘除法是對整數乘除法的延伸和拓展，認識難度和思維含量有所增加，乘除法的計算結果不再限于整數范疇，已經引申和擴散，一直拓寬到小數、分數領域，認識也更加細化。解答此題時，學生是直接將整數乘除法運算意義生搬硬套移植到小數乘除法中，這屬于負遷移，說明學生對小數乘除法的意義沒有深刻認識，僅僅是憑借個人想當然的理解來揣度，而課堂教學中教師又沒有及時解析和點撥，所以才使得上述錯解的集中出現。

二、利用題組對比辨析

奧蘇伯爾的認知同化理論指出：人類學習新知的過程實際上是新舊表象相互磨合兼容的過程，學習者必須努力捕捉到原有知識結構中能夠融合新知的接口，這里的“同化”指的是求知者把新知一步步導入原有知識結構中，從而補充和完善知識結構。學習者能否順利吸納新知，很大程度上取決于原有知識結構中是否存在天然的與新知的某種“親緣關系”。照此理論，教師必須在教學新知前查清學生原有知識結構中存在哪些“近親因子”，并據此開展教學活動。教師在教學時倘若做好了充分的學情分析，精準把握教材，錯誤應該可以避免。

綜合以上分析，筆者認為應從以下兩方面加強教學。

第一，準確把握教材，合理靈活運用。倘若仔細研究教材，不難發現北京版教材五年級上冊第7頁的第7題和第24頁的第8題分別對整數乘除法和小數乘除法進行了對比辨析：第7頁的第7題讓學生通過計算，對比得出：一個數乘以純小數，積比這個數要小。

蘇教版教材五年級上冊第24頁的第8題，也有異曲同工之妙。通過對比發現，被除數為任意一個正數，除數大于1時，商小于被除數，即越除越小;除數小于1時，商大于被除數，即越除越大。從學生的錯例可以管窺出教師把握教材的重要性。只有深入透析教材，準確把握其學科精神實質，才能成功幫助學生構建知識體系。這就意味著教師在平時教學中要注重新舊知識的對比辨析，使學生看清形式上的相似與本質上的區別。

三、自創題組直擊本質

奧蘇伯爾曾提出融會貫通的學習法，該理論認為教師在演進分化出新知的同時，還要注重分化出的各個分支之間的橫向關聯，要及時為學生打通新舊知識的隔膜，揭破其區別和聯系，防止由于知識表現形式的不同而引起的對相同本質的無端猜疑，促進新舊知識的“和平共處”。就小數乘除法的教學來說，筆者認為可以編制關聯度明顯的對比題組來點破知識間的連接點，讓學生捕獲知識的轉化接口，運用同化和順應的理論，幫助學生全面掌握知識，自主建構知識系統。

提問：在得數欄里圈出所有的7.2。為什么乘數不同，所得乘積都是7.2呢？

預設1：以第一列算式為參照，第二列算式的兩個因數分別縮小至原來的[110]，積就縮小到原來的[1100]，所以積是7.2。

預設2：計算小數乘法時，先忽略小數點的存在，把小數視為整數來計算，算出整數積后清點因數中的小數位數，再在整數積中從右至左點出幾位小數。

總結：小數乘法的算理算法來源就是積的變化規律。

學生先以第一列的算式為參照，填出其他各列所缺失的數字。

提問：觀察這些數據，你有哪些疑問？

預設1：被除數、除數各不相同，但是為什么商始終是21呢？

預設2：商恒等于21，你有什么想法？（指引學生發現小數除法的算理：利用商不變定律，將小數除法轉化為整數除法，求商后根據商的通用性，將整數商直接挪用作小數商。）

提問：明明一個是乘法，一個是除法，但為何計算結果偏偏相同，其中有何奧妙呢？被圈定的兩列數，一個是除數，一個是乘數，各有什么關聯？（指引學生發現：兩個數的乘積都是1）

預設：1÷0.1，將除法算式轉化成乘法算式1×10，除以0.1就相當于倒過來擴大10倍;1÷0.01，將除法算式轉化成乘法算式1×100，除以0.01就相當于倒過來，擴大100倍;1×0.5，將乘法算式轉化成除法算式1÷2，乘以0.5，就相當于倒過來縮小2倍。這就完美地解釋了一個數（不是0）除以純小數，所得的商為什么反而比被除數大，而乘一個純小數，所得的積反而比被乘數還要小。

總結：從上述題組的解答中，可以明顯感受到轉化思想的強大作用。

綜上所述，教師對學生的錯誤不能回避，應深入了解學生的計算功底，找準錯因，追根溯源，從而改進教學方法，做到因勢利導、循循善誘。

（責編 黃春香）