欲速不達，質數合數教學應該徐徐前進

林魏玉

[摘 要]質數與合數是重要的代數概念，也是數論的基礎。文章從教育的角度出發，提出“數字這么多，已有奇數偶數，為何還要區分質數合數？”，并給出分類的意義，幫助學生領悟其中的奧妙。

[關鍵詞]質數;合數;概念;因數

筆者初執教鞭時，聽到其他數學教師說質數與合數是教學中的難點，很不以為然：不就是一個數學概念嗎？要求學生牢記并學會辨別就好了。于是，筆者教學時在課堂上不到5分鐘就講完2個概念，然后要求學生熟記熟背，筆者親自把關驗收，直到所有學生倒背如流。但第二天，就看到學生的作業本上一個個刺眼的紅叉。

多年之后，這種“打臉”的情境歷歷在目，苦苦背誦的學生，刺眼的紅叉，讓人有苦難言。掩卷而思，問題到底出在哪？概念教學到底如何開展？忽然想起一句話：“嚴重的誤解不如一知半解。”一下子茅塞頓開。于是，筆者重整旗鼓，改變對質數與合數的概念教學觀念。

一、寫因數，數出個數，為概念搭設骨架

師：請大家依次寫出1～20所有數的因數，看誰又快又好。全部完成后，請同學代表展示匯報，其余同學幫助糾錯，補足缺漏的因數。

1的全部因數：1。

2的全部因數：1、2。

3的全部因數：1、3。

4的全部因數：1、2、4。

5的全部因數：1、5。

6的全部因數：1、2、3、6。

……

（教師把特殊因數1和該數本身標紅）

師：觀察各數的因數數量，有什么玄機？

生1：因數個數是不固定的，千差萬別。

生2：1只有唯一一個因數，還是1。

生3：就因數數量而言，偶數多于奇數。

生4：我反對！2也是偶數，只有2個因數，和奇數3的因數一樣多。

師：是呀！除了2，未必所有偶數的因數都比奇數的因數多吧。

生5：2是個特例，其余的符合這個結論。

生6：我發現數字越大，因數不一定越多。

師：試舉一例。

生6：19比10大，但是前者只有2個因數，后者有4個！

二、分類別，下定義，為概念形成鋪設橋梁

師：同學們目光銳利，請根據因數個數給這些數分類。（擁有唯一因數的數;有1和原數兩個因數的數;多于2個因數的數）

擁有唯一因數的數：1。

擁有1和原數兩個因數的數：2、3、5、7、11、13、17、19。

擁有3個及以上因數的數：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20。

師：請認清這些數（2、3、5、7、11、13、17、19）。數學上把這些特殊數單獨劃為一類，定義為質數（素數），誰能用通俗易懂的語言解釋質數的含義？

生1：擁有兩個因數的數就是質數。

生2：表述不嚴謹，應該加一個“只”字。

師：能舉例子嗎？

生2： 2、3、5、7、11、13、17、19都只含有2個因數。多一個都沒有。

生3：我同意！還可以再詳細一些。這些數有2個因數，一個必為1，一個是原數。換句話說，只有1和原數兩個因數的數就是質數。

師：觀察入微，嚴謹簡練，質數確實就是這么定義的。（課件出示質數的定義）

師：請大家認清這組數（4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20）。這類數又被單獨歸為一類，誰能用通俗易懂的語言解釋？

生4：因數個數多于2個的數稱為合數。

生5：倒不如直接說有3個以上因數的數稱為合數。

生6：不對！多于兩個不代表三個以上。

生7：擁有三個及以上的因數的數是合數。

師：能再精確些嗎？

生8：除了1和原數以外，還有別的因數的數就是合數。

師：照這個標準，那數字1該如何歸類？

生9：質數只有兩個因數，合數有三個及以上個因數，可1只有一個因數，兩頭不沾邊。

三、舉例子，做練習題，為深入理解掃清障礙

師：誰能分別試舉兩例質數與合數？

生1：7是質數。

生2：同意，7除了1和它本身，再無其他因數。

生3：15是質數。

生4：不對！15除了1和15，還有因數3和5，違背了質數的定義。

生5：不用去計算！根據乘法口訣三五一十五，就能判斷。

生6：沒錯，只要這個數是乘法口訣里的積，它都不是質數。

師： 87呢？

生7：87應該是質數，一時想不出還有其他因數。

生8：我反對。漏算了因數3呢！

師：你真厲害！說說你的秘訣吧！

生8：既然87不在乘法口訣表內，就只好從是否含有因數2、3、5著手判斷。

師：哦，原來當口訣法無法判斷時，就要依次排查這個數是否是2、3、5的倍數……思維縝密，推理嚴謹。請大家應用此法判別91的身份。

生9：排除了91是2、3、5的倍數的可能，八成是質數。

師：敢打包票嗎？

生10：千算萬算，漏算了7，它是7的倍數，91是合數。

師：了不起！判別質數合數，如何才能萬無一失呢？

生11：我依次排查所有的質數因數，2、3、5、7、11、13……直到逼近原數。

師：那100以內的質數與合數都有哪些？請小組合作列出100以內的質數表。

四、抓起點，順其自然，為豐富理解夯實基礎

整堂課上學生發言踴躍，敢于質疑，在合作探討中辨明了質數與合數，更令人欣喜的是，作業正確率高得驚人。對比兩次“質數與合數”的教學，得到一個結論：看事容易做事難，枯燥的概念理解起來需要百轉千回;死記硬背徒勞無功，理解性地運用才是終南捷徑。學生只有經歷概念的形成過程，才能吃透概念。因此，在概念教學中，教師必須做到：

1.抓準起點，滲透隱伏

所有的數學知識都不是空中樓閣，萬丈高樓平地起，打好地基是關鍵。如果舍棄舊知，單刀直入講概念，不但不能直搗黃龍，而且容易動搖根本，讓學生對概念的理解變成無本之木。這節課上，筆者充分準備，事先設計兩個活動：找出1～20各數的所有因數;觀察1～20各數因數的個數的特征。通過數學活動實現質數和合數概念與因數知識的無縫對接，為新知的學習找到了“發源地”。同時，在大量的求因數的活動中滲透了分辨質數合數的技巧，在清點因數個數的大量實例中，讓學生形成按照因數個數分類的動機。這些學習材料都為推出質數和合數的概念鋪平了道路。

2.順其自然，水到渠成

質數和合數的概念的本質區別在于含有因數的個數。如果直接生硬地呈現概念，忽略形成概念的過程，學生即使倒背如流，最后也只會變成嚴重的誤解。在這節課上，當學生通過觀察發現了1～20各數的因數個數具有不同的特點后，筆者循循善誘，順應學生朦朧的感悟，讓學生按心中所想來分類，比較發現三組數之間的異同，根據分好的類別定義質數與合數，那么結論就想當于是學生自己概括出來的。即使學生的語言稚拙，至少是基于理解上的真心話。學生在初步感知質數和合數的基礎上，通過觀察分析、比較綜合、抽象概括，基本都可以用嚴謹準確的語言表述，教學水到渠成。

3.循序漸進，豐富理解

學生對概念的理解應該遵循具體—抽象—具體的認知過程。在揭示概念后，不宜讓學生馬上背記。這時，筆者繼續故技重施：“請舉質數和合數的例子，說說判斷方法。”在交流展示中，數字從小到大，難度不斷升級，從直覺判斷到口訣判斷，到最后的程序判斷，在反復論證中，學生不但完善認知結構，思維能力和判斷力也都得到發展。

前后兩次教學對比，使筆者深刻認識到：欲速則不達，徐徐前進才能出奇制勝。只有讓學生親歷數學概念的形成過程，學生才能夠合理運用，真正理解概念。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 余志敏.“質數與合數”教學要解決兩個“為什么”[J].小學教學參考，2019（05）.

[2] 王林勝.換一種教學思路，突破學習難點：“質數與合數”教學片斷與思考[J].中小學數學（小學版），2019（10）.

[3] 杭惠娟.注重技能? 攻克難點：蘇教版教材五年級下冊“質數與合數”同課異構教學及思考[J].小學教學參考，2018（02）.

（責編 金 鈴）