基于絕對節點坐標法的氣動軟體驅動器建模

陶羽玲，趙春花，鮑康文

（201620 上海市 上海工程技術大學 機械與汽車工程學院）

0 引言

到目前為止，機器已經逐步代替了人工，生活中到處都充滿了機器人的身影。隨著市場需求的增大及對生產品種、種類要求增多，人們對機器人末端執行器的要求越來越高[1-2]。傳統的機器人末端執行器為剛性執行器，存在硬度大、整體結構笨重且構型復雜等問題，在抓持一些表面易碎的物體如雞蛋、玻璃器皿、新鮮的瓜果蔬菜等時，對抓取方式及抓取力的大小等要求較高；另外，現在的生產呈現一種多批量、小生產的趨勢，要求機器人末端執行器能適應各種場合。隨著生活水平及醫療水平的提高，機器作為一種醫療輔助器械更應該以高度的柔順性和環境適應性來輔助醫療。為解決傳統剛性執行器存在的硬度大、結構笨重、環境適應性差及安全系數較低等問題，研究者對軟體驅動器進行了研究。

人們受自然界中的生物如象鼻、章魚臂、海星等的啟發[3]，對軟體驅動器的結構進行設計，使得軟體驅動器能夠實現大的變形，從而完成對物體的抓取等動作。

南京理工大學的郭鐘華[4]等參照國內外前人對軟體驅動器的研究，研究出一款氣動驅動的柔性夾持器[5-6]；為解決驅動器開口較小的問題，林浩鵬在柔性夾持器的基礎上研究出一款氣動軟體塑形夾持器[7]；上海交通大學的谷國迎團隊設計了基于纖維增強型驅動器的氣動軟體抓手[8]；北京航空航天大學的王田苗等設計了一款可控三維運動的軟體驅動器[9]，此外，他們還設計了一款可變長度的軟體仿生夾具[10]；廣東工業大學的管貽生[11]等從尺蠖的足部鉤爪中獲得靈感，仿尺蠖鉤爪的鉤爪式柔性夾持器，可用于危險探測及農業采摘等；立命館大學設計了一款預應力軟夾持器[12-13]，解決了午餐盒包裝的抓取問題。

雖然國內外學者在對軟體驅動器的設計研究方面進展很多，但是如何對其建立有效的模型并采用合適的分析方法，到目前為止仍是一個極具挑戰性的問題。

絕對節點坐標法[14]（ANCF）是Shabana 提出的一種有限元分析方法，它基于一般連續介質力學，將傳統有限元中的轉角坐標替換成梯度向量，只使用一個坐標系，減少了坐標轉換之間存在的誤差，且單元質量陣為常數陣，不存在離心力和科氏力，因此更適用于大變形、大轉動問題。到目前為止，研究人員已經對ANCF 梁單元、板單元及實體單元進行了研究[15]，由于本文研究的多腔體氣動軟體驅動器為三維模型，其構型較為特殊，本文采用ANCF 四面體單元[16]進行分析。氣動軟體驅動器一般由橡膠等超彈性材料制成，為非線性不可壓縮材料。Maqueda[17]等基于ANCF 梁單元，構建了Neo-Hookean 和Mooney-Rivlin 非線性本構模型；Jung[18]等研究了Neo-Hookean、Mooney-Rivlin 和Yeoh 本構模型下的懸臂梁受彈性力作用下的瞬態響應，得到Yeoh本構模型下的結果較其他兩個本構模型的結果與實驗誤差最小，因此本文使用基于Yeoh 本構模型的ANCF 四面體單元對氣動軟體驅動器進行建模分析。

1 基于ANCF 方法的Yeoh 四面體單元

本文采用基于Yeoh 本構的三維四面體單元對氣動軟體驅動器進行建模，四面體單元模型如圖1 所示。圖1 中，oxy 為笛卡爾坐標系，與全局參照系相關聯。ξ，η，χ，ζ為體積坐標，單元任意點P 的位置坐標可以表示為

式中：S——形函數；x，y，z——笛卡爾坐標下P 點的坐標；ξ，η，ζ，χ——體積坐標系下的P點坐標；p——笛卡爾坐標系下的節點位置矢量；e——體積坐標系下的節點位置矢量；T——笛卡爾坐標節點位置矢量與體積坐標節點位置矢量之間的轉換矩陣，維度是48×48。

單元節點坐標可以定義為

形函數表示為

式中：I——3×3 的單位矩陣；ξ，η，ζ，χ——體積坐標。

1.1 基于Yeoh 模型的廣義彈性力陣

超彈性材料彈性力的非線性本構模型一般采用應變能密度函數來描述。各向同性材料的應變能密度函數是張量不變量I1，I2，I3的函數，張量不變量I1，I2，I3可以定義為

式中：Cr ——右柯西格林應變張量，Cr=JTJ，J——位置矢量梯度矩陣，，為保證不可壓縮性，使得I3=1 或者J=｜J｜=1。因此應變能密度函數中只包含 I1，I2兩項，可表示為

Yeoh 模型是基于應變能密度函數在第一個不變量I1的三項展開式中的表示，為

式中：C10，C20，C30——單軸拉伸實驗測得的材料常數。

在本文中，利用罰函數法來確保不可壓縮性條件。罰函數公式為

式中：α——不可壓縮性常數，其值應足夠大，以保證材料的不可壓縮性。

因此，不可壓縮彈性Yeoh 本構模型的應變能密度函數為

將式（9）對單元坐標p 求偏導可得

則彈性力陣可以表示為

單元彈性力陣的導數陣為QY對PT的偏導，表示為

1.2 單元壓力矩陣

為了反映軟體驅動器內部氣腔的受力情況，首先需要求出作用于氣動驅動器內部的壓力陣。對氣動驅動器施加壓力所作的虛功為

式中：r——位移矢量，r=Se；S——形函數矩陣；ep——單元坐標列陣；p——壓強；s——單元表面積；Qep——單元壓力陣，表示為

1.3 單元平衡方程

在ANCF 中，本文研究的一端固定的多腔體氣動軟體驅動器靜力學平衡方程可表示為

式中：K（e）——剛度矩陣；Qep——壓力矩陣。

由于軟體驅動器為超彈性材料制成，產生大變形，不易收斂，因此綜合使用牛頓迭代法和載荷增量法對式（15）進行求解。

將式（15）改寫為φ（e，λ）≡K（e）e-λQep，用λQep代替Qep，其中λ為載荷因子。將載荷因子分為M 個增量，總數為1，每個增量表示為Δλ=λm+1-λm，載荷增量表示為ΔQep=Qepm+1-Qepm=ΔλQep。

2 氣動軟體驅動器

本文針對如圖2 所示多腔體氣動驅動軟體驅動器進行建模，制作過程詳見文獻[19]，其尺寸如圖3 和表1 所示。

表1 多腔體氣動軟體驅動器尺寸參數Tab.1 Dimensional parameters of multi-cavity pneumatic software driver

圖2 多腔體氣動軟體驅動器Fig.2 Multi-cavity pneumatic software driver

圖3 多腔體氣動軟體驅動器尺寸Fig.3 Size of multi-cavity pneumatic software driver

3 超彈性氣動軟體驅動器力學分析

在只考慮受壓的情況下，本文對超彈性氣動軟體驅動器進行力學分析。本算例所用氣動軟體驅動器尺寸如表1 所示，材料參數如下：C10=0.373 MPa，C20=-0.037 MPa，C30=0.005 MPa，罰因子α=1 000 MPa。分別向驅動器內充入5，10，15 kPa 的壓力，使用基于Yeoh 本構的絕對節點坐標四面體單元和基于Yeoh 的ABAQUS 四面體單元對該驅動器進行分析。

圖4 為利用ABAQUS 分析時劃分9 192 個單元，5，10，15 kPa 下軟驅動器的變形情況。

圖4 ABAQUS 仿真結果Fig.4 ABAQUS simulation results

圖5、圖6 分別顯示了氣動軟體驅動器末端B 點在ABAQUS 和ANCF 仿真下的位置情況。可以發現，無論是何種方法進行仿真，在一定范圍內壓力越大變形越大。

圖5 ABAQUS 仿真B 點位置隨壓力的變化Fig.5 ABAQUS simulates the change of point B position with pressure

圖6 ANCF 仿真B 點位置隨壓力的變化Fig.6 ANCF simulates the change of point B position with pressure

圖7—圖9 分別顯示了不同壓力情況下驅動器末端B 點X 方向和Y 方向的位置隨單元數增加的變化情況。從圖中可以看出，隨著單元數的增加，B 點X 方向位置與Y 方向位置在ABAQUS和ANCF 仿真下的結果趨于一致，驗證了基于ANCF 的氣動驅動器建模的有效性。

圖7 5 kPa 下B 點的位置Fig.7 The position of point B when pressure is 5 kPa

4 結論

基于Yeoh 本構模型的ANCF 四面體單元對多腔體氣動軟體驅動器進行了建模。基于Yeoh本構模型的應變能密度函數推導了ANCF 四面體單元彈性力陣及其導數陣。對受壓力情況下的多腔體氣動軟體驅動器進行數值仿真，得到以下結論：

（1）隨著單元數的增加，ANCF 仿真結果與ABAQUS 仿真結果逐漸趨于一致，驗證了基于ANCF的氣動軟體驅動器建模的有效性和收斂性。

（2）不管是ANCF 仿真還是ABAQUS 仿真，隨著壓力的增大，仿真結果逐漸趨于一個穩定的值。

文中基于ANCF 的多腔體氣動軟體驅動器模型是有效的，為絕對節點坐標法在軟體機器人中的應用奠定了基礎。然而，此類建模中對驅動器劃分的單元數較多，對平衡方程的求解提出了更高的要求，為了實現高效的求解，對適合超彈性材料的高效求解算法提出了更高的需求。