基于反步滑模的無人車輛橫向控制策略

鄭雁南

（201620 上海市 上海工程技術大學 機械與汽車工程學院）

0 引言

通過數據挖掘道路交通事故案例，分析事故信息數據結構的現狀和特點，道路狀況差和駕駛員違反交通規則是引發事故的主要原因，尤其是超速、隨意變道等[1]。據調查，駕駛員主觀性失誤所導致的交通事故占比有著逐年上升的趨勢[2]。近年來，車輛智能輔助系統慢慢進入人們的視野，該系統包括感知、路徑跟蹤、決策等多個方面。在車輛的實際運行過程中，車輛通過毫米波雷達、定位導航等技術獲取周圍環境信息，所設計的控制器對已知環境信息進行路徑規劃并且進行軌跡跟蹤[3]。通過建立車輛動力學模型，控制器通過制動和轉向對橫擺角速度和側滑角進行控制，從而控制車輛完成對路徑的跟蹤，快速響應跟蹤所規劃的路徑是評價控制器的好壞的重要標準。本文通過控制轉向來完成對規劃路徑的橫向控制研究。

本文的研究對象是四輪轉向無人車輛。四輪轉向極大提高了車身安全性和操縱穩定性，具有廣闊的發展前景[4]。當前，該系統依靠輪胎橫向力和轉向角成正比，在輪胎橫向力較小的情況下，為了更好地引入控制律，本文采用二自由度的運動學車輛模型。滑模控制器可以使得滑模面在較短時間內達到平衡點并趨于穩定[5]。反步控制器具備較高的靈活性來解決路徑跟蹤魯棒控制的穩定性，比其他方法具有更低的局限性[6]。在控制器設計過程中，對于不確定常數系數，通過粒子群優化算法控制系統參數設計，優化滑動面和控制器輸出，通過求解常系數最優解，將滑模控制器和反步控制器很好地結合起來。基于五次多項式曲線設計雙排直車道模型以及變道路徑規劃，通過MATLAB/Simulink 與CarSim 的聯合仿真，驗證該控制器的穩定性，為測試在低時限下完成變道和低摩擦系數工況下的跟蹤要求，設立3 s和5 s 變道時限，以及摩擦系數0.3 和0.9 四種工況，來證明所集成的反步滑模控制器針對極限工況有效。

1 路徑規劃

在路徑規劃中，通過動態約束以及初始五次多項式優化設計雙排直車道模型，針對橫向控制的仿真，開始與結束時間車子以直線移動，并且開始的橫向速度和加速度為零，初始位置為零。

設五次多項式

式中：a，b，c，d，f——五次多項式系數；ti，tf——操縱轉向初始時間和完成換道時間節點。

兩車道的中間間距

為了避免碰撞，利用卡爾曼濾波計算出換道的最小安全距離，即車道模型的中間間距w=3.75（w2-w1），設立3 s 變道時限（tf-ti）和5 s變道時限（tf-ti），得出2 個不同的參考路徑，如圖1 所示。

圖1 雙排直車道超車路徑Fig.1 Overtaking path of two-row straight lane

2 車輛模型

2.1 車輛動力學模型建立

針對四輪轉向無人車輛，研究橫向控制的研究，可將復雜的車輛動力學系統簡化為橫向運動和側向運動的二自由度模型，繪制出動力學模型并標注出橫向位移、偏航率誤差、前輪轉角等參數。

圖2 中：V——車輛過彎時行駛速度；β——車輛中心側偏角；δf——汽車前輪轉角；lf——車輛中心到前軸距離；e1——橫向位移誤差；e2——偏航率誤差；lr——車輛中心到后軸距離。

圖2 汽車動力學模型示意圖Fig.2 Schematic diagram of vehicle dynamics model

由圖2 汽車動力學模型可得出路徑跟蹤控制器狀態空間表達式

式中：Cf——前輪側偏剛度；Cr——后輪側偏剛度；Vx——行駛速度；Iz——偏航慣性矩；ψ——偏航率。

依據狀態空間表達設計控制器，車輛跟蹤模型已經初步建立，但實際狀況下，車輛跟蹤過程中會產生誤差，對于車輛狀態變量的橫向位移誤差和偏航率誤差，建立車輛跟蹤誤差模型的狀態方程

式中：ψd——期望的偏航率。

進一步求解，可得出考慮誤差下的車輛的狀態空間表達式

2.1 輪胎模型

采用“魔術公式”輪胎模型，設計了反步控制器，它是依據三角函數關系通過模擬輪胎數據得出的車輛動力學仿真分析，該模型的每一個參數都具有明確的物理意義并且具有仿真模型高度擬合的特點[7]。

3 控制器設計

3.1 反步控制器

在依據反步法設計控制器時，可將式（6）進行改進得出反步控制器的標準方程：

式中：μ——地面摩擦系數；ζ，η，u∈Rm；系數與表達式對照見表1。

表1 系數與表達式的對照表Tab.1 Comparison of coefficients and expressions

反步控制器具有強大的抗干擾，并且能夠很好地處理不確定性參數。假設f，fa，G，Ga光滑的函數，并且f（0）=0，fa（0）=0，G，Ga為非奇異性矩陣。另外，假設系統公式（7）可使用反饋控制器控制其穩定性，令ζ=φ（η），φ（0）=0，列出關于η的李雅普諾夫函數不等式：

式中：V——李雅普諾夫函數。通過對其微分，得出滿足其穩定性的理想輸入，其中，控制律為

使用李雅普諾夫穩定性的證明方法，該控制律的穩定性：

可得該方程在原點具有漸近穩定性，將上述反推控制器應用在汽車動力學模型上，則可以定義李雅普諾夫函數

將反步控制器控制規律應用在汽車動力學模型并簡化

式中：uB——反步控制器的輸入。

由式（14）可知，通過增大k 的值，可以降低不確定性參數對反步控制器產生的誤差。

3.2 反步滑模控制器的設計

反步滑模控制器結構框架圖如圖3 所示。為了讓控制器在更短的時間內達到平衡點，對反步控制器進行改進，在反步控制器的基礎上集成滑模控制器。

圖3 反步滑模控制器結構框架圖Fig.3 Structure frame diagram of backstepping sliding mode controller

列出關于李雅普諾夫函數不等式

可以看出，當η=0 漸近穩定的平衡點，其滑動面S 為

則在η=0 這個平衡點李雅普諾夫候選函數為

結合式（7）對上述方程求導，滿足其穩定性，得期望輸入。其中控制律為

根據式（16）和式（19），使用李雅普諾夫穩定性定理證明所設計的反步滑模控制器的穩定性

因為k ≥0，對其求導可得

式中：σ——大于零的數。根據李雅普諾夫穩定定理，當外界擾動前，穩定性條件k 必須大于外界干擾，當k 不滿足穩定性條件時，反步滑模器會選擇更大的k，來消除干擾的影響，但是這也會造成控制輸入的值變大。這里采用粒子群優化算法這種啟發式優化算法來確定適當的成本函數，其通過迭代計算的方式改進可能的辦法來解決問題。其原理是以最近符合條件的粒子數作為優化問題的候選解，通過設立最大迭代次數，不斷迭代求出最優解，從而提高控制器的穩定性[8]。通過穩定性函數求微分，證明滑模面收斂于零：

通過使k 為正值，可證明滑模面收斂于零，為將其應用在車輛動力學模型上，可設立ζ=φ（η），并結合式（13）可得

在式（18）中，因為Ga矩陣得第2 行元素全為零，滑模面S2也為零，這對反步滑模控制器控制輸入不會造成影響，由此可以得出反步滑模控制器的控制輸入

式中：uBS——反步滑模控制器的控制輸入，化簡可得。

4 仿真結果與分析

本文對上述所提出的反步滑模控制器和反步控制器進行逐一仿真分析，通過MATLAB/Simulink 與CarSim 的聯合仿真來實現。為了驗證該控制器的穩定性，測試在低時限下完成變道和低摩擦系數工況下的跟蹤要求。設立3 s 和5 s 變道時限以及低摩擦系數0.3 和高摩擦系數0.9 四種工況，描繪出兩種控制器的運動軌跡以及規劃的運動軌跡，反步滑模控制器滑模面S1和S2的變化，以及兩種控制器的橫向控制位移誤差e1、偏航角誤差e2、汽車轉向角、偏航角、側偏角和側傾角隨時間的變化關系曲線圖。

圖4 是所設計的兩種控制器在高摩擦系數為0.9 和5 s 變道時長下的仿真結果，從橫縱向位移圖可以看出，在一般工況下，反步滑模控制器和反步控制器跟蹤效果差別不大，都能很好地沿著五次多項式規劃的超車路徑進行。滑模面S1和S2是針對反步滑模控制器的繪制圖，可以看見滑模面收斂于零，控制器輸入不受到影響。在橫向位移誤差的處理上，反步滑模控制器明顯優于反步控制器，偏航角誤差、轉向角、側偏角和側傾角兩種控制器所反饋的變化曲線接近一致。

圖4 在高摩擦和5 s 變道時長下的兩種控制器對比Fig.4 Comparison of two controllers under high friction and 5-second lane changing

由圖5 可知，在將高摩擦系數為0.9 改成低摩擦系數為0.3 時，在反步控制器控制的車輛在駛出原所在道路以及進入新的道路時，會稍稍偏離所規劃的路徑。而反步滑模控制器時能夠完美地跟蹤，并且可以看見滑模面收斂于零，控制器輸入不受到影響。在橫向位移誤差和偏航角誤差的處理上，反步滑模控制器都優于反步控制器，轉向角、側偏角和側傾角反步滑模控制器所反饋的變化曲線振幅均小于反步控制器。

圖5 在低摩擦和5 s 變道時長下的兩種控制器對比Fig.5 Comparison of two controllers under low friction and 5-second lane changing

圖6 是 在 圖4 的 基礎上縮短變道時長對2 種控制器的仿真結果。對比圖6 和圖4 可知，在高摩擦系數下，即便是縮短了變道時長，對兩種控制器的穩定性并無影響。滑模面用更短的時長收斂于零，表現出了強魯棒性。橫向位移誤差的處理上，反步滑模控制器依舊明顯優于反步控制器，航角誤差、轉向角、側偏角和側傾角兩種控制器所反饋的變化曲線接近，反應時長減小。

圖6 在高摩擦和3 s 變道時長下的兩種控制器對比Fig.6 Comparison of two controllers under high friction and 3-second lane changing

圖7 是在低摩擦系數下減少為3 s 變道時長的仿真結果圖，在低摩擦系數和極限變道時長下，反步滑模車輛控制器對軌跡跟蹤十分穩定，而反步控制器所設計的車輛嚴重偏離期望路線，無法達到預計的跟蹤效果，這是因為反步滑模控制器預先轉向，能夠用短的時間到達平衡點，這導致兩種控制器的性能差別十分明顯。除了轉向角的變化頻率、振幅都有所提升外，滑模面最后接近零，在橫向位移誤差、偏航角誤差、側偏角和側傾角的處理上，反步滑模控制器明顯優于反步控制器，這表明反步滑模控制器可以滿足極限轉向或濕滑工況的需要。

圖7 在低摩擦和3 s 變道時長下的兩種控制器對比Fig.7 Comparison of two controllers under low friction and 3-second lane changing time

4 結論

本文通過動態約束以及初始五次多項式優化設計雙排直車道模型，建立二自由度的兩輪車輛模型，并繪制汽車動力學模型。采用“魔術公式”輪胎模型，設計了反步控制器，并且反步法四輪轉向無人車輛的路徑跟蹤算法進行改進，通過啟發式優化算法結合滑模控制設計反步滑模控制器。即在反步滑模控制器設計過程中，對于影響控制器性能的常數參數，對于常數參數不確定的函數，通過粒子群優化算法尋找最優值，讓反步控制器和滑模控制更好地集成。分別設立3 s 和5 s 變道時限以及摩擦系數0.3 和0.9 四種工況，通過CarSim 軟件與MATLAB/Simulink 聯合仿真，比較兩種控制器橫向偏移誤差和偏航角誤差曲線以及軌跡跟蹤路線的貼合度，仿真證明在高摩擦系數下，即使是縮短轉向時長，反步控制器和反步滑模控制器都能夠很好地完成路徑跟蹤，但在低摩擦系數下，會使反步控制器穩定性降低，特別是在急速換道的工況下，然而，對于此類工況下所設計的反步滑模控制器能夠很好地跟蹤，證明所集成的反步滑模控制器針對極限工況有效。