基于ARMA模型的股票價格的分析及預測

王 瑩

（上海工程技術大學 管理學院，上海 201620）

一、引言

一直以來，股票市場在金融領域中有著舉足輕重的地位。股票價格的波動能夠在一定程度上反映一個國家經濟周期的變化。尤其作為權重股的銀行股，其價格波動對于整個股市的變化趨勢有著重要的影響[1]。而股票價格往往對時間因素非常敏感，所以建立時間序列模型能夠有效地對股票價格進行分析及預測[2]。常用的時間序列預測方法有自回歸（AR）模型、移動平均（MA）模型和自回歸移動平均（ARMA）模型[3]。本文將運用ARMA模型對中國銀行股票開盤價歷史數據進行擬合分析，并對未來三天的開盤價進行預測。

二、模型的介紹及建模步驟

（一）ARMA模型的介紹

ARMA模型是由AR自回歸過程和MA移動平均過程組成的自回歸移動平均模型，是時間序列分析模型的一種，其基本思想是通過揭示歷史時間序列的運行規律，從而對未來的事物發展進行預測。在ARMA（p，q）模型中，p為自回歸階數，q為移動平均階數。

一般的ARMA（p，q）模型的形式可以表示為：

式（1）中，{εt}是白噪聲序列，AR和MA模型都是特殊的ARMA（p，q）模型，當p=0 時，ARMA（0，q）就是MA（q）；當q=0 時，ARMA（p，0）就是AR（p）。當時間序列不平穩時，不能直接運用ARMA模型，而是需經過差分或取對數等處理后，形成一個新的平穩的時間序列[4]。

對于非平穩時間序列，可以擬合模型ARIMA（p，d，q），其方程式如下：

其中：d為差分階數；

B為滯后算子；

特別地，當d=0 時，ARIMA模型就是ARIMA模型。

（二）ARMA模型的定階方法

ARMA模型的定階方法主要是通過觀察自相關圖和偏自相關圖，根據其系數的相關特性來判斷階數。若AC是拖尾的，PAC是p階截尾的，則選擇AR（p）模型；若PAC是拖尾的，AC是q階截尾的，則選擇MA（q）模型；若AC和PAC都表現為拖尾性，則選擇ARMA（p，q）模型，然后通過模型的參數檢驗，進一步判斷p、q的階數。

但由于樣本具有隨機性，相關系數并不會表現出完美截尾的情況，通常會呈現出小值振蕩的情況，這就給模型的定階帶來了一定的困難。根據以往的經驗，如果樣本自相關系數或偏自相關系數在初始的d階明顯大于兩倍標準差范圍，其后幾乎95%的自相關系數都在兩倍標準差范圍內，并且由非零自相關系數衰減為小值波動的過程非常突然。這時可以視為自相關系數或偏自相關系數d階截尾[5]。

（三）ARMA模型的平穩性檢驗——單位根檢驗

單位根檢驗是通過檢驗特征根距離單位圓的位置來判斷序列的平穩性的。通常采用的是ADF檢驗，ADF檢驗主要有三種類型：無趨勢無截距、有截距無趨勢、有截距有趨勢。形式如下：ADF 檢驗主要步驟如下：首先進行第三種情形的檢驗，若拒絕原假設，則檢驗時間趨勢項系數的顯著性，若顯著性拒絕原假設，則該序列為趨勢平穩。反之進行第二種情形的檢驗，若拒絕原假設，則檢驗截距項系數的顯著性，若顯著性拒絕原假設，則為含截距項平穩；若不拒絕原假設，則進行第一種情形的檢驗，若拒絕原假設，則該序列為不含截距項和時間趨勢項平穩。若三種情形均不能拒絕原假設，則應綜合第一種和第二種的AIC、SC、HQ 判斷選擇哪種情形下的單位根檢驗。

三、股票價格預測的實證分析

本文通過東方財富網選取了中國銀行（601988）2019 年8 月20 日至2020 年8 月21 日的股票日開盤價數據，一共245 個樣本。運用Eviews 10 軟件進行建模分析對未來三天的股價進行預測。

（一）原始數據的平穩性檢驗

1.時序圖檢驗。首先對數據的平穩性進行判斷：將原始數據輸入Eviews 軟件，生成時間序列圖（見圖1）。平穩時間序列的圖像始終圍繞著某一個值上下波動且波動范圍有界，沒有明顯的趨勢和周期性。由圖1 所示，序列趨勢不太明顯，存在上下波動的狀態，可以初步判斷中國銀行股票開盤價大致平穩的。

圖1 中國銀行股票開盤價時序圖

2.單位根（ADF）檢驗。為了準確判斷原始序列是否平穩，進一步對原始數據進行三種情況下ADF檢驗（結果如圖2、圖3、圖4 所示），其ADF test statistic值分別為-3.410 698、-2.954 879 和-0.152 588，P值分別為0.052 3、0.040 7、0.630 1，經分析發現三種情況中，在有截距情況下的單位根檢驗的P值小于0.05，拒絕原假設，可以認為原始數據為平穩時間序列。

圖2 有截距有趨勢項的單位根檢驗

圖3 有截距的單位根檢驗

圖4 無截距無趨勢項的單位根檢驗

（二）模型的識別

在對時間序列數據進行平穩性檢驗之后，我們需要根據樣本相關系數的拖尾性和截尾性來識別模型的類型，并確定滯后階數p和q的值。

觀察樣本自相關圖和偏自相關圖（見圖5），其中p值均為0，說明原始序列為平穩非白噪聲序列，可以進行模型擬合。由圖5 可知，序列自相關系數緩慢衰減且過程相當連續，呈現拖尾性質。而偏自相關系數除了滯后一階的數值較大，其他數值均在兩倍標準差范圍內作小值隨機波動，并且相關系數衰減的過程非常突然，所以可以判斷偏自相關系數為一階截尾。綜上所述，可以考慮擬合模型為AR（1）。

圖5 序列自相關圖和偏自相關圖

（三）模型的建立與參數估計

根據上文，選擇AR（1）模型作為最佳預測模型進行擬合，如圖6 所示，根據圖中結果，模型AR（1）對應的p值為0，小于0.05，模型參數顯著有效。進行參數估計，可以寫出表達式為：xt=0.999950xt-1+εt，其中εt為殘差序列。

圖6 AR（1）模型擬合

（四）模型的顯著性檢驗

參數估計完成后，還需要對模型進行顯著性檢驗。目的是檢驗模型是否充分的提取了時間序列中的信息，即殘差序列是否為白噪聲序列。若殘差序列為非白噪聲序列，那就說明殘差序列中還有殘留的相關信息未被提取，還需對模型進一步完善。

對擬合AR（1）模型進行殘差檢驗，結果如圖7 所示，延遲6 階和12 階的Q統計量值分別為4.150 5和8.322 3，P值分別為0.528 和0.684。由于P 值大于顯著性水平α，所以該序列不能拒絕原假設，即殘差序列為白噪聲序列，模型顯著有效。事實上，DW檢驗同樣可以判斷殘差序列的自相關性。圖6 中DW 檢驗值為2.016 319，十分接近2，因此可以認為殘差序列不具有自相關性。

圖7 殘差序列自相關圖

從圖8 的模型擬合效果圖來看，擬合值和真實值還是十分貼合的，殘差也為圍繞著某個值隨機波動，殘差信息提取的較為充分。

圖8 模型擬合效果圖

（五）模型的預測分析

最后用擬合的ARMA模型對中國銀行股票未來三天的開盤價進行預測，并將預測結果與真實數據進行對比，結果如表1 所示。

表1 中國銀行未來三天股價的預測結果

根據表1，用模型預測出的股票價格與真實價格較為接近，誤差較小，說明ARMA模型預測股票價格的效果比較理想。但由于影響股票長期價格的因素較多，在利用ARMA模型進行時間跨度大的預測時，誤差也隨之增大，因此本模型更適合于股票價格的短期預測[6]。

四、結語

股票價格預測一直是一個值得關注的問題。本文采用ARMA模型對中國銀行股票開盤價進行預測的實證，表明了時間序列模型對于股票價格的短期預測是可行的。模型對價格信息提取比較充分，擬合效果較好，預測值與真實值的誤差相對較小。但由于下一期的預測是根據上一期的預測值計算的，因此產生的累計誤差將越來越大。對于股票價格的長期預測來說，ARMA模型的預測效果會大大降低。而且股票價格的長期趨勢受到行業政策等環境因素的影響較大，而短期預測受到的干擾因素的影響較小。因此投資者應該選擇模型的短期預測值作為投資決策的參考。