小波分析在遙測數據預測中的應用研究*

徐江濤 劉萍萍 楊 博

（西安工業大學計算機學院 西安 710021）

1 引言

為了航天器的穩定運行，需要對航天器的運行參數進行提前預測，根據預測故障數據給出故障處理預案。為了使預測理論與計算機技術結合，提出了有限參量線性模型的離散參量預測遞推算法。依據預測使用變量性質不同，預測方法分兩類：因果預測和時間序列預測。因果預測是通過已知的參數來預測其它參數的值，時間序列預測是用被預測參數的過去值預測該參數的未來值［1］。本文采用時間序列預測方法，對遙測數據未來發展趨勢做了較好預測。

2 小波分析理論

2.1 小波分析

小波分析方法具有平穩信號的低頻特性，即隨信號的變化低頻信息采用寬時間窗；同時該方法具有非平穩信號的高頻特性，即隨信號的變化高頻信息采用窄時間窗。小波是一種有特殊的長度、平均值為0的小區域的波形［2］。小波定義如下［3］：

設ψ(t)為一平方可積函數，即ψ(t)∈L2(R)，若ψ(ω)滿足條件：

式（1）中ψ(t)稱為小波母函數（基本小波）。伸縮和平移ψ(t)，得到函數ψa,τ(t)：

式（2）中，由于平移因子τ和尺度因子a是連續變化的數值，而ψa,τ(t)依賴于平移因子τ，伸縮因子a，所以ψa,τ(t)是由相同母函數ψ(t)經過伸縮和平移形成的一組函數序列，叫子小波。

2.2 Mallat算法

設Hj f為能量有限信號在f∈L2(R)分辨率2j下的近似，進一步分解Hj f為在f∈L2(R)分辨率2j-1下的近似Hj-1f，及處于分辨率2j-1與2j之間的Dj-1f之和。

1）小波分解Mallat算法［4］

由多分辨分析的思想可知：L2(R)=⊕j∈ZWj，故對任意函數f(t)∈L2(R)有

用ψj,k在等式兩邊取內積，因為是L2(R)的一個標準正交基，可得，從而有

由多分辨分析的性質可知，對任意L2(R)中的任意子空間Vj，其中的任意函數fj都可以表示如下：

其中

dl(t),l=M,…,j-1表示fj在不同分辨率下的高頻成分，fM(t)表示fj的低頻成分。因為?,ψ和

平移和伸縮性的正交性，所以：

式（6）、（7）稱為Mallat算法的小波分解算法，其中是由正交尺度函數的兩尺度方程對應的濾波器系數序列。

2）Mallat算法的重構算法

Mallat算法的重構算法是其分解算法的逆過程。Mallat算法的卷積表示為

3 Mallat算法在時間序列預測中的應用

3.1 小波函數的選擇

除了滿足允許條件和正則性條件外還要滿足以下三個條件［5］：1）ψ(t)具有消失矩；2）滿足正交性；3）緊支撐性要好。

由于各種因素影響，遙測數據總是存在一些野值。反映到數據趨勢圖總是存在著一些突變點。在選擇小波函數時就要求小波函數具有很好的收斂性［6］。經過大量實驗，本文選擇db3小波基對遙測數據時間序列進行不同尺度下分解的濾波器。dbN（N=1，2，3，4）小波基對某遙測數據的進行1尺度分解的結果如圖1：

圖1 dbN（N=1，2，3，4）小波基在1尺度分解的比較結果

3.2 小波分解尺度的選擇

由于遙測數據的變化周期比較復雜，往往是大周期和小周期嵌套在一起。因此，采用不同的頻率分量表示不同的變化周期。圖2是經過db3小波分解后的在不同尺度下序列a1、a2、a3、a4，與原序列a0比較，可以看出分解尺度為1時，曲線a1不夠光滑；分解尺度為2時，曲線a2足夠光滑，與原曲線相似度較好；分解尺度大于2時，曲線過分平滑，序列的形狀已失真，因此本文選擇的分解尺度為2。

圖2 序列a1、a2、a3、a4近似部分的比較

3.3 基于時間序列法的預測模型

時間序列預測方法［10，13］的建模思想是基本假定遙測數據過去的變化規律會持續到將來，也就是說未來是過去的延續。本文中用到的周期自回歸模型（PAR模型）［6，11～12］如下。

若有一時間序列X，其表達式Xt：

滿足以下條件：

1）εt是獨立序列，εt方差，εt期望值Eεt=0；

2）對任意i=0,1,…,p，有ait=ait+T，=，t=0,±1,…，其中T為正數，T為PAR模型的周期長度，t稱PAR為模型的相位，則上述模型稱為PAR模型。

基于PAR模型的遙測數據預測模型如下：

取遙測數據樣本為X1,X2,…,Xn（每分鐘），Xt(h)預測值是未來時刻h的值Xt+h在時刻t的條件期望，記為，定義公式如下：

對遙測數據分解序列建立1小時預測模型，周期的長度選為60，即p=T=60。這樣負荷序列的PAR預測模型［15～18］的表達式如下：

3.4 實驗結果分析

對各尺度的子序列進行重構后，得到的預測功率值與原始輸出功率值進行比對結果如圖3。

圖3 預測值與原始輸出功率值對比結果

由于預測結果邊界突變與某遙測數據趨勢圖吻合不是很好，本文選用周期延拓對序列進行邊界的延拓。其延拓過程如下［7，14］：

上式中M是序列的長度。使用周期延拓方法后的預測曲線與實際曲線對比結果如圖4。

圖4 修改邊界后的預測值與實際值對比結果

由圖4可知，對序列進行周期延拓后在再做小波變換，所得的預測數據要比直接做小波變換所得預測數據的邊界吻合度更好。

4 結語

遙測數據具有緩變和快變的特點，數據變化周期不平穩，通過對遙測數據的特點分析，研究了基于小波分析的遙測數據預測方法。選用不同的小波基和分解尺度對待預測遙測數據進行分解，將分解結果進行比對得出分解尺度為2、db3小波基最合適。根據不同尺度下細節數據和近似數據變化特點建立了基于Mallat算法的時間序列預測模型。實驗結果證明：通過該預測模型得到的預測值與實際值有較好的吻合度。