“數”與“量”的意義辨析

蔣鑫源 郜舒竹

【摘 ? 要】數與量及其關系是數學課程內容的基礎。對其意義的理解存在諸多模糊認識。早在十幾世紀之時，許多數學家、哲學家便對數、量等概念做了諸多論述。通過文獻梳理可以發現，量是描述事物多少的概念，而數是對量的度量結果加以描述時所形成的一種主觀生成，“度量”一詞是基于單位與被度量的量之間比的存在，數與量之間的關系是一種因果關系。

【關鍵詞】量;強度量;廣延量;數;度量;單位;比

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標》）中提出“數感主要是指關于數與數量、數量關系、運算結果估計等方面的感悟”。應當如何理解其中的“數”與“量”及其關系？通常會把數理解為“數字”，比如1、2這樣的符號;把量理解為“數字+單位”，比如1米、10千克等。諸如此類的認識并未觸及數與量的本質特征，因此需要對數與量及其關系的意義予以辨別與分析。

一、質與量

古希臘時期的亞里士多德在《形而上學》中對質（quality）與量（quantity）都有所論述，他提及“量是可以分割為兩個或多組成部分的東西，而質的首要含義是本質的區別”。亞里士多德所說的質與量是兩個不同的范疇，質是回答什么樣的事物（what sort of thing）的問題，而量則是回答事物的大小、多少（How large）的問題。[1]從以上觀點來看，可以將質定義為事物的一種屬性，這種屬性決定了事物能夠成為自身并且區別于其他事物。而量的最大特征是具有可加性的，意味著一個整體的量也可以通過部分來表述。

質與量的區別之一在于量的變化是大小的變化，而質的變化是程度的變化。就像長度作為一個量，就可以通過“一個長度比另一個長度更長”去描述長度的大小變化。但是，顏色作為一個質，卻不可以通過“一個顏色比另一個顏色更長或更短”去描述顏色的程度變化。除此之外，質與量的區別還體現在是否具備可加性。以長度量為例，可以將3米長的繩子與5米長的繩子相加得到8米長的繩子，在現實世界中也可以進行實際操作來實現驗證。但是對于顏色這個質來說，將不同程度的顏色相加是無法得到以上結果的。

小學數學課程內容中包含著諸多的量，比如長度、面積、時間、速度、溫度、濃度等等。如若從可加性的視角將這些量進行分類，便可發現長度、面積和時間等是可以表述為“整體=部分+部分”的，而速度、溫度、濃度等量則不可以。因為將一杯30攝氏度的水與一杯40攝氏度的水混合，并不能得到一杯70攝氏度的水。這個特征似乎與質與量的區別有所聯系。

對此，早在18世紀之時，德國古典哲學創始人伊曼努爾·康德（Immanuel Kant，1724—1804）便通過廣延量（extensive quantity）與強度量（intensive quantity）來區分這樣的兩類量。19～20世紀，英國哲學家、數學家、邏輯學家、歷史學家、文學家羅素（Bertrand Arthur William Russell，1872—1970）在他的著作《論數與量的關系》中談及強度量與廣延量，認為廣延量是可以表述為“整體=部分+部分”的，這與剛剛提到的長度、面積和時間等量具有相同的性質。其中作為整體的部分是可以被無限分割的，也意味著整體是具備“可分性（Divisible）”的，最重要的是，整體與部分之間必須是同類量。同類量是指如若整體是長度量，則部分也必須是長度量，不可以為面積、體積等量。在羅素眼中，強度量不同于廣延量，它是一種內在的性質，且整體與部分之間是相同的。對于強度量的量變必須是通過直覺的直接比較來判斷。例如溫度，當溫度發生量變時，人體可以直接感受到天氣的冷熱變化。[2]

基于以上內容可以發現，小學數學課程內容中的長度、面積、體積、時間等量具有廣延量的性質，廣延量更加傾向于亞里士多德所說的量的范疇。而像速度、溫度、濃度等量則符合強度量的性質，強度量更加傾向于亞里士多德所說的質的范疇。因此，量真正的意義并非“數+單位”，而是有關事物多少或大小的概念。

二、數與量

17～18世紀哲學家、數學家，也是微積分創始人之一的戈特弗里德·威廉·萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646—1716），認為量體現了某種類型的測量的可能性，數則是在選定特定的單位后，從測量中得出的結果。測量就是用單位與被測物之間進行比較，并且單位與被測物必須為同類量。[3]這就說明數的產生是源于人對量進行度量（measurement），最終通過數對度量結果加以描述。

度量活動是與“比（ratio）”密切相關的，度量實際上就是比較，比是心智中生成的想法。[4]人通過身體可以感知到兩個量之間有所差異，比如人可以感受到兩張桌子不一樣高。但是，這種通過身體的感覺并不能精準地描述兩張桌子在高度方面究竟相差多少，那么此時就可以通過度量的方式來探索這種感知到的差異。歐幾里得（Euclid，約公元前330年—公元前275年）在《原本》中談及“比”的概念，將其定義為：比是兩個同類量之間關于大小的一種關系[5]。也就是說比的存在至少有兩個量，且它們必須是同類量。

因此，在對量進行度量時所選取的單位也必須具備與該量共為同類量的特征。從度量的過程來看，量是先于數的實體，而比作為人的心智中的生成也是先于數的存在的，數是對量的度量結果的描述，是處理量的工具。除了比的關系外，還需要注意的一點就是，數是針對單位來說的。因為數描述的是單位與被度量的量之間比的大小關系，如果沒有單位，那么數就失去了它的意義。

北師大版教材在編排“長方形面積”這一內容時，給出“通過利用1平方厘米小正方形的擺放去測量長方形的面積”的提示。“面積”作為量是度量的基礎，起初學生可以察覺到小正方形與長方形之間在面積量上存在差異，也就是存在著比，但僅憑感覺，是無法說清楚二者比的大小的。而后，學生可以借助小正方形作為單位去不斷與長方形進行比較，也就是進行度量，最后通過數字“6”去表示二者之間在面積量上比的大小關系，以此測量出長方形面積為6平方厘米。此時作為數字（numeral）的“6”是有意義的，它承擔著數的職責，意味著長方形的面積包含6個小正方形的面積。但如若將6單獨抽離來看，它不具備任何意義，僅是一個數字符號。因為6代表著6個1，而1又意味著什么呢？所以，數是針對單位來說的，如果沒有單位，那么數字也只不過是符號而已。

早在古希臘時期，對數學的認識與研究是基于幾何量（magnitude）的。亞里士多德認為，幾何量在一維上是長，二維上是寬，三維上是高，而長、寬、高分別對應了線、面、體，所以如今數學教科書中的長度、面積、體積都是幾何量的度量對象。由于研究對象的不同，希臘人在描述幾何量的度量結果時并不使用代數符號，而是使用圖形（figure），他們甚至通過圖形進行推理。圖形相比代數符號具有仿真性，可以通過類比，再現各種真實的身體特征。[6]因此對于希臘人而言，圖形或語言文字就是一種數。所以，應當把數看作是對量的度量結果的描述，是人的一種主觀生成。數的表征形式是多種多樣的，可以是數字符號，也可以是圖形或語言文字。

三、度量

如果把量理解為“數+單位”，是把數看作因，量看作果，這種觀點可謂是因果錯位，其關系應當為量是因，數是果。《課標》第17頁中對于“常見的量”這部分課程內容的描述包括以下三點：在現實情境中，認識元、角、分，并了解它們之間的關系;認識年、月、日，了解它們之間的關系;在現實情境中，感受并認識克、千克、噸，能進行簡單的單位換算[7]。

基于此，教師對于“常見的量”這部分內容的教學設計重點傾向于單位換算，意味著學生對量的認識是偏向于單位的，而并非對量本身的認識，這也造成學生將克、千克等單位看作是量。這樣的教學設計有著本末倒置的意味。因為量是度量的對象，是客觀存在的，它不同于具有主觀性的數和單位。對量的教學應該集中于度量的內涵、度量的對象、度量的單位和度量結果的表達。[8]

度量的內涵是什么呢？歐幾里得《原本》中公理4描述道：彼此重合的兩個物體是全等的，剩余部分可以再一次重疊，依此繼續，總可以比較出兩個物體誰大誰小。[9]度量的過程就是不斷比較大小的過程。度量的對象應該是量而不是單位，更不應該是單位與單位之間的進率。針對《課標》第17頁內容，其所指的度量的對象實際為人民幣、時間、質量。但人民幣與時間、質量不同，人民幣的存在起源于人對于商品價值的度量。人類最原始的交易是以物換物，是以某種商品的價值與另一種商品的價值進行比較。

度量的單位是指用什么與被度量的量之間進行比較，度量單位的確定具有主觀的多樣性。以長方形面積為例，可以采用面積為1的小正方形作為單位，但同時也可以采用小三角形，因為度量單位的選擇是主觀的，只要和被度量的量是同類量即可。而對于度量結果的表達，也是具有主觀差異性的。比如，可以使用數字來表達，也可以用圖形或文字來表達，但無論采用何種方式，都可以將結果用數表達。應當說，度量是認識量的基本活動，活動過程中將量與數建立起聯系。

四、數與量的意義差

為了理解數與量，應該首先區分“質與量”。即便亞里士多德將質與量劃分為兩個不同的范疇，但并不代表二者是割裂的，反而存在著密切聯系。中世紀時期，人們興起了對質進行量化的思潮，試圖將質的程度變化通過大小來表示，從而實現將所有的差異都歸結為量的差異。[10]

強度量的存在完美地體現了質與量的區別與聯系，它不像廣延量那般具備可加性，但它與廣延量一樣，需要通過感覺來實現對其的認知。此外，強度量并不是絕對的量，但它可以在兩個廣延量之間建立關系。比如速度，起初人對速度的認識是基于質的認識，是對運動快慢的一種感覺。將速度看作是一種量，是路程與時間兩個廣延量之間的比。針對數與量意義的差異，可以通過表1進行對比。

數與量之間除了具有上述區別外，還具有因果關系。量作為關系中的因，具有客觀存在性，并能夠被人所感知。因此，人們能夠辨認出兩個同類量之間存在比，并經過度量來描述兩個量之間比的大小關系，從而形成數。對于數與量之間的因果關系，可以通過圖1來加以理解。

《課標》前言中將數學定位于“研究數量關系和空間形式的科學”，這就意味著數學教學的目標之一應當是如何研究“數量關系”，因此深入理解數與量及其關系，就成為提高數學課程教學質量的前提。

參考文獻：

[1]ARISTOTLE. Categories[M]. Translated by COOKE H P， TREDENNICK H. London： Harvard University Press， 1938： 17.

[2]RUSSELL B. On the relations of number and quantity[J]. Mind， 1897（7）：326-335.

[3]NICHOLAS R. Leibnizconception of quantity， number， and infinity[J]. The Philosophical Review， 1955， 64（1）：108-111.

[4]郜舒竹. 釋“比”[J]. 教學月刊·小學版（數學），2021（6）：4-5.

[5]歐幾里得. 幾何原本[M]. 蘭紀正，朱恩寬，等譯. 西安：陜西科技出版社，1990： 119.

[6] GIOVANNI F. The rise and development of the theory of series up to the early 1820s[M]. ?New York： Springer， 2008： 95.

[7 ]中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2011年版）[M]. 北京： 北京師范大學出版社，2012.

[8]易虹輝， 鄧小蘭. 建立聯系 喚醒經驗 靈活運用：“常見的量”總復習建議[J]. 小學教學（數學版），2016（2）：12-14.

[9]劉加霞. 度量， 用“單位”一以貫之：評劉偉男執教“面積的認識”一課[J]. 小學數學教師，2017（6）：52-55.

[10]CROMBIE A C. Quantification in medieval physics[J]. Isis， 1961， 52（2）：151-153.

（首都師范大學初等教育學院 ? 100048）