指向“化解疑問”的“數學廣角——集合”教學

吳陳萍 李苗苗

【摘 ? 要】“集合”的教學，一般被理解為“重疊問題”，進而使得“集合思想”的啟蒙滲透在一定程度上被弱化了。問卷分析發現，學生眼中的集合與數學上的集合有一定的區別，如體育課上常常用到的“集合”與數學上的“集合”有何不同，學生心存疑問。教師首先要引導學生對數學上的集合有較為深刻的認識，然后結合學生對生活中集合的理解，幫助他們厘清兩者的關系，通過對比分析讓學生更深入地理解數學上的集合，從而化解他們心中的疑問。

【關鍵詞】數學廣角;集合;學生疑問;化解疑問

“集合”是人教版三年級上冊第九單元“數學廣角”中的教學內容，是集合思想的初次滲透。值得注意的是，原人教版教材中的這一內容并沒有明確提出“集合”一詞，教師在教學這個內容時一般將其稱為“重疊問題”。教材中明確提出“集合”一詞并將其作為標題，是在人教版教材改版（2013年版）之后，并把這個內容從原來的三年級下冊移到三年級上冊。不過即便如此，很多教師對此的教學還是傾向于“重疊問題”。三年級學生初次接觸“集合”，他們會有疑問嗎？課題組對此展開了實踐研究。

一、前測設計與意圖解讀

為了了解學生對集合概念的認識情況，研究團隊設計了以下問卷。

1.寫一寫。

（1）數學上有一個名稱叫“集合”，你聽說過嗎？請打“√”。

聽說過（ ? ? ） ?沒聽說過（ ? ? ?）

（2）關于“集合”，你心里有什么疑問嗎？

2.想一想，填一填。

你已經在科學課上見過右邊這幅圖（如圖1）了。請你仔細觀察下面3個班的情況，如果請你從中選擇1個班的學生填到該圖中，你會選擇三（ ? ?）班。

[書法 張一 李四 萬一 方可 葉子 合唱 夏天 馬麗 金果 ]

三（1）

[書法 李凡 丁一 劉紅 王芳 林立 合唱 李凡 丁一 于冰 ]

三（2）

[書法 王五 朱會 龍華 古田 衛冰 合唱 王五 朱會 龍華 ]

三（3）

問卷第1題直接告訴學生數學上有“集合”這個名稱，問學生有沒有聽說過，在此基礎上再讓學生寫一寫自己對集合的疑問。這樣出題的目的除了了解學生對“集合”的知曉情況外，更想測查學生對“集合”會有什么疑問。第2題呈現了韋恩圖（交集），并用提示的方式喚醒學生在科學課上學習的經驗（本地科學教材三年級有這個內容的教學，早于數學），之后給出3組信息（交集、并集、子集），請學生根據學習經驗進行選擇。這道測試題的目的是了解學生在科學課上學習了韋恩圖之后，能否將其遷移應用到數學中來。同時，這3組材料也是上課用的材料，故測試也可幫助研究團隊更好地把握課堂教學情況。

二、測試分析與疑問確定

（一）測試分析

測試在1所城鎮學校和1所農村小學同步開展，共有488名學生參與（城鎮353人，農村135人）。通過對學生寫下的疑問進行分類歸并后發現，學生對集合的疑問主要集中在4個方面，相關數據如表1所示。

（二）疑問確定

基于對這節課的教學定位——集合問題，諸如“什么是集合”“集合有什么用”這樣的疑問在教學中會自然化解。同時，這節課還涉及集合中的簡單運算，因此“集合可以運算嗎”這個疑問也會自然化解。然而，學生聯系到體育課中的集合以及生活中其他的集合現象，產生如下疑問，這是在以往教學中所不曾顧及的。

由此課題組認為，基于對這節課的教學定位，可以將“數學課的集合與體育老師叫我們集合一樣嗎”確定為學生疑問。

三、疑問分析與“化疑”實施

（一）疑問分析

1.教學價值分析

集合（set），簡稱集，是數學中最基本的概念之一，是現代數學的基礎。康托爾（Cantor，G.F.P）認為，“所謂集合，是一些對象的匯集。這些對象是人們的直觀或思考中所涉及的，在一定范圍內是明確而可鑒別的”。通俗地說，集合是將一些具有相同性質的對象放在一起，作為一個整體來考慮。

集合作為一種思想，它在生活中有著廣泛的運用。比如一位教師的電腦中建有一個文件夾，取名“視頻集合”，這便是一種最基本的集合思想的體現。集合思想其實就在我們每個人的身邊。打開人教版《教師教學用書》，發現對這個內容的解讀，也是指向集合思想的滲透。可見，基于“集合問題”的教學定位，以滲透初步的集合思想為目標，是合理的。

基于上述理解，再來看“數學課的集合與體育老師叫我們集合一樣嗎”這個疑問，就能進一步體會到化解這個疑問的內在價值了。

首先，化解這個疑問，可以更為有效地滲透集合思想。可以想象這樣的畫面：體育課上教師哨聲一響，學生就迅速地集合到一起，排成整齊的隊伍。這就是學生眼中的“集合”。不難發現，這個畫面中的“集合”是一個動詞，這與作為數學概念的“集合”當然是不一樣的。數學上的“集合”，不關注對象的運動，關注的是對象的性質。這也就是說，操場上同一個班的學生不用集合（動詞）到一起，本身就是一個集合（名詞），因為這些學生具有一個共同的性質——來自同一個班級。當然，為了更清楚地表達把具有相同性質的對象看成一個整體，可以把這些對象圈起來，以區別于其他不同性質的對象。因此，把體育課的“集合”與數學課的“集合”加以區別的過程，本身就是集合思想滲透的過程。

其次，化解這個疑問，可為學生后續進一步運用集合思想奠定基礎。教材在編排中并沒有對集合的產生進行展現，而是直接進行集合的運用——交集，也就是韋恩圖。不難看出，這樣的教學是有“斷層”的，即還沒實現集合概念的建立，就已經開始運用集合概念了。這或許也就是在教學交集時，學生常常只能看見3個區域，看不見原來集合的原因。在后續教學中，如“因數與倍數”中“2的倍數”用集合表示，也是“沒學就用”這一現象的延續。因此，把體育課的“集合”與數學課的“集合”進行區別，無形中把教材中的“斷層”補上了，這為學生后續進一步運用集合思想奠定了基礎。

由此可見，化解了“數學課的集合與體育老師叫我們集合一樣嗎”這個疑問，不僅可以實現集合思想的滲透，還可以為學生在后續學習中運用集合思想奠定基礎，具有重要的價值。

2.可行性分析

曾有教師這樣質疑：“在小學教學集合，合適嗎？”當然不合適。事實上，這也不可能。課題組把教學定位在“集合問題”上，主要是基于學生在體育課上已有的關于集合的經驗，將其與數學上的集合進行對比，去偽存真，進而初步滲透簡單的集合思想。基于這樣的教學定位，課題組認為在小學三年級教學“集合問題”是可行的，首先是三年級的學生已經具備了一定的抽象思維能力，具有把一些看成一個整體的經驗（如一個班級等），其次是通過結合具體實例的形式，學生能理解把具有共同性質的對象圈起來看成一個整體的集合思想。

由此，就形成了化解“數學課的集合與體育老師叫我們集合一樣嗎”這一疑問的設想：首先在課始暴露學生對集合的疑問，然后通過熟悉的體育課的場景為素材進行辨析，認識到數學上的“集合”和體育課上的“集合”是不一樣的，初步滲透簡單的集合思想，最后進行集合的運用（韋恩圖）。

（二）“化疑”實施

根據對學生疑問的確定，化解疑問教學主要集中在課的開始階段。

師：同學們，這節課我們來學習集合。（板書：集合）我們一起來讀一讀。（生讀）對于“集合”，你們心里有什么疑問？

生：什么是集合？

生：這個集合和體育課上老師叫我們集合，是一樣的嗎？

生：集合不就是排隊嗎，數學課上的集合難道也是排隊？

生：數學課上的集合有什么用，又是怎么用的？

生：集合可以計算嗎？

師：關于集合，你們有這么多疑問呀！我們來整理一下剛才大家提出的疑問。

教師與學生一起回憶，并板書：是什么？有什么用？能計算嗎？與體育課的集合一樣嗎？

師：老師有點好奇。誰來把你們體育課上的集合介紹一下？

生：體育課上的集合是這樣的，一上體育課，我們所有人就站在一起了。

生：體育課上老師只要一吹哨子，我們就立刻跑到集合點，排好隊。

生：操場上每個班都有一個集合點，我們班集中在一個點，三（2）班一個點，三（3）班也一個點，就是每個班有一塊地方，在一起。

生：體育老師讓我們集中在一個地方，男生女生排成兩個隊就可以了。

師：原來體育課的集合是這樣的啊！你們猜猜看，數學課上的集合會是怎樣的？

生：我覺得數學上的集合可能是將數學知識進行分類。

生：體育課上老師集合要用哨子或者口令，數學課上可能只要用口令。

生：我覺得數學課上的集合就是把物品進行分類，有的是吃的，有的是用的，還有的是玩具什么的。

師：哈哈！同學們都非常有經驗，介紹得非常精彩。那么，到底體育課上的集合和數學課上的集合一樣嗎？我們一起來看一看。

（課件出示圖2）

師：瞧！上體育課了，三（1）班的同學們愉快地來到操場上。體育老師說“集合”。根據你們的經驗，接下來大家會怎么做？

生：大家會跑到一起，排成整齊的隊伍。

師：真的嗎？我們一起來看。

（課件動態演示學生排成2行，如圖3）

生：對的，就是這樣的，跑到一起來。

生：體育課上我們就是這樣排隊集合的。

師：原來體育課上的集合就是大家聚到一起來排隊啊！

教師板書：到一起，排隊。

師：那么，數學課上的集合是怎樣的呢？請看（課件切換到圖2）。這些學生現在就可以看成一個集合，叫作“三（1）班學生的集合”。

（此時學生有點驚訝）

師：因為這些學生具有共同的特征，你們知道是什么特征嗎？

生：他們都是三（1）班的學生。

師：對了。這些學生都來自三（1）班，這是他們的共同特征。

教師板書：共同特征，三（1）班的學生。

師：邊上可能還有其他班的學生。所以，為了和其他班級區分開，我們可以用這樣一個圈把這些學生圈起來（課件演示），表示“三（1）班學生的集合”（如圖4）。

師：通過剛才的學習，我們已經初步認識了數學上的集合。請看大屏幕（如圖5），仔細觀察，你看到新的集合了嗎？你是怎么想的？

生：這些都是鉛筆，就是“鉛筆的集合”。

師：對的，雖然長短、顏色不一樣，但它們都是鉛筆，這是它們的共同特征（在“共同特征”后板書“鉛筆”），就可以叫作“鉛筆的集合”。請看（課件出示圖6），現在你看到新的集合了嗎？

生：這是“鉛筆橡皮的集合”。

師：對的，當然可以這樣說。不過現在有兩種學習用品，我們也可以分開來說，一個是“鉛筆的集合”，還有一個是——

生（齊）：橡皮的集合。

教師在“共同特征”后板書“橡皮”。

師：為了看起來更清楚，我們也可以這樣表示這兩個集合（如圖7）。

師：現在請你猜一猜，這個集合里藏著什么圖形呢（出示圖8）？

生：長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形……

師：他猜對了嗎？為什么？

生：因為這個集合是平面圖形的集合，他說的都是平面圖形，所以是對的。

師：講得真棒（在“共同特征”后板書“平面圖形”）。同學們，你們看誰來了？（課件出示圓柱）它能放到這個集合里嗎？

生：不能放到這個集合中，因為圓柱是立體圖形。

生：這個集合的共同特征是“平面圖形”，圓柱不是平面圖形，不能放進來。

結合學生的意思，再次強調“共同特征”。

師：學到這里，你們認為數學課的集合與體育老師叫我們集合一樣嗎？同桌討論一下。

生：我覺得不一樣。體育課的集合是排隊，數學課的集合像分類。

師：講得太好了！體育課的集合是動作，是大家聚到一起排隊。數學課的集合是找共同特征，把它們看成一個整體，像分類。

以上化解疑問教學，主要針對“數學課的集合和體育老師叫我們集合一樣嗎”這個疑問。考慮到學生的認知水平，以“共同特征”和具體的實例來描述集合思想。接下來就是教材編排的交集的教學，不再贅述。

（浙江省海鹽縣三毛小學 ? 314300）