“運算定律總復習”中的化解疑問教學

吳培鋼 顧佳旭

【摘 ? 要】在“運算定律總復習”教學中發現，學生對于教材編排中為何只復習加法和乘法的五條運算定律，而不復習減法和除法的相關運算性質心存疑問。要解決這個疑問，首先要幫助學生對“運算定律”和“運算性質”有深刻的理解，找到兩者之間的內在聯系，然后借助乘法運算定律和除法運算性質的內在聯系，讓學生通過探究明白其中的道理，進而聯想加法運算定律和減法運算性質的聯系，實現疑問的化解。

【關鍵詞】運算定律;運算性質;總復習;學生疑問;化解疑問

運算定律是小學計算教學中的一個重要內容，是簡便計算的依據。“運算定律總復習”時要對小學階段學過的運算定律進行系統的回顧與整理，同時就一些典型的簡便計算進行復習。各版本教材在編排“運算定律總復習”這一內容時，都是只復習加法和乘法中五條運算定律的名稱和字母公式，不涉及減法和除法，而在編排“簡便計算總復習”時，卻涵蓋了加、減、乘、除四種運算。面對這樣的運算定律總復習，學生會有什么疑問？帶著這樣的思考，課題組開展了實踐研究。

一、問卷設計與意圖解讀

本次研究問卷設計如下。

1.下面這張表格是用來復習小學階段學過的運算定律的。請你把表格填完整。

[名稱 舉例 用字母表示 加法交換律 15+28=28+15 a+b=b+a 加法結合律 乘法交換律 乘法結合律 乘法分配律 ]

2.請仔細觀察上表，認真地想一想，你有沒有什么疑問？如果有，請大膽地寫下來！

題1將人教版教材中關于運算定律總復習的表格直接呈現給學生，并明確提示這是用來復習小學階段學過的運算定律的。本題的測試目的是喚起學生對于運算定律的已有認識，同時用題目告訴學生小學階段學過的運算定律都在表格中了。題2進一步引導學生觀察、思考表格中的運算定律，檢測學生是否對運算定律中沒有出現減法和除法存在疑問。

二、測試分析與疑問確定

（一）測試分析

測試在2所城鎮小學和2所農村小學開展，每所學校各選擇1個班，共計155人。通過對學生寫下的疑問進行分類歸并發現，學生對上述這樣的運算定律總復習有10多種不同的疑問，如“運算定律一共有多少種”“運算定律有什么共同點”等等。并確實發現，學生對于運算定律中沒有減法和除法存在疑問，且是所有疑問中最突出的，相關測試數據如表1、表2所示。

（二）疑問確定

結合前測數據與現場對部分學生的訪談可知，學生對于運算定律中沒有出現減法和除法的疑問，是基于自己所學與現在的復習進行對比之后產生的，是深刻思考的結果。故可將此確定為學生的疑問。

三、疑問分析與“化疑”實施

（一）疑問分析

1.教學價值分析

小學階段一共教學了加法交換律、加法結合律、乘法交換律、乘法結合律和乘法分配律五條運算定律，這五條運算定律被譽為“數學大廈的基石”。除此之外，在小學的簡便計算過程中，還經常用到諸如a-b-c = a-（b+c）和a÷b÷c= a÷（b×c）這樣的運算規律。教學中為了方便理解，很多教師給出減法性質和除法性質的名稱。不過，也有教師對此有意見，因為教材上是沒有這樣的名稱的，不知道這樣可不可以。

為了弄清楚這個問題，課題組查閱了《數學辭海》，發現這樣的名稱是可以的。如《數學辭海》中有一個詞條是“除法的性質”，其中的第一種便是“一個數除以兩個數的積，等于這個數依次除以積的兩個數”，這不就是a÷b÷c= a÷（b×c）的逆運用嗎？即a÷（b×c）=a÷b÷c。另外，人教版《教師教學用書》四年級下冊在“運算定律”單元的解讀中也有這樣的表述，“研究數的運算，在給出運算的定義之后，最主要的基礎工作就是研究該運算的性質”（P44），“‘做一做第1題是對‘連續減去兩個數，可以減去這兩個數的和的性質的形式認知”（P51）。

確認了“減法性質”和“除法性質”這樣的名稱是可以的，是不是就能解決學生的疑問呢？還不行，因為這又會引出一個新的問題：為什么加法和乘法中的叫“運算定律”，而減法和除法中的卻叫“運算性質”？只有解決了這個問題，才能深度解決學生的疑問。那么，這到底是為什么呢？

以除法為例，首先，它的性質表現為多種形式，除了a÷（b×c）=a÷b÷c，還有a÷（b÷c）=a÷b×c、a÷b÷c=a÷c÷b等。因此，所謂的除法性質，實則為除法運算中一些恒等變形現象的總稱，不像加法和乘法的運算定律那么唯一（在運算的各種性質中，最基本的幾條性質，通常稱為“運算定律”——人教版《教師教學用書》P44）;其次，仔細觀察這些除法性質不難發現，其中涉及的運算都不是純粹的除法，還有乘法，不像加法和乘法中的運算定律那樣單一、清晰（乘法分配律完整的講法是乘法對加法的分配律）;最后，除法性質中的一些規律，在小學的實際教學中常常會有一些貼切的“土名稱”，如a×b÷c=a÷c×b被稱為“帶符號搬家”，這個名稱與“交換律”有點雷同。仔細分析就會發現，這確實可理解為是同一種情況，因為除法可以轉化成乘法，如a×b÷c=a÷c×b，如果用乘法表示即a×b×[1/c]=a×[1/c]×b，可見“帶符號搬家”的本質就是“交換律”的運用。這就是說，除法中的性質可以用乘法的運算定律來解釋，甚至可以理解為乘法運算定律的另一種表現形式而已（初中起，小學階段的除法式子都可以轉化成分數形式）。既然這樣，就不需要再對除法中的某一個運算規律獨立命名了，這也體現了數學追求的簡潔性。除法如此，減法亦如此（初中起學習正負數運算之后，減法都可以轉換成加法）。

因此，教材不給出“減法性質”和“除法性質”這樣的名稱，“運算定律總復習”時只聚焦加法和乘法，背后是有其數學道理的。

由此可見，如果引導學生理解了上述道理，就可以加深他們對運算定律的認識。這一點，在學生之前的學習中是不涉及的，在學生后續的學習中也很難再被提及。因此在六年級“運算定律總復習”時化解“為什么運算定律中沒有減法和除法”這個疑問具有重要的教學價值。

2.可行性分析

“為什么運算定律中沒有減法和除法”這個疑問能否在六年級的課堂上化解呢？實踐發現，這有一定的難度，但總體是可行的。

有一定的難度，主要是因為小學生沒有學習過負數的運算，除法中的一些性質用乘法運算定律來解釋也有一定的麻煩，這給化解疑問帶來了困難。總體是可行的，主要是指學生已經具備了將除法轉化成乘法的能力，因此對于像“帶符號搬家”等相對簡單的除法性質，學生可以憑借自己的能力用乘法運算定律來解釋。

由此形成了化解這一疑問的設想：先暴露學生的疑問，然后聚焦“運算定律”和“運算性質”這兩個名稱，以簡單的除法性質為例，引導學生自己用乘法運算定律進行解釋，逐漸拓展到比較復雜的除法性質，進而聯想到減法也是這樣的道理，從而化解疑問。

（二）“化疑”實施

考慮到很多教師在教學中給出了減法性質和除法性質這樣的名稱，因此化解疑問過程中將此作為一種常態現象來看待，即在引導學生提出“為什么運算定律沒有減法和除法”之后，跟進呈現減法性質和除法性質，之后聚焦“運算定律”和“運算性質”，展開“為什么名稱不一樣”的討論。

師：今天我們一起來進行運算定律的總復習。回憶一下，我們學過哪些運算定律？

學生回答加法和乘法中的五條運算定律，教師依次板書，得出字母表達式。

師：這就是我們學過的五條運算定律。來，仔細看一下黑板，想一想，你心里有沒有什么疑問？

生：為什么沒有減法和除法？

師：真的，好奇怪！運算定律中竟然沒有減法和除法，你們心里有這樣的疑問嗎？

生（齊）：有！

師：這是什么原因呢？

生：因為減法中的叫減法性質，除法中的叫除法性質。

師：有減法性質和除法性質嗎？

學生回答有的，于是教師板書這兩個名稱，并得出a-b-c=a-（b+c）和a÷b÷c=a÷（b×c）這兩條性質，進一步引導得出a-b-c=a-c-b和a÷b÷c=a÷c÷b這兩條性質。

師：現在請大家再來仔細觀察黑板，想一想，此時你的心里有沒有新的疑問產生呢？

生：為什么加法和乘法是“律”，而減法和除法是“性質”？

師：他的疑問你們聽懂了沒有？

學生紛紛表示聽懂了。教師在“律”和“性質”下面畫線，并用紅色粉筆在旁邊寫了一個大大的“？”，以此引導所有學生直觀看到這個疑問，之后用掌聲表揚提出這個疑問的學生。

師：有誰知道為什么這些名稱會不一樣？

面對這個疑問，學生自然無人知曉。

師：老師告訴大家，你們的這個疑問可有意義了。因為在這個疑問里面，藏著運算定律和運算性質的重要聯系。接下來我們就一起來研究一下。我們來看a÷b÷c=a÷c÷b，這條除法性質和前面的某條運算定律有著密切的聯系，你們能不能看出來？

這個提醒一下子讓很多學生舉手了。

生：我覺得和乘法交換律有聯系，因為除法可以轉換成乘法。

師：是嗎？我們試試看。

師生交流，教師板書：a×[1/b]×[1/c]，a×[1/c]×[1/b]。

師：你們發現了什么？

生（齊）：就是乘法交換律。

師：真的就是乘法交換律（在兩個式子中間寫上“=”號）。將除法轉化成乘法，這條除法性質可以用乘法交換律來解釋（在黑板上用箭頭示意）。那么，除法的這條性質a÷b÷c=a÷（b×c），會不會也和前面的某條運算定律有聯系呢？

學生議論紛紛。教師組織學生先獨立思考，再同桌交流，并提議可以把自己的想法像黑板上這樣寫一寫。待學生討論得差不多了，組織反饋。

生：a×[1/b]×[1/c]= a×（[1/b]×[1/c]）。

師：老師幫你寫下來。你覺得和哪條運算定律有聯系？

生：和乘法結合律有聯系。

師：這也就是說，你們現在發現，這條除法性質是可以用乘法結合律來解釋的，是嗎？老師現在有個問題，前面這樣轉換我看得懂，但后面a÷（b×c）轉換成a×（[1/b]×[1/c]）我有點看不懂了。

教師話音剛落，一些學生馬上舉手了。

生：把（b×c）看成一個整體，那么a÷（b×c）= a×1/（b×c）。把括號里的算出來，a×（[1/b]×[1/c]）= a×1/（b×c），是一樣的。

教師結合學生的說法，在黑板上跟進板書，和全班學生一起再次理解。

師：如此看來，這條除法性質，確實可以用乘法結合律來解釋（在黑板上用箭頭示意）。

師：除法性質我們用乘法的運算定律解釋了，那么減法性質怎么解釋呢？

學生說可以用加法的運算定律來解釋。

師：你們的猜想完全正確。等大家到了初中，學習了正數和負數的運算之后就會發現，減法性質就可以用加法的運算定律來解釋。既然這樣，這些運算性質就不用再單獨給運算定律的名稱了，而是統稱為減法性質和除法性質。

……

至此，本課化解疑問的教學完成。后續，可讓學生根據所學，列舉出一些不同的減法性質和除法性質的題目，進一步感受運算性質的多樣性和運算定律的唯一性、基礎性。

（浙江省海鹽縣天寧小學 ? 314300）