回歸三維世界 整體建構線與線的關系

張建明

【摘 ? 要】現實世界是一個三維立體的世界，從三維世界開始認識線與線之間的關系更符合學生的認知。因此，可以從整體建構的角度重構“相交”與“平行”的教學過程，從長方體上任意畫的兩條直線所形成的多種關系入手，通過不斷分類，在討論分類標準的過程中逐步感受兩條直線之間“相交”“平行”“既不相交也不平行”三種位置關系，從而進行整體建構。

【關鍵詞】相交;平行;方向

一、教學前的思考

從某種角度看，教師的教學就是在所要教授的知識（教材為知識的載體）與教學的對象（學生）之間構建橋梁。因此，教學前對教材與學生進行分析可以幫助教師更好地設計教學過程。

（一）教材的編寫

教材是教師教學的重要依據。對多個版本教材相關內容進行比較，可以更精準地看出不同教材在編寫上的不同特點。

1.各版本教材中“平行”“相交”“垂直”概念的編排順序比較

各版本教材關于“平行”“相交”“垂直”系列概念的編排基本分為兩類：以人教版教材為代表的一類是先學“平行”與“相交”，后學“垂直”;以北師大版教材為代表的一類是先學“相交”與“垂直”，后學“互相平行”。

人教版教材將“平行”概念置于“垂直”概念之前教學，對于“平行”的認定是基于視覺直觀，而不是通過“平行線之間的距離處處相等”來嚴格界定和驗證的，因此，在“畫平行線”環節，教材的方法是借助方格圖來畫平行線。

北師大版教材將“相交”與“垂直”置于“平行”概念之前教學，這樣做的好處是可以借助測量平行線間垂線段處處相等來明確判定平行線，并脫離方格圖直接用兩塊三角板來畫一組平行線。

2.“平行線”概念引入的方式比較

各版本教材對“平行線”概念的引入主要有3種方式：一是從生活中常見的平行現象中剝離出抽象的平行線，完成從生活化到數學化的轉變，學生由于有生活經驗的積累，也易于理解和把握，如蘇教版教材等。二是從生活中的平移現象，得出平行現象，從而抽象出平行線，如北師大版教材。三是讓學生在紙上任意畫并觀察兩條直線的位置關系，引出相交與平行的概念，如人教版教材等。

（二）學生的困難

學生是學習的主體，對學生的深入了解是把握教學起點的關鍵。通過小規模的對部分教師及學生進行測試訪談，發現學生在相關學習中存在以下問題。

1.對“同一平面內”的理解浮于淺表

對“同一個平面內”的理解是本節課的難點，需要學生具有一定的空間想象能力。“平行線”概念引入的3種不同方式，都是建立在“同一個平面內”條件下，一般先由平面內的兩條直線不相交初步得出平行的概念，再通過學具或借助信息技術手段的直觀演示，讓學生體會到永不相交的兩條直線如果不在同一平面也不一定會平行，從而產生認知沖突，通過引導，進而完善“這兩條直線必須在同一個平面內”這一前提條件，最后得出完整的平行概念。綜觀整個教學過程，由于前半部分一直在二維的平面內討論兩線間的關系，為了完善概念，教師常常會主動提供一個三維的素材，讓學生來體會“異面中的 2 條直線”（如圖1）。但從二維一下穿越到三維，對學生的空間想象能力要求較高，更重要的是學生體會不到“為什么要這樣”，所以學生對異面直線的體會并不深刻，缺乏整體建構性。

2.對“相交、平行、垂直”之間邏輯關系的認知混沌

從整體來看，兩線之間的位置關系大致有如下幾種（如表1）。

在同一平面內，兩條直線之間的位置關系有3種情況，相交、平行與重合，但考慮到小學階段的實際學情，主要討論的是前兩種情況。在同一平面內相交與平行是并列的關系，垂直作為相交的下位概念（不涉及異面垂直），屬于相交的一種特殊情況。

一般的教學中，學生往往要在一課時內學習“相交、平行、垂直”3個概念，并且教師常對“平行”和“垂直”的教學著力更多。這導致相對弱化了“相交”的地位，學生常常混淆三者之間的邏輯關系，將“垂直”與“相交、平行”視為并列的關系。

（三）解決問題的思路

學生生活在現實的三維世界中，從三維世界中引入“相交”“平行”“不相交也不平行”3種兩條直線之間的位置關系更符合學生的認知。但這也會帶來相應的麻煩，如要讓教學更加順利地進行，還需要解決以下問題。

1.空間中兩線關系相對更加復雜，如何幫助學生更好地進行梳理歸類

這個問題其實可以簡化為如何判斷兩線相交、兩線平行的問題。相交的本質屬性是“兩條直線有且只有一個交點”，結合四年級學生的理解能力，教學中可以簡化為“有交點”，并將其作為判定相交本質屬性的依據。張奠宙教授曾指出：“平行線教學要和方向概念聯系起來，用直線的方向相同來定義直線的平行。”因此可以將“同方向”作為判定平行的標準。隨之，若空間中的兩條直線既沒有交點，方向又不同，就屬于“不相交也不平行”的位置關系。

2.“空間”是一個太寬泛的概念，如何讓學生在空間中尋找兩條直線之間的位置關系

在三維空間中研究兩線位置關系，可以簡化為在“體”上進行研究。因此可以提供給學生一個長方體教具，讓學生在長方體的表面任意畫兩條直線，進而觀察它們之間的關系，通過尋找異同進行歸類，逐步完善對兩線之間關系的認知，從而解決以上問題。

3.相交、平行、不相交也不平行是同一層級的概念，“垂直”（不包括異面垂直）是兩線相交時的一種特殊情況，垂直的概念如何處理

學習是一個長久的過程，在兩線相交的情況下，還有一種特殊情況是垂直，學習畫一條已知直線的垂線，測量垂線段的長度等內容可以挪到下一課時進行。這樣更有利于學生有邏輯地理解線與線之間的關系。

二、課堂教學實踐

基于以上認識與分析，設計了以下教學過程。

（一）畫一畫

教師為每個學生準備一個長方體教具。上課伊始呈現教具并提出要求：請大家在這個長方體上用直尺和水筆任意畫兩條直線。

[教學意圖：借助長方體這個三維工具，讓學生在面上任意地畫兩條直線，肯定會出現同面、異面的直線;出現相交、待相交、平行、既不相交也不平行等各種兩線關系，這樣一來可以為后續分類提供豐富的素材，二來可以在一個三維的框架下整體建構兩線關系。]

（二）分一分

1.自主分類

教師將 7 種典型的畫法編號并實時傳于大屏幕上，如圖2。

① ? ? ? ② ? ? ?③ ? ? ? ?④ ? ? ? ? ⑤ ? ? ? ? ?⑥ ? ? ? ?⑦

師：給它們分分類，你會怎么分？我們請一位同學上來分一分。

生：把兩條直線畫在同一個面上的（①②⑤⑥）分為一類，畫在不同面上的（③④⑦）分為一類。

生：我是這樣分的，把交叉在一起的（②③）分為一類，不交叉在一起的（①④⑤⑥⑦）分為一類。

生：我覺得⑤這兩條直線延長后也會交叉在一起，也應該分在交叉的那一類。

生：我覺得③和④⑦不一樣，應該分為一類。

師：聽了幾位同學的意見，老師發現大家對其中4種畫法有不同的意見，我們先來研究大家沒有意見的這3種（①②⑥）。

[教學意圖：學生分類的思考路徑基本可概括為兩種，第一種是按兩條直線是否畫在同一個平面上來分，第二種是按兩條直線是否相交（學生稱交叉）來分，但是這兩種分類的路徑，最終都會指向相交、平行、既不相交也不平行3類，所以分類的切入點不同，但出口端相同。教師在組織反饋時，由于時間因素，不可能將兩種分類法都展開討論，因此選擇了后一種（是否交叉）來組織教學。]

2.認識相交

（1）理解“有交點”

師：先來看②號圖形，你們說這兩條直線是交叉在一起的，哪里交叉了呢？

生：一條直線這樣，另一條這樣（用手比畫），就交叉了。

師：你的意思是這兩條直線的什么不一樣？

生：方向。

師：從哪個地方可以看出來因為它們的方向不一樣就交叉了呢？

生：有個點。

師：你能上來指一指嗎？（學生上臺指交點）

師：同學們剛剛說的交叉在一起，在數學上我們說這兩條直線的位置關系就是“相交”，這個交叉的點就叫“交點”，只要這兩條直線有相交關系，就會“有交點”。

[教學意圖：從沒有爭議的相交圖入手，讓學生指一指交叉點，指向相交的本質屬性“有交點”，隨即滲透相交的兩條直線“方向不一樣”，為后面學習平行的本質屬性“方向一致”做好蘊伏。]

（2）應用“有交點”

師：現在來看③號圖形，這兩條直線相交嗎？

生：相交。

師：交點在哪里？（學生上臺指交點）

師：看來這也屬于相交這一類。再來看⑤號圖形，剛剛有同學把這幅作品也分到相交這一類。這兩條直線有交點嗎？

生：有交點，只要把這兩條直線延長，就會有交點。

師：把這兩條直線延長，請你想象一下大約會在什么位置相交。

（生想象之后，教師拿出直尺動手操作，實踐證明這兩條直線也會相交）

師（小結）：②③⑤號圖形中的兩條直線都相交，相交后都有交點。

[教學意圖：有了圖1中關于相交本質屬性“有交點”的鋪墊，就可以用這一屬性來判斷異面相交（本質上是同面）和延長后相交這兩種情況，完善對相交概念的認知。]

3.認識平行

（1）理解“同方向”

師：現在我們來看①號、⑥號圖形，剛才同學們都同意這2幅圖中的兩條直線是不相交的，你們是怎么想的？

生：這些直線的方向是一致的，不管怎么延長都不會相交。

師：那我們來延長一下。（用直尺在①號圖形上板演）都向右延長呢？再向左延長呢？

生：都不會相交。

師：那向左向右穿過這個屏幕無限延長下去呢？

生：還是永遠不會相交，因為這兩條直線的方向是一致的，不會相交在一起。

師（小結）：是啊，像這樣方向一致的兩條直線永遠不相交，我們就說這兩條直線互相平行。它們的位置關系就是“平行”。

師：那⑥號圖形中這兩條直線互相平行嗎？說說你的想法。

生：還是互相平行的，它們和前面兩條直線一樣，只是朝著上下方向延長，延長后也不會相交。

師：是的，這兩條直線向上下這兩個方向無限延長，它們都是不相交的，是互相平行的。

[教學意圖：由于還沒有學過垂直，無法用距離處處相等來判定，因此對平行的解釋僅基于視覺直觀，即兩條直線向兩端無限延長之后也不會相交（利用計算機技術和空間想象），落腳點是在“方向一致”上，通過上下方向、左右方向、旋轉后斜向，初步體會平行的兩條直線都是向同一個方向無限延長。]

（2）應用“同方向”

師：再來看④號圖形，這兩條直線互相平行嗎？你是怎么想的？

生：只要方向一致的兩條直線就互相平行，那么這兩條直線的方向是一致的，所以我認為這兩條直線是互相平行的。

生：可是這2條直線不在一個面上，也可以平行嗎？

生：可以的，把長方體拆開來就可以了。

師：有不拆的想法嗎？

（生搖頭，教師播放用刀沿著兩條直線進行切割的動畫，如圖3）

生：在一個面上了，這個面是斜切出來的。

師：斜著的是一個平面嗎？

生：是的，只要是平平的就是平面了，斜著的也是的。

師：是呀，像這樣方向一致的兩條直線我們就可以切出一個斜斜的平面，這兩條直線就能放在同一平面上了。

[教學意圖：把兩條分別在兩個面上的直線放在同一個平面上，是要具有很強的空間想象力的，學生的直覺思維是把這個長方體的面給拆了拉平。對于需要斜切來找平面的方法，學生普遍感到困難，可以借助計算機輔助，動態演示切的過程，學生會恍然大悟，難點順勢而解。]

4.體會不相交也不平行

師：再來看⑦號圖形，這兩條直線平行嗎？相交嗎？

生：不平行。

生：相交。

生：它們不會有交點，所以肯定不是相交。

生：把這條直線延長就會在這里相交了。

師：老師這兒有兩根小棒，咱們就把它們當成這兩條直線，請你上來擺一擺。

（學生上臺硬生生把小棒折彎，然后說相交了）

生：直線怎么可以折彎呢？折彎就不是直線了。

生：我知道了，它們不相交，因為找不到交點。但是它們也不平行啊！

生：我發現這兩條直線的方向是不一致的，而且也不在一個面上。

師：那這兩條直線到底是什么關系呢？

生：不是相交也不是平行。

師：是呀，像這樣的兩條直線不會相交，方向也不同，也不在同一平面上，所以它們既不是相交也不是平行。

師：今天老師和大家研究的是兩條直線之間的關系：相交與平行。像這樣既不相交也不平行的我們以后再研究。

[教學意圖：⑦號圖形屬于異面中既不平行也不相交的情況，它的存在對于完善相交和平行的概念有很大作用。由于拍成的圖片是二維的，學生在辨析中存在困難，通過教具的直觀演示（用延長的兩個小紙筒代替直線）來進行突破，效果較好。此環節還發生了“一個學生將紙筒折斷后讓線強行相交”的小插曲，也很好地反證了“直線必須是直的”的特性。最后點明本課主旨，研究的是兩條直線之間的關系：相交與平行，平行的關鍵是直線的方向一致。]

板書：

以上教學過程，回歸到三維的真實世界中，引導學生通過“有交點”和“同方向”理解相交于平行，整體建構了兩條直線之間的位置關系，教學中取得了較好的教學效果。

參考文獻：

[1]張奠宙.小學數學教材要厘清邏輯順序：談平行與平移[J].教學月刊·小學版（數學），2015（1/2）.

（浙江省杭州市臨平區教育發展研究學院311100）