基本不等式求最值的誤區警示

■石漢榮 劉大鳴(特級教師)

本文總結了利用基本不等式“a,b∈R+,(當且僅當a=b時等號成立)”求最值的幾種誤區,并對產生的思維誤區進行了剖析和警示,希望對同學們的學習有所幫助。

誤區1:利用基本不等式求最值忽視“和為定值合理配湊積”的形式

例1若a,b∈R,且2a+b=3,則ab的最大值是_____。

警示:基本不等式必須滿足“一正、二定、三相等”的條件。解答本題的關鍵是由和為定值,合理配湊出積的最大值。

誤區2:利用基本不等式求最值忽視“積為定值合理配湊和”的形式

警示:解答本題的關鍵是由積為定值合理配湊出和的最小值。

誤區3:利用基本不等式求最值忽視取等號的條件

誤區4:利用基本不等式求最值忽視隱含條件

例4已知實數a,b滿足ab=1,則a+b的取值范圍是____。

錯解:由a+b≥2=2,可得a+b的取值范圍是[2,+∞)。

剖析:由題設知a≠0,b≠0。上述解法求出的是當a>0,b>0時的最小值,忽視了當a<0,b<0時的最大值。事實上,當a>0,b>0時,a+b≥2=2;當a<0,b<0時,(-a)+(-b)≥2=2,即a+b≤-2。故a+b的取值范圍是(-∞,-2]∪[2,+∞)。

警示:利用基本不等式求最值時,要注意公式成立的條件。

誤區5:利用基本不等式求最值忽視“整體代入”的妙用

誤區6:忽視基本不等式的靈活應用

警示:在基本不等式中,要分清平方平均數、算術平均數、幾何平均數和調和平均數的大小關系。