基于小波分析的手足口病時間序列預測*

余功超 馮慧芬 封 爽 趙 敬 徐 晶

【提 要】 目的 構建基于小波分析的自回歸移動平均(ARIMA)模型預測手足口病流行，提高預測精度。方法 使用2010-2015年鄭州市疾控中心手足口病監測數據，構建基于小波分析的ARIMA模型進行預測，用2016年數據進行驗證，并與單純的ARIMA模型進行比較。結果 構建的基于小波分解一層的ARIMA模型為ARIMA(0，1，3)(2，1，0)52，矯正后的AIC=2747.82，殘差序列的ACF、PACF圖示殘差序列無自相關，Box-Ljung test統計量為0.9177，P=0.34，認為該殘差為白噪聲序列，模型擬合良好。預測2016年發病趨勢與實際較為相符，均方根誤差RMSE(root mean square error)、平均絕對誤差MAE(mean absolute error)、平均絕對百分比誤差MAPE(mean absolute percentage error )，分別為49.42、26.45、15.75(訓練集擬合)和275.84、219.90、72.95(驗證集預測)，除了驗證集MAPE外，均小于單一的ARIMA模型。結論 基于小波分析的ARIMA模型可用于手足口病時間序列預測，擬合和預測性能較單一的ARIMA模型好。

手足口病是一種由多種腸道病毒引起的傳染病[1]，好發于5歲以下兒童，是兒童主要感染性疾病之一。EV71和CA16是引起手足口病主要的病原，2015年EV71疫苗問世，有報道稱近年來EV71和CA16感染病例數有所下降，但其他腸道病毒感染病例數上升[2-3]，其發病率仍居高不下[4-5]，給社會造成了很大的醫療和經濟負擔。手足口病無特殊治療方法，主要是對癥治療和防治并發癥[6]。因此，明晰手足口病流行周期及模式，更精準地預測其流行，對衛生行政部門制定預防控制策略、降低其發病率、減輕疾病負擔具有重要意義。

自回歸移動平均模型(ARIMA模型)是最常用的手足口病時間序列預測模型，適用于穩定性時間序列，但現實世界的時間序列往往是非穩定性的[7]，特別是流行病學時間序列[8]。雖然可通過各種變換和差分將之變成穩定性時間序列，進而達到應用ARIMA模型的條件，但這種單一函數變換能力有限，需要技巧，仍然可能損失了一些有用的非線性信息[9]。小波分析是一種有效的適用于非穩定性時間序列的時頻分析方法[8]。一些學者將小波分析和ARIMA模型結合起來進行預測，研究結果表明結合了小波分析的ARIMA模型預測精度要比單一的ARIMA模型高。這種方法已經應用到建筑物沉降預報[10]，也有應用到傳染病時間序列預測[9，11]。

基于此，本研究使用鄭州市疾控中心監測數據，構建基于小波分析的ARIMA模型進行預測，以期提高手足口病時間序列預測精度，為手足口病防控提供參考。

資料與方法

1.數據來源

2010年至2016年鄭州市手足口病發病例數資料來自鄭州市疾控中心。將數據分為兩部分，2010年至2015年數據作為訓練集，用來建模；2016年數據作為驗證集，用來檢驗模型預測性能。

2.ARIMA模型構建

自回歸移動平均模型如果包含季節性則記為SARIMA(p，d，q)(P，D，Q)n，其中p，q為非季節性模型的自回歸及移動平均參數，d為普通差分的階數；P，Q為季節性模型的自回歸及移動平均參數，D為季節差分的階數，n為周期長度。建模步驟：(1)畫出時間序列圖，觀察趨勢變化，是否為平穩性序列，是否有季節性周期性趨勢；(2)對非平穩性時間序列進行普通差分和季節性差分，將其變為穩定性時間序列，根據自相關系數、偏自相關系數及augmented Dickey-Fuller test結果(檢驗水準α=0.05)判斷差分后的時間序列是否為穩定性序列；(3)主要根據自相關系數和偏自相關系數，結合經驗不斷嘗試確定模型的自回歸、移動平均參數。本研究使用R軟件“forecast”包中的自動建模功能(“auto.arima”)，可自動嘗試不同的自回歸、移動平均參數值來擬合模型，并選擇矯正的AIC(akaike′ information criterion)值最小的模型作為最優模型(更多自動建模規則詳見Rob J Hyndman和George Athanasopoulos所著的《Forecasting：Principles and Practice》在線圖書，http：//otexts.com/fpp2/)；(4)作出模型殘差的自相關系數ACF圖、偏自相關系數PACF圖，判斷殘差是否具有自相關。使用Box-Ljung test 檢驗殘差是否為白噪聲序列，檢驗水準α=0.05。若擬合效果好，模型提取信息充分，則殘差應為白噪聲序列，無自相關，即該模型可用于預測。建模過程在R 3.6.3軟件中完成。

3.基于小波分析的ARIMA模型構建

本研究使用離散小波分解，選擇的小波為Daubechies小波。設原始序列為X，利用Daubechies小波經j層離散小波分解將原始序列分解為近似成分(approximation component)和細節成分(detail components)，使用小波重構得到近似成分序列cA和細節成分序列cDj。則有

X=cA+cD1+cD2+…+cDj

其中近似成分序列是低頻的，與原始序列的輪廓較為一致，但比之平滑，細節成分序列是高頻的，通常是含有噪聲的細小的波動。我們分別用小波對原始序列進行一層和兩層分解，使用MATLAB 軟件(Version R2014a)完成。用重構的近似成分序列參照SARIMA模型構建時最優模型參數來構建SARIMA模型。

4.模型評價標準

采用均方根誤差RMSE(root mean square error)、平均絕對誤差MAE(mean absolute error)、平均絕對百分比誤差MAPE(mean absolute percentage error )來評估模型擬合及預測性能。指標的計算公式如下：

結 果

1.手足口病周發病例數時間序列圖

從圖1中可以看出手足口病周發病例數時間序列不平穩，呈現比較明顯的季節性周期性特征，周期為1年(52周)，每年5月至7月達到高峰，部分年份還有冬季的小高峰。

圖1 2010-2016年鄭州市手足口病周發病例數的時間序列圖

2.SARIMA模型

對2010-2015年鄭州市手足口病發病例數時間序列進行一階季節性差分(周期長度為52周)和一階差分后，其ACF圖和PACF圖示，序列已變為平穩性序列(圖2)。ADF單位根檢驗結果：Dickey-Fuller=-6.9746，P=0.01，認為差分后的序列為穩定性序列。使用自動建模功能，我們得到最優模型為SARIMA(0，1，3)(2，1，0)52，矯正AIC值(AICc)=2967.27。殘差序列的ACF、PACF圖示殘差無自相關(圖3)，Box-Ljung 檢驗統計量為0.0025，P=0.96，認為該殘差為白噪聲序列，該模型擬合良好，可以用于預測。

圖2 一階季節性差分和普通差分后序列的ACF、PACF圖

圖3 SARIMA模型殘差序列ACF、PACF圖

3.基于小波分析的SARIMA模型

用小波分析對2010-2015年鄭州市手足口病發病例數時間序列進行一層分解后，構建的SARIMA模型為SARIMA(0，1，3)(2，1，0)52，AICc=2747.82，殘差序列的ACF、PACF圖示殘差序列無自相關(圖4)，Box-Ljung檢驗統計量為0.9177，P=0.34，認為該殘差序列為白噪聲序列。用小波分析對原序列進行兩層分解后，構建的SARIMA模型為SARIMA(0，1，3)(2，1，0)52，AICc=2726.37，殘差序列的ACF、PACF圖示殘差序列無自相關(圖5)，Box-Ljung test 統計量為3.5971，P=0.06，認為該殘差序列為白噪聲序列。兩模型均擬合良好，可以用于預測。

圖4 基于小波的SARIMA模型(分解一層)殘差序列ACF、PACF圖

圖5 基于小波的SARIMA模型(分解兩層)殘差序列ACF、PACF圖

6.模型比較

SARIMA模型、基于小波分解一層或兩層的SARIMA模型的擬合和預測圖見圖6，各模型擬合和預測與實際都較為相符。三種模型的擬合與預測性能指標見表1，無論是擬合還是預測，基于小波分析的SARIMA模型(分解一層)的各項指標均小于小波分解兩層的模型和單一的SARIMA模型(除了驗證集預測的MAPE)，為最優模型。

圖6 三種模型擬合與預測圖

表1 三種模型的擬合與預測性能指標

討 論

本研究引入小波分析，構建基于小波分析的SARIMA模型，利用小波對原始序列進行分解，將可能包含噪聲的細節成分去除，只使用近似成分序列進行建模，發現這種基于小波的SARIMA模型的擬合和預測性能不錯，指標值總體上比單一的SARIMA模型降低，其性能較單一的SARIMA模型好。由于小波分解層數過多會損失可能有用的信息，所以本研究只進行了一層和兩層分解。結果表明，只分解一層效果較好，提示分解一層后產生的細節成分大多包含的是隨機噪聲項。

以往手足口病時間序列預測研究多采用SARIMA模型[12-13]，其簡單實用，是一種相對比較成熟的線性時間序列預測模型。但其擬合非穩定性時間序列的能力是有限的[14]。小波分析是一種研究非穩定性時間序列的強有力的工具[15]。小波分解可以將原始序列分解為高頻成分和低頻成分，不同成分進行不同處理[16]。通過這種方法，簡化時間序列，提高預測精度。本研究結果表明基于小波分析的SARIMA模型適合用于手足口病時間序列預測，可提高預測精度，有助于降低發病率、減輕疾病負擔。

雖然研究結果表明基于小波分析的SARIMA模型優于單一的SARIMA模型，但手足口病影響因素比較復雜，不同地區不同時間流行模式可能不同，是否這種結合了小波的SARIMA模型能夠穩定有效地提高手足口病預測精度尚待后續更多研究。此外，不同小波性質不同，我們僅僅選取了Daubechies小波進行分解，未嘗試其他小波；細節成分中或有可能包含有用的信息成分，本研究僅僅將之舍棄不用，未嘗試其他處理方法，今后研究可對其他小波和細節成分處理方式進行更多的探索。