基于三次多項(xiàng)式的磁彈性傳感器非線性誤差修正

劉曉蒙，張懷鎖

(上海工業(yè)自動(dòng)化儀表研究院有限公司，上海 200233)

0 引言

鐵磁性物質(zhì)發(fā)生變形或在應(yīng)力的作用下，其磁導(dǎo)率會(huì)發(fā)生變化。這是磁致伸縮的逆效應(yīng)[1]。利用此效應(yīng)制成的測(cè)力傳感器稱為磁彈性傳感器[2-4]。與電阻應(yīng)變式傳感器不同，磁彈性傳感器在受力時(shí)產(chǎn)生微小應(yīng)變。一般來(lái)說(shuō)，在額定載荷下，磁彈性傳感器內(nèi)部的應(yīng)力約為60 MPa，受力方向的變形量約為30 μm[5]。磁彈性傳感器承受額定負(fù)載時(shí)的應(yīng)力遠(yuǎn)小于其制造材料的屈服強(qiáng)度。因此，磁彈性傳感器具有較高的過(guò)載能力，非常適用于測(cè)量金屬板材的軋制力和橋梁支撐柱的壓力。

磁彈性傳感器測(cè)量的是力，輸出的是電壓或電流信號(hào)。理論上，傳感器輸出和輸入之間是線性關(guān)系。實(shí)際上，傳感器的輸入輸出特性都是非線性的，存在非線性誤差[6-7]。為使傳感器的輸出達(dá)到理想狀態(tài)，可以從軟件上進(jìn)行修正。本文將探討使用三次多項(xiàng)式修正數(shù)據(jù)的方法。

1 非線性誤差的定義

傳感器的非線性誤差(線性度)、重復(fù)性、回差(或稱遲滯、遲后)和靈敏度是衡量傳感器靜態(tài)特性的重要指標(biāo)。國(guó)標(biāo)GB/T 18459—2001《傳感器主要靜態(tài)性能指標(biāo)計(jì)算方法》中，對(duì)非線性誤差的定義為:正、反行程實(shí)際平均特性曲線相對(duì)于參比直線(理論直線)的最大偏差。參比直線可以用傳感器空載時(shí)輸出的零點(diǎn)值和額定負(fù)載的輸出值這2個(gè)端點(diǎn)連線擬合。非線性誤差δl的計(jì)算方法如下:

(1)

式中:ri為被試試驗(yàn)點(diǎn)上3次正行程實(shí)際輸出信號(hào)值的算術(shù)平均值;Ui為被試試驗(yàn)點(diǎn)上理論輸出信號(hào)值；UN為理論輸出信號(hào)量程。

非線性誤差由所有試驗(yàn)點(diǎn)中最大的δl確定，UN和Ui分別由式(2)、式(3)確定。

UN=UM-U0

(2)

(3)

式中：UM為載荷為上限時(shí)3次正行程實(shí)際輸出信號(hào)的算術(shù)平均值；U0為載荷為下限時(shí)3次正行程實(shí)際輸出信號(hào)的算術(shù)平均值；i為被試試驗(yàn)點(diǎn)序數(shù)；k為被試試驗(yàn)點(diǎn)總數(shù)。

2 非線性誤差的修正方法

2.1 三次多項(xiàng)式曲線擬合

對(duì)于磁彈性傳感器的非線性誤差，可以通過(guò)軟件進(jìn)行修正，使傳感器的輸出曲線逼近理想直線。常用的修正方法有神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)修正、自適應(yīng)補(bǔ)償和多項(xiàng)式曲線擬合修正[8-11]。曲線擬合修正的基本思想是設(shè)計(jì)一個(gè)以傳感器直接輸出為變量的多項(xiàng)式，使經(jīng)過(guò)多項(xiàng)式計(jì)算后的輸出數(shù)據(jù)逼近理想直線[12]。

修正非線性誤差的多項(xiàng)式可以表示為：

W(r)=a0+a1r+a2r2+...+anrn

(4)

式中：W(r)為修正后的數(shù)據(jù)；r為傳感器的輸出；n為階次，由于三次多項(xiàng)式修正的方法更實(shí)用[13]，此處n取3；a0～a3為4個(gè)系數(shù)。

2.2 三次多項(xiàng)式系數(shù)的計(jì)算方法

求解三次多項(xiàng)式，就是求解三次多項(xiàng)式系數(shù)。通過(guò)算法使多項(xiàng)式與傳感器理論值的均方誤差為最小值，就可以確定多項(xiàng)式的系數(shù)。由式(4)計(jì)算得到的W(ri)與理論值Ui之間必然存在誤差Δi。其方差為：

(5)

式中：i為被試試驗(yàn)點(diǎn)序數(shù)，i=1,2...k，k為被試試驗(yàn)點(diǎn)總數(shù)。

誤差Δi的均方誤差R可以表示為：

R(a0,a1,a2,a3)

(6)

為使均方誤差為最小值，對(duì)其四個(gè)變量求偏導(dǎo)，并使其等于0。

(7)

整理后得出方程組:

(8)

通過(guò)試驗(yàn)確定試驗(yàn)點(diǎn)的測(cè)量值和傳感器的輸出數(shù)值后，求解非齊次線性方程組(8)就可以得出a0～a3這4個(gè)系數(shù)。一般來(lái)說(shuō)，方程組(8)中，方程的個(gè)數(shù)和未知量的個(gè)數(shù)相等，并且系數(shù)行列式D不為零，因此方程組有唯一解，可以使用克萊姆法則求解[14-16]。

(9)

(10)

式中：Di為把D中第i列的各元素?fù)Q成常數(shù)項(xiàng)[V,X,Y,Z]T的行列式，i=1,2,3,4。

例如，D2為:

(11)

2.3 單片機(jī)求解三次多項(xiàng)式系數(shù)

磁彈性傳感器系統(tǒng)包括傳感器本體和與其配套的二次儀表。二次儀表主要包括勵(lì)磁電源和信號(hào)處理兩部分，一般運(yùn)用單片機(jī)處理，很容易實(shí)現(xiàn)非線性誤差校正。用單片機(jī)求解三次多項(xiàng)式4個(gè)系數(shù)的流程如圖1所示。

圖1 求解三次多項(xiàng)式4個(gè)系數(shù)的流程圖

3 試驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 原始數(shù)據(jù)分析

當(dāng)傳感器的回差和重復(fù)性誤差較小時(shí)，可以采用軟件修正的方法提高非線性誤差。為驗(yàn)證三次多項(xiàng)式修正傳感器非線性誤差的效果，使用上海工業(yè)自動(dòng)化儀表研究院生產(chǎn)的400 t磁彈性軋制力傳感器進(jìn)行驗(yàn)證。此類傳感器安裝在軋機(jī)支撐座上，直接承受軋制力。傳感器為圓盤形，外徑為280 mm，高度為74 mm。磁彈性傳感器和二次儀表如圖2所示。測(cè)試試驗(yàn)在福建省科學(xué)計(jì)量院進(jìn)行。測(cè)試設(shè)備是500 t的標(biāo)準(zhǔn)力試驗(yàn)機(jī)。

圖2 磁彈性傳感器和二次儀表

測(cè)試試驗(yàn)范圍為0～400 t，加載間隔為40 t。測(cè)試數(shù)據(jù)和非線性誤差如表1所示。表1中：L、ri、Ui、δl1、W(ri)和δl2分別代表加載力(t)、傳感器原始輸出電壓(mV)、傳感器理論輸出電壓(mV)、傳感器原始輸出的非線性誤差(%)、修正后的輸出電壓數(shù)據(jù)(mV)和修正后的非線性誤差(%)。理論輸出電壓由三次行程的算術(shù)平均值的端點(diǎn)連線擬合法計(jì)算得出。對(duì)比表1可以看出，傳感器原始輸出的非線性誤差為2.75%，誤差較大。

表1 測(cè)試數(shù)據(jù)和非線性誤差

3.2 修正數(shù)據(jù)

為提高傳感器的非線性誤差，按照第2節(jié)中的公式計(jì)算三次多項(xiàng)式的4個(gè)系數(shù):a0=-0.083 5;a1=0.839 4;a2=3.5×10-3;a3=-1.86×10-5。

再次對(duì)傳感器進(jìn)行試驗(yàn)，各個(gè)測(cè)試點(diǎn)加載的質(zhì)量與之前相同。傳感器的非線性誤差從2.75%減小到0.35%，大大降低了非線性誤差。傳感器原始輸出數(shù)據(jù)和修正后的數(shù)據(jù)對(duì)比如圖3所示。

圖3 傳感器原始輸出數(shù)據(jù)和修正后的數(shù)據(jù)對(duì)比

4 結(jié)論

非線性誤差是傳感器的關(guān)鍵指標(biāo)，直接影響產(chǎn)品的定級(jí)。對(duì)于重復(fù)性好和回差小的傳感器，可以用軟件修正其非線性誤差。三次多項(xiàng)式修正方法簡(jiǎn)單實(shí)用，使用單片機(jī)的儀表在現(xiàn)場(chǎng)即可修正非線性誤差。本文在磁彈性傳感器上驗(yàn)證了三次多項(xiàng)式曲線擬合修正的方法。對(duì)于電阻應(yīng)變式傳感器和其他線性儀表，此法同樣適用。