基于等效電路法復合變幅桿的優化設計

鞏建輝，喻剛強，姚 靜，嚴碧歌

(1.商洛職業技術學院，陜西 商洛 726000；2.陜西師范大學物理學與信息技術學院，陜西 西安 710062)

0 引言

變幅桿具有振幅放大作用，是超聲加工系統中的重要部件，隨著超聲系統應用的日益廣泛，對變幅桿的放大倍數及性能指標要求越來越高，單一變幅桿因為放大系數有限不能滿足實際生產的需要，所以從單一變幅桿發展到了復合變幅桿。為了獲得性能優良的變幅桿，廣大學者對新型變幅桿的設計和研究從未停止，趙洪博等[1]利用替代法設計了寬端接圓柱桿的懸鏈形復合變幅桿；靳濤等[2]將圓柱和圓錐桿進行組合，對圓錐復合變幅桿進行了研究；崔曉娟等[3]將指數桿和圓錐桿進行組合，對指數復合變幅桿進行了優化設計；孫濤等[4]設計了正弦圓柱形復合變幅桿，該變幅桿的放大倍數和形狀因數皆優于階梯形變幅桿。本文采用等效電路法設計了一種半波長復合變幅桿，即指數懸鏈線形復合變幅桿，得出了該變幅桿的頻率方程以及放大倍數，并對變幅桿進行了優化設計和有限元分析。

1 變幅桿的模型構建

該復合型變幅桿由指數桿Ⅰ和懸鏈線桿Ⅱ組合而成，如圖1所示。指數桿的長度為l1，大小端面的面積分別為S1和S，大小端面的半徑分別為R1和R。懸鏈線桿的長度為l2，大小端面的面積分別為S和S2，大小端面的半徑分別為R和R2。

圖1 指數懸鏈線形復合變幅桿模型

2 變幅桿的設計理論

2.1 等效電路法

變幅桿常用的設計方法有解析法、等效電路法、替代法、傳輸矩陣法、分段趨近法和表觀彈性法等[5]，其中等效電路法設計思路清晰、物理意義明確，故采用等效電路法對指數懸鏈線形復合變幅桿進行理論分析。所謂等效電路法就是對于任何一個單一形狀的變幅桿，通過力電類比都可以等效為一個四端網絡電路模型，如圖2所示[6]。圖2中，F1和F2是變幅桿兩端所受的力，相當于電路中的電壓；v1和v2為變幅桿兩端的振速，相當于電路中的電流；Z1、Z2和Z3為力阻抗，相當于電路中電阻抗。

圖2 等效四端網絡電路模型

2.2 復合變幅桿的等效電路

依據等效電路法理論，分別得出復合變幅桿左邊指數桿和右邊懸鏈線桿的等效四端網絡電路并連接在一起，可以得到復合變幅桿的等效電路如圖3所示。由于變幅桿振動速度連續，所以有v12=v21。

圖3 復合變幅桿等效電路模型

左邊指數桿等效電路參數為：

(1)

(2)

(3)

右邊懸鏈線桿等效電路參數為:

(4)

(5)

(6)

2.3 復合變幅桿的參數求解

當變幅桿兩端自由時，復合變幅桿等效電路圖3中F1=F2=0，輸入端AB和輸出端CD可視為短路，依據基爾霍夫回路電壓定律(KVL)可得以下表達式。

回路Ⅰ：

v11(Z11+Z13)-v12Z13=0

(7)

回路Ⅱ：

-v11Z13+v12(Z13+Z12+Z21+Z23)-

v22Z23=0

(8)

回路Ⅲ：

-v12Z23+v22(Z23+Z22)=0

(9)

將式(7)的v11和式(9)的v22代入式(8)可得到復合變幅桿的頻率方程為

(10)

由式(7)和式(9)消去v12,并代入相應的力阻抗可以得出復合變幅桿的放大系數為

(11)

3 復合變幅桿的優化設計

3.1 設計實例

該復合形變幅桿選用45號鋼，材料密度ρ=7.81×103kg/m3，楊氏模量E=20.92×1010N/m2，泊松比μ=0.28，聲速c=5 169 m/s,設計頻率f=20 kHz，指數桿Ⅰ左側端面的半徑R1=26 mm，指數桿Ⅰ和懸鏈線桿Ⅱ交界面的半徑R=16 mm，懸鏈線桿Ⅱ右側端面的半徑R2=8 mm，假設指數桿Ⅰ的長度為l1=78 mm,則可以利用MATLAB對頻率方程(10)求數值解，算出懸鏈線桿Ⅱ的長度l2=71 mm，再由式(11)求出復合形變幅桿的放大系數MP=3.7。

3.2 優化分析

為了尋找放大系數更大的變幅桿，將對變幅桿進行優化設計，優化的思路是通過改變指數桿的長度l1和交界面的半徑R，從而改變懸鏈線桿和復合變幅桿的諧振長度以及放大系數。

在保持指數桿Ⅰ左側端面半徑R1和懸鏈線桿Ⅱ右側端面半徑R2不變的情況下，復合變幅桿的諧振長度l1+l2和放大系數MP隨交界面的半徑R和指數桿的長度l1的變化關系分別如圖4和圖5所示。

圖4 復合變幅桿的長度變化規律

圖5 復合變幅桿的放大系數變化規律

從圖4可知，復合變幅桿的諧振長度l1+l2隨著指數桿的長度l1的增大而增大，懸鏈線桿的長度l2隨著指數桿的長度l1的增大而減小，在45 mm

從圖5可知，復合變幅桿的放大系數MP隨著指數桿長度l1的增大先增大后減小，在l1<68 mm的區域放大系數MP隨著交界面的半徑R的增大而增大，在放大系數MP達到最大值后對應的指數桿長度隨交界面的半徑R的增大而減小。當R=16 mm時放大系數MP達到最大值對應的指數桿長度為l1=53 mm，懸鏈線桿的長度為l2=84 mm，將參數代入式(11)可以求出優化后變幅桿的放大系數為4.2，比優化前提高了13.5%。

4 有限元分析

為了檢驗理論設計和優化分析的正確性，利用ANSYS軟件對復合形變幅桿進行有限元分析。除指數桿Ⅰ長度取l1=53 mm和懸鏈線桿Ⅱ的長度l2=84 mm外，復合形變幅桿的材料參數、幾何尺寸和諧振頻率均和3.1節設計實例相同。

4.1 模態分析

首先建立復合變幅桿的幾何模型，依據設計尺寸計算出關鍵點的坐標并生成關鍵點，將關鍵點依次連接成線再生成面，以復合變幅桿中心線為軸旋轉360°成體，選用SOLID95實體單元，采用掃掠網格劃分，共得到7 861個節點和1 584個單元。運用分塊蘭索法(block Lanczos)分析，模態提取頻率范圍為18～22 kHz，使用Solve求解并提取與設計頻率最接近的諧振模態如圖6所示。由圖6可以看出當諧振頻率f′=19 839 Hz時，變幅桿做縱向振動狀態良好，與理論設計基本吻合。

圖6 復合變幅桿的位移云圖

4.2 諧響應分析

在模態分析的基礎上，采用完全法(full)進行諧響應分析，這種方法是運用完整的系統矩陣來計算響應的。在圓柱桿的左端面加載幅值為1.1 μm的正弦變化的周期位移載荷，在變幅桿的輸出端即懸鏈線桿的小端面輸出的諧響應曲線如圖7所示，從響應曲線可以看出，在諧振頻率為19 839 Hz附近出現了振幅最大值。變幅桿的軸向位移曲線如圖8所示，從圖8可以看出變幅桿大小端面位移分別為1.1 μm和4.6 μm，可得到放大倍數約為4.1，將有限元分析結果與理論計算值進行比較，諧振頻率相差0.8 %，放大倍數相差2.3 %，有限元分析結果與理論設計基本一致，符合變幅桿設計要求。

圖7 諧響應曲線

圖8 變幅桿的軸向位移曲線

5 結束語

利用等效電路法設計了一種新型的指數懸鏈線形復合變幅桿，并對變幅桿的設計進行優化和有限元分析。結果表明：

a.復合變幅桿的諧振長度隨著指數桿長度l1的增大而增大，但懸鏈線桿的長度l2隨著指數桿長度的增大而減小；復合變幅桿的放大系數MP隨著指數桿長度l1的增大先增大后減小，在l1<68 mm的區域放大系數MP隨著交界面的半徑R的增大而增大，在放大系數MP達到最大值后對應的指數桿長度隨交界面的半徑R的增大而減小；通過優化設計使復合變幅桿的放大系數從3.7增加到4.2，提高了13.5 %，為找到性能更優的變幅桿提供了思路。

b.利用等效電路法設計復合形變幅桿思路清晰，物理意義明確，設計精度符合要求，采用該方法可以將其他任意形狀的變幅桿進行組合得出新型變幅桿，為變幅桿的優化設計提供了參考，有一定的實用價值。

c.有限元分析結果與理論設計基本一致，進一步證明了復合形變幅桿設計及優化的可靠性。