基于Hermite多項式函數鏈模糊神經網絡的PMLSM分數階反推控制

趙希梅， 王天鶴

(沈陽工業大學 電氣工程學院，遼寧 沈陽 110870)

0 引 言

與傳統的旋轉電機相比，永磁直線同步電動機(permanent magnet linear synchronous motor，PMLSM)將旋轉運動轉化為直線運動，省去了中間機械傳動變換裝置，有效降低了機械損耗、齒側間隙等缺點,在實際應用中提高了系統的定位精度[1-2]。但由于PMLSM固有的機械結構，使系統中存在的參數變化和外部擾動等不確定性因素直接作用在電機動子上，影響了伺服系統的控制性能[3]。因此，為滿足高精度位置控制的要求，必須在控制系統設計中有效地解決這些問題。

反推控制是一種強魯棒性的非線性控制方法，能夠利用Lyapunov穩定性理論對高階系統的每一階子系統設計虛擬控制律，從而實現全局調節和跟蹤[4]。但反推控制需要系統精確的動態模型，參數變化和外部擾動都可能導致系統不穩定。因此，為減小不確定性對系統造成的影響，可以將反推控制中加入自適應，使反推控制具有自適應規律，以獲得良好的自適應控制性能[5]。對于復雜的控制系統模型而言，傳統的反推控制采用的整數階運算不一定能使系統獲得最佳性能[6]。文獻[7]采用了分數階反推控制(fractional-order backstepping control，FOBC)方案，與整數階運算相比，分數階運算具有更高的自由度，能實現更好的性能。文獻[8]將FOBC用于非線性系統中，能夠減弱不確定性和外部擾動對系統的影響，無論初始狀態如何，系統都能借助FOBC在有限時間內收斂，達到更好的控制目的。雖然FOBC能夠減小不確定性對系統造成的影響，但由于其使用了單一的自適應律，自適應效果較差。因此，可采用神經網絡在線估計不確定性，由于將多個自適應律相結合，系統的收斂速度也隨之提高。函數鏈模糊神經網絡(functional link fuzzy neural network，FLFNN)將函數鏈神經網絡與模糊規則相結合，與傳統的模糊神經網絡相比，可以加快收斂速度并降低計算復雜度[9-10]。

為了更加有效地控制PMLSM伺服系統，本文采用了FLFNN與FOBC相結合的控制方案。FOBC在傳統反推控制的基礎上加入了分數階運算，減弱了不確定性對系統的影響；同時采用FLFNN對系統中存在的不確定性進行估計，且將易于計算、具有強大逼近能力的Hermite函數作為其擴展函數，改善了FLFNN的建模性能和學習效率，提高了PMLSM控制系統的魯棒性。但由于估計誤差不可避免，因此采用指數補償器對估計誤差進行補償，該補償器的控制增益能夠隨跟蹤性能而改變。最后，通過實驗驗證了該方法的有效性。

1 PMLSM數學模型

PMLSM的電磁推力方程為

(1)

式中：Fe為電磁推力；τ為極距；λd、λq，id、iq，Ld、Lq分別為d、q軸的磁鏈、電流和電感；λPM為磁鏈。

由式(1)可知，若id=0，則Fe僅與iq成正比，那么通過控制iq就可使推力達到最大，因此PMLSM的電磁推力可簡化為

(2)

式中：kf為電磁推力系數。

PMLSM的運動方程為

(3)

將式(3)改寫為

f+gu+d。

(4)

通常，系統的不確定性會使參數f和g發生變化，而外部擾動會對動子的位置x造成影響。因此，在存在參數變化和外部擾動時，式(4)改為

fn+gnu+Ω。

(5)

式中：Δf和Δg為建模誤差和參數變化；Ω=Δf+Δgu+d為總的不確定性且|Ω|≤ρ，ρ為正常數。一般來說，由于老化、磨損和操作條件的變化，PMLSM的不確定性很難精確得到。因此，本文的目的是設計一個高性能的控制系統，使動子在存在不確定性的情況下準確地跟蹤位置指令。

2 PMLSM系統的設計

PMLSM伺服系統框圖如圖1所示。通過直線光柵尺檢測動子位置，位置控制器采用基于HFLFNN的FOBC方法，其輸入為位置跟蹤誤差ec，輸出為q軸電流；通過電流傳感器檢測三相初級繞組電流ia、ib和ic，經過Clarke變換和Park變換轉換為旋轉坐標系中的直流分量id和iq作為電流環的負反饋量，電流控制器采用PI控制。

圖1 PMLSM伺服系統框圖Fig.1 Block diagram of PMLSM servo system

2.1 反推控制系統設計

PMLSM伺服系統的控制目的是使動子的位置x漸近地跟蹤參考軌跡xd。步驟如下：

第一步：定義跟蹤誤差ec=xd-x，然后定義虛擬穩定函數為

(6)

式中kB1為正常數。定義虛擬跟蹤誤差為

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

式中：kB2為常數；sgn(·)為符號函數。將式(11)代入式(10)得

(12)

2.2 分數階反推控制系統設計

為提高基于反推控制的PMLSM伺服系統的跟蹤性能，提出了一種基于分數階虛擬穩定函數的FOBC方法，可以有效地提高系統的瞬態和穩態響應。首先，選擇分數階虛擬穩定函數為

(13)

式中：kFB1、c1和c2為正常數；α和β為分數階的導數和積分的階數。然后，定義虛擬跟蹤誤差為

c1Dαec+c2D-βec。

(14)

對式(14)求導得

(15)

c2ecD-βec)+ρsgn(eFB)]。

(16)

式中：當eFB>0，eFB=0和eFB<0時，sgn(·)的值分別為1,0和-1，則式(5)描述的控制系統是漸近穩定的。

為保證FOBC系統的穩定性，將式(13)、式(14)代入式(9)得

ec(φFB-kFB1ec-c1Dαec-

c2ecD-βec。

(17)

fn-gnu-Ω)。

(18)

若FOBC采用式(16)中控制律，則

ρ|eFB|-eFBΩ≤

|eFB|ρ+|eFB||Ω|≤-

|eFB|(ρ-|Ω|)≤0。

(19)

2.3 基于HFLFNN的不確定性估計器的設計

由于Hermite多項式具有獨特的逼近能力，因此選擇式(20)所示的多項式作為輸入變量構成HFLFNN[11]。其結構如圖2所示。

圖2 HFLFNN的結構框圖Fig.2 Structure diagram of HFLFNN

(20)

式中：ψk為正交Hermite多項式函數；n為擴展函數的數量。此外，正交Hermite多項式由H1(xi)=1，H2(xi)=2xi，…，Hk(xi)=2tHk-1(xi)-2(k-1)，Hk-2(xi)，k≥3。因此對于輸入向量X=[x1,x2]T，輸入向量可以擴展到增強空間，如ψ=[ψ1,ψ2,…,ψn]T=[ψ1(x1),ψ2(x1),…,ψn/2(x1),ψ1(x2),ψ2(x2),…,ψn/2(x2)]。

第2層(隸屬層)中的每個節點采用高斯函數充當隸屬函數

(21)

式中：cij和σij分別是高斯函數的均值和標準差；m表示該層中的節點數。

第3層(規則層)中的節點將第2層的輸入信號相乘

(22)

式中γj是第j個模糊規則的激活函數及第3層的輸出。網絡的輸出由第j個節點的線性和來表示

(23)

式中：θkj為連接權重；ξi為函數擴展的輸出。

第4層(推理層)中的節點將來自第3層的輸出γj和來自網絡的輸出ξi相乘，即

(24)

推理層中每個節點的模糊規則j為：若x1為A1j，x2為A2j，則

(25)

第5層(輸出層)中的每個節點對應于單個輸出量且充當解模糊器，即

(26)

式中：wj為第4層和第5層的連接權重；y為HFLFNN的輸出；參數w，c，σ和θ定義為w=[w1...wm]T∈Rm×1，Θ=[Θ1…Θm]T∈Rm×1，c=[c11…c1m,c21…c2m]T∈R2m×1，σ=[σ11…σ1m,σ21…σ2m]T∈R2m×1和θ=[θ11…θ1m,θ21…θ2m,θn1…θnm]T∈Rnm×1。

由于通用函數逼近特性，存在理想HFLFNN不確定性估計器，其輸出可以均勻地近似不確定性為

Ω=y*+Δ=W*TΘ(c*,σ*,θ*)+Δ=

W*TΘ*+Δ。

(27)

式中：Δ表示由于HFLFNN的有限結構而導致的最小估計誤差；W*，Θ*，c*和θ*為W，Θ，c和θ的最優參數向量。但確定最優估計下的最優向量幾乎不可能，因此采用了HFLFNN來實現估計，即

(28)

(29)

(30)

2.4 在線不確定性估計的補償和參數調整

為了更加有效地估計不確定性，采用指數補償器平滑地補償HFLFNN的估計誤差。同時，為保證系統的穩定性，推導自適應估計律。將式(27)代入式(15)得

(31)

系統的雅克比矩陣可改寫為?V2/?uE=-e2。計算誤差項

(32)

基于HFLFNN的FOBC總控制律uIFB=u為

uIFB=uFB+uEC，

(33)

(34)

(35)

式中：q滿足條件0

(36)

式中：ηw，ηc，ησ和ηθ為正的學習律，保證了PMLSM控制系統的漸近穩定性。基于HFLFNN的FOBC結構框圖如圖3所示。

圖3 基于HFLFNN的FOBC系統框圖Fig.3 Structure diagram of FOBC based on HFLFNN

3 系統仿真與實驗分析

為驗證所提方法的有效性，采用MATLAB/Simulink仿真軟件與DSP實驗平臺對基于HFLFNN的FOBC系統進行了仿真與實驗研究。選取PMLSM的主要參數為M=16.4 kg，B=8.0 N·s/m，τ=16 mm，kf=50 N/A，基于HFLFNN的FOBC系統的參數為：kB1=15.5，kB2=0.05，ρ=0.01，kFB1=15，kFB2=0.03，c1=0.03，c2=0.01，α=0.4，β=0.3，ηw=0.03，ηc=0.001，ησ=0.01，ηθ=0.01，q=0.4，E=0.1，r=0.05。所有控制器參數在選取時均經過多次仿真與實驗試湊調整，以保證系統具有最佳的穩態和動態性能。

在圖4(a)所示的梯形位置輸入信號下，對系統施加如圖4(b)所示的變負載條件。反推控制、FOBC和基于HFLFNN的FOBC的PMLSM系統的位置跟蹤誤差曲線分別如圖5(a)、5(b)、5(c)所示。為便于控制器性能的比較與分析，選取仿真和實驗結果的最大跟蹤誤差PM、平均跟蹤誤差PA和跟蹤誤差的標準差PS作為性能指標。表1為三種控制方法仿真結果的性能指標。

圖4 位置輸入信號和負載曲線Fig.4 Position input signal and load curves

圖5 梯形輸入信號下位置跟蹤誤差曲線(仿真結果)Fig.5 Position tracking error curves of trapezoidal input signal (simulation results)

表1 跟蹤性能指標

在相同的位置輸入信號與變負載條件下，對PMLSM系統進行了實驗研究。實驗時采用DSP TMS320F2812A作為執行單元，基于DSP的PMLSM控制系統結構圖如圖6所示，主要包括PWM逆變器，PMLSM、直線光柵尺、電流傳感器和DSP控制單元等。三種控制方法下的位置跟蹤誤差曲線分別如圖7(a)、7(b)、7(c)所示，對應的實驗結果性能指標如表2所示。

圖6 基于DSP的PMLSM控制系統結構圖Fig.6 Structure diagram of PMLSM control system based on DSP

圖7 梯形輸入信號下位置跟蹤誤差曲線(實驗結果)Fig.7 Position tracking error curves of trapezoidal input signal (experimental results)

表2 跟蹤性能指標

對比圖5和圖7的位置跟蹤誤差曲線可以看出，不管是仿真結果還是實驗結果，三種方法在梯形信號的轉折處和負載突變處都存在誤差，但所提出的基于HFLFNN的FOBC方法控制下的位置跟蹤誤差曲線更為平滑，波動更小。對比表1和表2可以看出，相比于仿真結果，實驗結果效果稍差，但所提方法的跟蹤誤差的PM、PA和PS性能指標都明顯優于反推控制和FOBC方法，取得了較高的位置跟蹤精度。因此，無論在轉折處還是負載變化時，基于HFLFNN的FOBC都具有更小的誤差和更好的穩態性能。

為實現PMLSM的變速運動，給定正弦輸入信號如圖8所示，反推控制、FOBC和基于HFLFNN的FOBC的PMLSM伺服系統的位置跟蹤誤差曲線分別如圖9(a)、圖9(b)和圖9(c)所示，三種控制方案對應的性能指標如表3所示。從跟蹤誤差曲線波形圖可明顯看出，圖9(a)的誤差曲線波動幅度最大，圖9(c)的誤差曲線最平穩。對比表3也可以看出，基于HFLFNN的FOBC控制方法在變速運動時仍能保證較好的位置跟蹤性能，最大跟蹤誤差及平均誤差明顯小于另外兩種方法，且跟蹤誤差的離散程度更小。因此，通過實驗可知，基于HFLFNN的FOBC方案顯著提高了系統的控制精度和魯棒性能。

圖8 正弦位置輸入信號Fig.8 Sinusoidal position input signal

圖9 正弦輸入信號下位置跟蹤誤差曲線(實驗結果)Fig.9 Position tracking error curves of sinusoidal input signal (experimental results)

表3 跟蹤性能指標

4 結 論

針對PMLSM伺服系統位置跟蹤精度問題，采用基于HFLFNN的PMLSM分數階反推控制方案。利用FOBC減小了系統的穩態誤差；為進一步提高FOBC下的PMLSM系統的定位精度和魯棒性，設計了包含HFLFNN不確定性估計器和指數補償器在內的FLFNN分數階反推控制，FLFNN通過在線學習估計系統中存在的不確定性，指數補償器通過平滑指數自調節機制來補償估計誤差；最后通過Lyapunov函數推導出基于HLFNN的FOBC的自適應估計律。實驗結果驗證了所提出的控制方法具有更好的控制性能。