基于空心球滑移條件下的雙梯度鉆井井筒溫壓場的研究

張銳堯，李軍, ，柳貢慧, ，楊宏偉，王江帥，高熱雨

1 中國石油大學(北京)石油工程學院，北京 102249

2 中國石油大學(克拉瑪依)石油工程學院，克拉瑪依 840000

3 北京工業大學機械工程學院，北京 100124

0 引言

2019年中國原油進口量突破5億t，對外依存度達到70%[1-3]。并且隨著我國淺部地層優質油氣資源的持續開采，未來我國勘探開發實現增產的主戰場會逐漸瞄準了“難動用” 的油氣資源， 特別是海洋油氣資源[4-5]。但是深水鉆井過程中，由于存在復雜的溫度場環境以及孔隙壓力高、破裂壓力低所形成的窄壓力窗口[6-8]，所以極易引起溢流、氣侵或漏失等井下復雜情況。為了應對該技術難題，國內外學者先后研究出了精細控壓鉆井、雙梯度鉆井等鉆井技術[9]。雖然該技術都有現場應用的成功先例，但是前者的控制系統復雜，成本較高；后者技術的實現需要增加海底泵和旁通管線，設備安裝復雜，且只能調節海底泥線以上的密度梯度，可調井筒壓力范圍窄[10-12]。而注空心多梯度鉆井可以在海底泥線以下環空形成多個密度梯度，通過分離器將空心球從鉆桿內分離進入上部環空。因為空心球密度比鉆井液低，所以以分離器為參考點，在上、下環空形成了兩個密度梯度，如果多點安裝即可以形成多個密度梯度。這樣就使得在鉆遇窄壓力窗口時，井筒壓力可調范圍廣，避免了傳統鉆井井筒壓力分布單一與現有雙梯度鉆井技術的局限性。但是多梯度鉆井過程中因為空心球的密度小于鉆井液密度，并且空心球與空心球在運動過程中存在碰撞，從而導致空心球在環空中運動時存在滑移現象。而空心球的滑移會使得上部環空的壓力過小，下部環空的壓力過大，從而導致上部溢流而下部漏失等復雜情況。所以本文考慮空心球之間的碰撞，建立了球—球曳力模型，基于空心球受力進一步推導了滑移速率數學模型，并基于該模型進行了計算和敏感性分析，且通過室內實驗對模型進行了驗證。然后在考慮空心球的滑移條件下，建立了雙梯度鉆井隨鉆井底壓力預測模型，最后結合鉆井數據對模型進行了計算和敏感性分析。

1 空心球的滑移速率數學模型

空心球在鉆井液中運動時，主要受到鉆井液的曳力、重力、浮力以及空心球與空心球之間碰撞產生的曳力。對于空心球在鉆井液中的運動過程，現作如下假設：(1)空心球為彈性均質小球，碰撞過程中不考慮破碎的情況；(2)不考慮空心球在分離過程中所產生的波動壓力對空心球滑移的影響；

空心球a與空心球b為一個碰撞對，則在一個碰撞控制體單元中包括若干個碰撞對，所以控制體系統中碰撞的總數量是分析空心球相互作用的重要參數之一[13]。本文主要研究空心球的一對一碰撞過程，則根據球-球碰撞的原理即數量守恒方程式(1)，可以得到控制體系統中每個空心球的碰撞體積以及碰撞對的總數量為式(2)和(3)所示：

其中n為空心球的數量；α為空心球的體積分數，%；d為空心球的直徑，mm；ρ為空心球的密度，kg/m3；空心球碰撞時的球心距離為dab，mm；Vp為球的碰撞體積，mm3，Np系統碰撞對的數量。

在控制體系統中單位時間內碰撞的數量即碰撞頻率為：

根據碰撞前后動量守恒可以得到動量守恒方程以及兩球在碰撞前后的相對速度：

假設某時刻空心球的碰撞方向為則與其正交的兩個方向分別為故定義單位方向向量從而得到空心球非彈性碰撞的能量損失為：

其中m為空心球的質量，為碰撞前的速度，m/s；為碰撞后的速度 ,為碰撞前的速度差，m/s；e，f，g為碰撞時接觸面的法向恢復系數以及切向恢復系數[14-15]，0＜e＜1，若忽略空心球在碰撞時的旋轉運動，則法向恢復系數與切向恢復系數相同。

又根據空心球的質量與碰撞前后的速度，可以得到空心球碰撞對的中心速度。

根據上式可以得到式(13)和式(14)，進一步整理可得到式(15)和式(16)：

故空心球a和b在碰撞前后的速度變化為：

其中m0為a、b球的質量和，kg/m3；為碰撞對的中心速度，m/s；M為質量分數,%。

在碰撞過程中能量的損失主要分為非彈性碰撞引起的能量損失以及表面能量損失兩個部分，故可以得到碰撞時產生的總的能量損失為：

其中ΔEp為總能量損失，J；ΔEe為非彈性碰撞的能量損失，J；ΔEs為表面能損失，J。

又因為非彈性碰撞損失的能量為：

而球—球在碰撞過程中由附著力引起的表面能量損失可以由無量綱常數λc表示：

故結合表面能量損失以及非彈性碰撞能量損失，并參考式(20)的表達形式可以得到總的能量損失為：

因此在控制體系統中碰撞產生的總的能量傳遞為：

由于在多梯度鉆井過程中所選擇的空心球都為等直徑、均質小球，若球直徑為ds。碰撞時滿足dab=ds所以上式可以簡化為：

因為空心球粒徑小，相對環空中鉆井液的流動而言，其加速過程可以忽略不計[16]。如圖1所示為空心球在鉆井液中的受力情況，以井眼軸線向上方向為正向，以空心球為分析對象，建立如下平衡關系：

圖1 空心球受力分析Fig.1 Stress analysis of HGS

其中G為重力，N；FDL為鉆井液的曳力，N；FDS為碰撞產生的球-球之間的曳力，N；Ff為鉆井液的浮力，N；θ為碰撞方向與井眼方向的夾角，°；VLS為滑移速度，m/s；CD為鉆井液對空心球的曳力系數；ρs為空心球的密度，kg/m3。

當顆粒雷諾數Res＜2時，流動狀態為層流，CD=24/Res；2 ＜Res＜500時，流動狀態為過渡流，CD=18.5（/Res）0.6；500＜Res＜ 2 ×105， 流 動 狀 態 為紊流，CD=0.44。當鉆井液密度為ρm，黏度為μm，Res=dsVLSρm/μm，得到不同流動狀態時的空心球滑移速率如下：

因為空心球與鉆井液之間存在密度差所以導致滑移，而滑移過程又會導致空心球與鉆井液產生速度差。所以當空心球的滑移速率等于鉆井液的流速時，空心球不再產生滑移現象，兩者處于相對靜止狀態。所以根據空心球的受力和運動過程，建立空心球滑移距離與滑移速率之間的關系如下：

將已知條件代入式(31)中，整理后可以得到滑移距離和滑移速率的關系為：

式中L1為空心球的滑移距離，m；V為鉆井液的流動速度，m/s。ρL為鉆井液與空心球的混合流體的密度，kg/m3；t為時間，s。

2 空心球滑移速率敏感性分析及室內實驗

2.1 深水變梯度鉆井空心球滑移速率室內實驗

圖2為雙梯度鉆井室內模擬實驗系統，其主要包括控制柜(含軟件界面和控制器)、模擬鉆桿與環空、過濾分離器、液壓泵、節流閥、壓力傳感器等組成。圖3為模擬實驗系統的原理圖。實驗時先將空心球與鉆井液混合均勻，然后通過液壓泵從上部入口處注入，而空心球在過濾分離器處被分離，并從分離口處進入環空中，而其余流體則進入底流口。等待環空中的流動穩定后，每隔t時間測試空心球聚集區的高度,然后將環空中的混合流體排入溢流儲液池，鉆桿內的流體則進入底流儲液池循環利用。根據高度的變化與實驗時間得到滑移速率的值，然后通過控制變量法，分別改變鉆井液密度、空心球直徑、空心球密度以及通過添加聚丙烯酰胺或清水對鉆井液黏度進行調節，并重復上述過程，得到了不同情況下滑移速度的測試值，如圖4～14所示。

圖2 雙梯度鉆井模擬實驗系統Fig.2 Simulation experiment system for dual-gradient drilling

圖3 雙梯度鉆井實驗系統原理圖Fig.3 Schematic diagram of the experimental system for dual-gradient drilling

圖4 不同流態下滑移速度隨鉆井液密度的變化Fig.4 Variations of the slip rate with drilling fluid in different flow regimes

圖7 過渡流時滑移速度隨空心球與鉆井液密度的變化Fig.7 Variation of slip velocity with the density of HGS and drilling fluid during transition flow

圖8 過渡流時滑移速度隨空心球密度與直徑的變化Fig.8 Variation of slip velocity with the density and diameter of HGS during transition flow

圖9 過渡流時滑移速度隨鉆井液粘度和空心球密度的變化Fig.9 Variation of slip velocity with the density of HGS and viscosity of drilling fluid during transition flow

圖10 過渡流時滑移速度隨鉆井液粘度和鉆井液密度的變化Fig.10 Variation of slip velocity with the density and viscosity of drilling fluid during transition flow

圖11 過渡流時滑移速度隨鉆井液粘度和空心球直徑的變化Fig.11 Variation of slip velocity with the diameter of HGS and viscosity of drilling fluid during transition flow drilling fluid and diameter of HGSduring Turbulent flow

圖13 紊流時滑移速度隨鉆井液密度和空心球密度的變化Fig.13 Variation of slip velocity with the density of HGS and drilling fluid during transition flow

圖14 紊流時滑移速度隨空心球密度和空心球直徑的變化Fig.14 Variation of slip velocity with the density diameter of HGS during Turbulent flow

2.2 空心球滑移速率的模型計算

根據式(30)所示的滑移速率的數學模型，計算了不同流動狀態時的滑移速率。過渡流時的計算結果如圖4～11所示；紊流時的計算結果如圖12～14所示。由圖4和圖5可知，在不同流態時，滑移速度隨著鉆井液的密度增加而增加，隨空心球的密度增加而降低，并且隨著流體波動的加劇，空心球受到鉆井液的曳力增加且空心球的碰撞加劇，所以滑移速度逐漸減小。由圖6～14可知，不論空心球在過渡流狀態或紊流狀態，滑移速度都隨鉆井液密度、空心球直徑增加而增加，而隨空心球密度和鉆井液黏度的增加而降低。因為鉆井液的密度增加，則空心球所受到的浮力增加，相同時間內空心球滑移距離更遠，從而滑移速率更大。而空心球的密度不變時，隨著直徑增加，其所受的浮力與重力之差增加且碰撞頻率減小使得空心球顆粒之間的曳力減小，所以空心球的滑移速度增加。而空心球直徑不變時，隨著密度的增加，空心球所受重力顯著增加，因而相同時間內滑移距離減小，滑移速度降低。故在鉆井過程中，為了盡量減小因空心球滑移所帶來的不利因素，在保證井筒壓力處于安全范圍的條件下，則需要減小空心球直徑，或增加空心球密度和鉆井液黏度，從而減小滑移速度。

圖5 滑移速度隨空心球密度的變化Fig.5 Variations of the glide rate with HGS density in different flow regimes

圖6 過渡流時滑移速度隨鉆井液密度的變化Fig.6 Variation of slip velocity drilling fluid density in transition flow

圖12 紊流時滑移速度隨鉆井液密度和空心球直徑的變化Fig.12 Variation of slip velocity with the density of drilling fluid and diameter of HGSduring Turbulent flow

3 井筒壓力預測模型及敏感性分析

3.1 井筒壓力預測模型

由前所述，空心球的滑移會使得上部環空的混合流體密度變得過小，而下部環空的混合流體密度變得過大。從而導致井筒壓力超過窄安全密度窗口，引起溢流或者漏失等復雜情況。所以有必要研究空心球滑移對井筒溫度壓力耦合場的影響規律。根據式(32)所示，空心球的滑移速率越大，空心球所產生的滑移距離越大。而滑移距離的不同則會改變環空中不同井段的空心球含量和環空流體的密度，最終影響井筒壓力的分布。所以本文以空心球的滑移距離來直接表征空心球的滑移速度所產生的影響，從而建立其與空心球體積分數的關系，并進一步研究空心球滑移對環空流體的密度以及井筒溫度和壓力的影響規律。首先根據雙梯度鉆井的原理，建立了如圖15所示的井筒壓力分布的物理模型，然后基于該模型推導了不同鉆井狀態下的環空壓力預測模型如下所示：

圖15 雙梯度鉆井井筒壓力預測物理模型Fig.15 Physical model of wellbore pressure prediction during dual-gradient drilling

(1)對于狀態A的任意點T的壓力計算：

(2)對于狀態B的任意點T的壓力計算：

(3)對于狀態C的任意點T的壓力計算：

如果空心球注入的總數量為n，分離器的位置距離井口的深度為L，空心球的滑移距離為L1。根據滑移前后空心球聚集區域深度的變化可以得到空心球體積分數的增量。空心球滑移速度的不同會導致滑移距離發生改變，從而進一步影響輕質段與重質段流體的液柱長度以及輕質段流體的體積分數。假設空心球分離后進入環空的初始狀態以及滑移后達到穩定狀態時，空心球在鉆井液中均勻分布，得到如圖16所示的雙梯度鉆井系統中空心球滑移前后的分布情況。根據上述變量可以得到滑移前后，輕質段流體的空心球體積分數的變化以及環空中混合流體的熱物性參數的初始值為：

圖16 空心球滑移前后在環空中的分布Fig.16 The distribution of HGS in the annulus before and after sliping

因為在鉆井循環過程中，鉆井液的熱物性參數與溫度、壓力之間相互影響，所以本文利用多元非線性回歸分析方法對McMordie等[17]的水基鉆井液實驗數據進行處理，得到鉆井液的密度與溫度、壓力的關系式為：

根據滑移前任意狀態環空壓力預測模型以及滑移后環空中輕質段鉆井液的空心球體積分數變化與液柱長度變化，可以得到滑移后隨鉆井底壓力預測數學模型：

其中PT為任意點壓力，MPa；A、B、C為3種鉆井狀態；θ為井斜角，°；ρ為鉆井液密度，kg/m3；L、W分別表示輕質段鉆井液與重質段的鉆井液；ρ0表示輕質段或者重質段流體的初始密度，kg/m3；hL為分離器頂部到井口的距離，m；hW為分離器底部到目標點的距離，m；hj為分離器段的環空長度，m；ε為注入空心球體積分數，%；ψ為過濾分離器分離效率，%；Δε為滑移引起的輕質段體積分數的變化，%；μ為黏度，mPa·s； ΔPf為循環壓降，MPa；m,s分別表示鉆井液與空心球；H*為隨鉆井深，m；為分離器到鉆頭的距離，m；Pcp為回壓，MPa；g為重力加速度，m/s2。ρ(T,P)為混合流體隨溫度壓力變化的密度，kg/m3；T0為常溫，℃；P為壓力，MPa；T為溫度，℃。

3.2 敏感性分析

3.2.1 基礎數據

首先基于雙梯度鉆井室內模擬實驗系統研究了過濾分離器的分離效率。如圖17所示為分離效率的實驗結果，分離效率隨著鉆井液排量的和空心球體積分數的增加而增加，且分離效率的范圍為95%～98.5%。因為過濾分離器將空心球過濾后，空心球會短暫停留在過濾結構的球形外表面，隨著排量的增加，空心球受到的鉆井液的沖刷作用更強，有利于分離出的空心球進入到環空中；而隨著空心球體積分數的增加，球-球之間的有效接觸面積增加，進一步地減小了鉆井液與空心球的接觸面積，從而使得鉆井液的曳力減小，更有利于空心球的分離。但是因為鉆井液黏度的影響，空心球在循環系統中存在黏附與聚集現象，使得部分空心球無法排出，所以隨著排量和空心球體積分數進一步增加，分離效率不再增加。

圖17 分離效率的實驗結果Fig.17 Experimental results of separation efficiency

所以本文選擇分離效率為98%，再結合南海某區塊深水鉆井的數據[18-19]：井深6000 m，水深1500 m，入口溫度為15 ℃，地表溫度為20 ℃，鉆井液排量為0.25 m3/s，地溫梯度為0.25 ℃，鉆井液密度為 1200 kg/m3,比熱為 3900 J/(kg·K)，導熱系數為 1.73 W/(m·K)，海水密度為 1050 kg/m3，比熱為4130 J/(kg·K)，導熱系數為 0.65 W/(m·K)，空心球比熱為750 J/(kg·K)，導熱系數為0.47 W/(m·K)，機械鉆速為3.01m/h。然后基于空心球滑移條件下的雙梯度鉆井隨鉆井底壓力預測模型進行溫壓耦合場的數值計算和敏感性分析。

3.2.2 滑移距離

如圖18所示，當分離器位置一定時，隨著空心球滑移距離的不斷增加，隨鉆井底壓力也逐漸增加。因為當空心球的滑移距離不斷增加時，輕質段流體的液柱長度不斷減少，而重質鉆井液段的長度增加，所以隨鉆井底壓力逐漸增加。同理，如圖19所示，因為滑移距離的不斷增加，輕質鉆井液段的長度不斷減小；則達到穩定狀態后，單位液柱長度所含空心球體積分數增加，輕質段混合流體的密度則不斷減小，重質鉆井液段的液柱長度增加，但其密度不隨滑移距離發生變化，而且在上、下環空的交界面處(分離器位置處)的密度會產生明顯的突變。

圖18 隨鉆井底壓力隨滑移距離的變化Fig.18 Variation of bottom hole pressure with slip distance

圖19 混合流體密度隨滑移距離的變化Fig.19 Variation of mixed fluid density with slip distance

3.2.3 分離器位置

如圖20所示，隨著分離器位置從A、B、C變化時，相同井深位置處，隨鉆井底壓力不斷減小。因為隨著分離器在井深位置的不斷增加，隨鉆井底壓力分布曲線的拐點不斷下移，使得輕質鉆井液液柱的長度不斷增加，而重質鉆井液的液柱長度不斷減少，從而導致隨鉆井底壓力逐漸減小。

圖20 隨鉆井底壓力隨分離器位置的變化Fig.20 Variation of bottomhole pressure with separator

3.2.4 空心球體積分數與分離器位置

如圖21所示，當空心球與分離器的位置同時變化時，分離器位置主要影響環空中輕質與重質流體的液柱長度，從而影響拐點沿井深位置的分布，而空心球體積分數主要影響輕質段流體的密度大小。隨著分離器位置的不斷增加，密度分布曲線的拐點逐漸下移；而隨著空心球體積分數的不斷增加，輕質段流體的密度不斷減小，重質段流體的密度基本不變，從而使得上、下環空中的流體密度分布在分離器位置處存在突變。

圖21 混合流體密度隨分離器位置和空心球體積分數的變化Fig.21 Mixed fluid density varies with separator position and volume fraction of HGS

圖23 不同滑移距離和空心球體積分數對環空溫度的影響Fig.23 Effect of different slip distances and volume fraction on annulus temperature

3.2.5 空心球體積分數與滑移距離

從圖22～24中可以看出，當分離器位置和空心球體積分數一定時，隨著滑移距離的不斷增加，輕質段流體的液柱長度不斷減小，而重質段流體的液柱長度不斷增加，所以環空流體的密度分布曲線在突變點上部的曲線長度逐漸減小，而下部曲線的長度逐漸增加，從而使得相同井深位置處，隨鉆井底壓力逐漸增加。隨著滑移距離的不斷增加，重質流體的液柱長度不斷增加，所以相同時間內向外界傳遞的熱量增加，從而導致環空溫度逐漸降低。而當空心球體積分數增加時，輕質段流體的密度不斷減小，所以突變點上部的曲線不斷左移。

圖22 混合流體密度隨滑移距離和空心球體積分數的變化Fig.22 Variation of mixed fluid density with slip distance volume fraction of HGS

3.2.6 分離器位置與滑移距離

圖24 隨鉆井底壓力隨滑移距離和空心球體積分數的變化Fig.24 Variation of bottom hole pressure with slip distance and volume fraction of HGS

圖26 分離器位置一定時不同滑移距離對環空溫度的影響Fig.26 The effect of different slip distances on annulus temperature when the separator position is fixed

如圖25和26所示，當滑移距離不變時，隨著分離器位置的增加，上部輕質段流體的液柱長度會逐漸增加，重質段流體的液柱長度會逐漸減小，使得環空流體密度分布曲線在突變點上部的曲線長度逐漸增加。而滑移距離的增加又會減小輕質段流體的長度，使得輕質段流體密度顯著減小，所以密度分布曲線上又表現為在突變點的上方曲線長度逐漸減小，并且逐漸左移。分離器位置一定時，當滑移距離增加，重質段流體的液柱長度逐漸增加，輕質段流體的液柱長度逐漸減小，從而導致相同時間內與外界的傳熱量增加，所以環空溫度逐漸降低。

圖25 混合流體密度隨分離器位置和滑移距離的變化Fig.25 Variation of mixed fluid density with separator position and slip distance

4 結論

通過碰撞理論建立了空心球的滑移速率模型，然后利用室內實驗對模型進行了驗證，得到了空心球滑移速率在不同條件下的分布規律。然后基于實驗所得分離效率以及滑移速率與滑移距離的關系模型，建立了空心球滑移條件下的雙梯度鉆井隨鉆井底壓力預測模型，并結合鉆井數據進行了數值計算和敏感性分析，得到如下結論：

(1)基于理論計算與室內實驗研究表明，空心球的滑移速率隨鉆井液密度和空心球直徑的增加而增加，隨鉆井液黏度與空心球密度的增加而減小。所以適當減小空心球的直徑或增加鉆井液的黏度可以減小空心球的滑移可能帶來的不利影響。

(2)隨著空心球滑移速率的增加，其滑移距離也會逐漸增加，進一步地會引起井底壓力逐漸增大。輕質段混合流體的密度和環空溫度隨著滑移距離的增加而逐漸減小。

(3)分離器位置與空心球體積分數對環空壓力有顯著影響，隨著分離器位置和空心球體積分數的增加，隨鉆井底壓力和輕質段混合流體的密度不斷減小，并且環空壓力和環空流體密度分別在分離器位置處存在明顯的拐點和突變點。