變截面Euler-Bernoulli梁穩(wěn)態(tài)諧振動的微分求積法研究

夏 雨，葛仁余*，王靜平，熊海超，張佳宸

(1.安徽工程大學(xué) 建筑工程學(xué)院，安徽 蕪湖 241000;2.安徽工程大學(xué) 汽車新技術(shù)安徽省工程技術(shù)研究中心，安徽 蕪湖 241000)

在工程實際中，梁是很常見的結(jié)構(gòu)之一，如橋式起重機的大梁、火車輪軸、橋梁等，梁的動力特性研究一直是經(jīng)典而永久的科學(xué)問題。對于一般的等截面梁的彎曲問題，材料力學(xué)已經(jīng)給出了結(jié)果，但受力復(fù)雜的梁以及變剛度梁的計算還是比較繁瑣的。一般梁的問題最后都可用梁的近似微分方程表示出來，可歸結(jié)為兩點邊值問題。對于平面彎曲梁的靜力問題，材料力學(xué)當中的結(jié)論是通過平面假設(shè)及縱向纖維間假設(shè)而獲得的。而各種假設(shè)是會帶來誤差的，尤其是長高比大于5的短梁，在土木工程中，為了減輕自重和節(jié)省材料，經(jīng)常把剛架和梁設(shè)計成變截面和非均勻性的，因而研究非均勻性變截面梁和剛架的強度、穩(wěn)定和動力學(xué)問題無論在理論上還是實際上都是極為重要的。非均勻性變截面梁和剛架，可以歸結(jié)于一組變系數(shù)非正定微分方程，用變分法求解此類微分方程具有一定的困難，用常規(guī)方法難以求解。文獻[4]直接從微分方程出發(fā)推導(dǎo)出單元的剛度矩陣，用普通有限元計算變截面梁和剛架，把梁和剛架劃分成許多均勻單元，并用矩陣遷移法來構(gòu)造單元的剛度矩陣，從而可以提高數(shù)值計算精度。文獻[5]和文獻[6]分別用矩陣遷移法求解了非均勻變截面梁和連續(xù)梁的穩(wěn)定性和自由振動問題。文獻[7]用矩陣遷移法解決了非均勻性彈性基礎(chǔ)梁的穩(wěn)定和自由振動問題。文獻[8]求解了非均勻變截面梁的穩(wěn)定和自由振動問題，問題最后歸結(jié)為求解一個解析表達式的超越代數(shù)方程。有關(guān)梁的強迫振動問題，人們提出了各種方法來解決。文獻[9]和文獻[10]采用的是有關(guān)振動研究中流行的模態(tài)疊加法。模態(tài)疊加法是用無窮級數(shù)表示解函數(shù)，但在無窮級數(shù)的實際計算中，不可避免地要用到截斷，因此，模態(tài)疊加法本質(zhì)上是一種近似方法。文獻[11]研究了機翼在來流作用下的響應(yīng)，識別了靜態(tài)和動態(tài)分叉區(qū)域，評估了陣風(fēng)對響應(yīng)的影響，研究了結(jié)構(gòu)非線性變化對機翼響應(yīng)的影響。文獻[12]采用計算機仿真計算方法，對列車通過橋梁時的橋梁動力響應(yīng)和列車運行性能進行了詳細的分析，為三塔懸索橋的動力設(shè)計提供了理論依據(jù)。利用變量分離法，文獻[13]研究了簡支梁在勻速運動質(zhì)量作用下的動力學(xué)行為。目前，功能梯度材料板殼的彎曲和振動問題研究與梁類似，主要有基于板理論的解析方法以及有限元方法等。

采用微分求積法(DQM)研究非均勻變截面Euler-Bernoulli梁的穩(wěn)態(tài)諧振動問題，基于Euler-Bernoulli梁理論建立非均勻變截面梁的橫向穩(wěn)態(tài)諧振動控制方程，從而將非均勻變截面梁的橫向穩(wěn)態(tài)諧振動響應(yīng)的計算轉(zhuǎn)化為一個變系數(shù)常微分方程的兩點邊值問題。同時，將梁長以等步長均勻分布節(jié)點進行離散，邊界條件用節(jié)點替代法(

δ

法)來處理，運用微分求積法求解該常微分方程組，可一次性獲得非均勻變截面梁諧振動的振幅及內(nèi)力。

1 變截面梁穩(wěn)態(tài)諧振動的基本理論

圖1 受諧振荷載的變截面梁

在工程實際中，尤其是土木或機械工程中，梁承受諧振荷載的情況常常遇到，這時避開共振區(qū)一般總是結(jié)構(gòu)設(shè)計首先要考慮的問題。當避開共振區(qū)時，可以不考慮阻尼的影響，因為阻尼對結(jié)構(gòu)振動的影響很小，所以梁的穩(wěn)態(tài)諧振動的位移和內(nèi)力的幅值可以直接得出，而不必將振型分解。這樣的計算偏于安全，并使問題大大簡化，在穩(wěn)態(tài)諧振動時，所有的荷載、變形、內(nèi)力、支反力和慣性力均按同一簡諧規(guī)律變化，即同時達到各自的最大值。

長度為

L

的變截面Euler-Bernoulli梁如圖1所示?；贓uler-Bernoulli梁的基本理論，獲得梁的動力響應(yīng)控制方程為

(1)

式中，

D

(

x

)是抗彎剛度

EI

(

x

)；

E

是均勻材料彈性模量；

I

(

x

)是梁的橫截面對中性軸的慣性矩;

m

(

x

)是梁的單位長度的容重;

y

(

x

,

t

)是梁的位移；

q

(

x

,

t

)是荷載。考慮梁的穩(wěn)態(tài)諧振動問題，則位移

y

(

x

,

t

)和荷載

q

(

x

,

t

)均按同一簡諧規(guī)律變化，即

y

(

x

,

t

)=

y

(

x

)

cosωt

,

(2)

q

(

x

,

t

)=

q

(

x

)

cosωt

,

(3)

式中，

y

(

x

)和

q

(

x

)分別為位移幅值和荷載幅值，簡稱位移和荷載，以下同;

ω

為穩(wěn)態(tài)諧振動角頻率;

t

為時間。

將式(2)、式(3)代入式(1)，得

(4)

(5)

y

(

x

)+

φ

(

x

)

y

(

x

)+

φ

(

x

)

y

(

x

)-

φ

(

x

)

y

(

x

)=

Q

(

x

)。

(6)

如果在圖1所示的坐標系中，設(shè)向上的荷載

qcosωt

或

Pcosωt

,向上的位移

y

(

x

)和逆時針方向的轉(zhuǎn)角

θ

(

x

)為正，反之為負。彎矩

Mcosωt

使梁彎成凹形為正，剪力

Qcosωt

使梁段順時針轉(zhuǎn)為正，反之為負，那么存在以下微分關(guān)系:

(7)

文中變截面Euler-Bernoulli梁邊界條件可以表示為以下常見4種情形：

固支-固支梁的邊界條件(

C

-

C

)：

向紅棗白蘭地基酒（42%vol）中加入適量的蒸餾水或無水乙醇，分別配制成20%vol、32%vol、50%vol、63%vol和72%vol的紅棗白蘭地。

y

(

x

)=0,

θ

(

x

)=0，

y

(

x

)=0，

θ

(

x

)=0，

(8a)

簡支-簡支梁的邊界條件(

S

-

S

)：

y

(

x

)=0,

M

(

x

)=0，

y

(

x

)=0，

M

(

x

)=0，

(8b)

固支-簡支梁的邊界條件(

C

-

S

)：

y

(

x

)=0,

θ

(

x

)=0，

M

(

x

)=0，

Q

(

x

)=0，

(8c)

固支-自由梁的邊界條件(懸臂梁)(

C

-

F

)：

y

(

x

)=0,

θ

(

x

)=0，

y

(

x

)=0，

M

(

x

)=0。

(8d)

考慮位移函數(shù)

y

(

x

)在梁長區(qū)間[0,

L

]上可微，將區(qū)間[0,

L

]上離散單元數(shù)劃分為

n

段

n

+1個節(jié)點，

x

=0，

x

=

L

，

n

+1個節(jié)點上函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值可以用節(jié)點上函數(shù)值的加權(quán)線性和近似表示，這里，將位移函數(shù)

y

(

x

)采用拉格朗日(Lagrange)插值函數(shù)來描述，即

(9)

這里，

l

(

ξ

)拉格朗日插值函數(shù)其形式為

(10)

由式(9)對位移函數(shù)

y

(

x

)求一階導(dǎo)數(shù)，得

(11)

這里，拉格朗日插值函數(shù)

l

(

x

)的一階導(dǎo)數(shù)形式為

(12)

將式(11) 在梁長區(qū)間[0,

L

]上離散，從而進一步得到

(13)

將式(13)寫成向量形式為

(14)

高階導(dǎo)數(shù)順次地采用低階導(dǎo)替換，逐步遞推可得

(15)

將式(14)和式(15)代入式(6)，將式(6)用矩陣和向量形式表示，得

B

y

(

x

)=

Q

(

x

),

(16)

將式(5)中的系數(shù)用對角矩陣形式表示為

(17)

不失一般性，以非均勻變截面梁固支-固支邊界條件為例進行討論，則相應(yīng)的邊界條件用向量可表示為

(18)

這里， 由Fortran語言編制通用程序計算，采用高斯主元消去法求解式(18)線性代數(shù)方程組獲得變截面Euler-Bernoulli梁位移

y

(

x

)，再將其代入式(7)獲得相應(yīng)的轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力。

2 數(shù)值算例與討論

下面將通過數(shù)值算例的分析和比較來討論微分求積法計算變截面Euler-Bernoulli梁穩(wěn)態(tài)諧振動的可行性和收斂速度，并討論在不同的激勵頻率

ω

(或者

k

)和邊界條件下，它們的改變對梁的撓度、彎矩和剪力的影響。

2.1 等直截面梁穩(wěn)態(tài)諧振動

圖2 受均布諧振荷載的等截面固定-簡支梁(C-S)

受均布諧振荷載的等截面固定-簡支梁(

C

-

S

)如圖2所示。一長為

L

的均勻等直截面梁，梁的左端固支，右端簡支，梁的橫截面尺寸為：高

h

=1

.

0，寬

b

=1

.

0，梁長

L

=10，材料的彈性模量為

E

=12 000。在區(qū)間

x

∈[0,

L

]上取離散單元數(shù)為

n

=30時，由微分求積法獲得等直截面梁位移、彎矩和剪力的計算值，并和文獻[4]計算結(jié)果以及精確解同列于表1中進行對比。由表1可知，研究計算值與文獻[3]計算結(jié)果的兩位以上有效數(shù)字相同，與精確解3位以上有效數(shù)字相同，表明了微分求積法計算等直截面Euler-Bernoulli梁穩(wěn)態(tài)諧振動的精確性。圖3、圖4分別給出了不同的

k

值，在梁長區(qū)間

x

∈[0,

L

]上位移、彎矩的計算值。由圖3和圖4計算結(jié)果可知，當

k

=0、

k

=0

.

1、

k

=0

.

2、

k

=0

.

3和

k

=0

.

5時，梁的位移和彎矩變化平穩(wěn)。當

k

=0

.

4時，位移和彎矩急劇增大，這一現(xiàn)象表明了

k

=0

.

4時，外荷載頻率趨于固有頻率，梁即將發(fā)生共振現(xiàn)象。當

k

=0

.

5時，區(qū)間[0,

L

]上離散單元數(shù)分別取

n

=12、16、20和24時，由微分求積法獲得的等直截面梁位移和彎矩計算值如圖5和圖6所示。計算結(jié)果表明,離散單元數(shù)取

n

≥12時，等直截面梁的位移和彎矩收斂于精確解。

表1 k=0.5時，固定-簡支等截面梁位移和內(nèi)力

圖3 不同k值情況下等直截面梁位移曲線圖 圖4 不同k值情況下等直截面梁彎矩曲線圖

圖5 不同n值情況下等直截面梁位移曲線圖 圖6 不同n值情況下等直截面梁彎矩曲線圖

2.2 變截面梁穩(wěn)態(tài)諧振動

圖7 受均布諧振荷載的變截面固定-自由梁(C-F)

圖8 ω≠0情況下變截面梁位移曲線圖 圖9 ω=0情況下變截面梁位移曲線圖

圖10 ω≠0情況下變截面梁彎矩曲線圖 圖11 ω=0情況下變截面梁彎矩曲線圖

圖12 ω≠0情況下變截面梁剪力曲線圖 圖13 ω=0情況下變截面梁剪力曲線圖

圖14、圖15、圖16分別給出了3種不同的邊界條件(

S

-

S

、

C

-

C

和

C

-

S

)在梁長區(qū)間

x

∈[0,

L

]上位移、彎矩和剪力的計算值。由圖14、圖15、圖16計算結(jié)果可知，當邊界條件為

S

-

S

和

C

-

C

時，梁的位移和彎矩變化幅度平穩(wěn)；當邊界條件為

C

-

S

時，位移、彎矩和剪力幅度急劇增大，這一現(xiàn)象表明了邊界條件為

C

-

S

時，激振力頻率趨于該變截面梁的固有頻率。

圖14 3種不同邊界條件下ω≠0時的變截圖15 3種不同邊界條件下ω≠0時的變截 面梁位移曲線圖 面梁彎矩曲線圖

圖16 3種不同邊界條件下ω≠0時的變截面梁剪力曲線圖

3 結(jié)論

研究采用微分求積法研究非均勻變截面Euler-Bernoulli梁的穩(wěn)態(tài)諧振動問題，基于Euler-Bernoulli梁理論建立非均勻變截面梁的橫向穩(wěn)態(tài)諧振動控制方程，從而將非均勻變截面梁的橫向穩(wěn)態(tài)諧振動響應(yīng)的計算轉(zhuǎn)化為一個變系數(shù)常微分方程的兩點邊值問題。運用微分求積法對其進行數(shù)值計算，討論了4種邊界條件情況下等截面梁和變截面梁的位移和內(nèi)力的計算，獲取了軸向功能梯度變截面Euler-Bernoulli 梁自由振動前若干階固有頻率。研究主要結(jié)論如下：

(1) 微分求積法通用性好、適應(yīng)性強，且計算精度高。它對未知函數(shù)采用多項式逼近，保證了解函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)值的光滑連續(xù)，可一次性地計算出變截面梁的位移及內(nèi)力，并與精確解、已有文獻計算結(jié)果吻合良好，表明了微分求積法分析梁的穩(wěn)態(tài)諧振動問題的可行性和精確性。

(2) 微分求積法分析等截面梁和變截面梁穩(wěn)態(tài)諧振動時，通過梁的位移、彎矩和剪力等物理參量的急劇增大這一現(xiàn)象，可以定性判定梁的共振頻率范圍。

(3) 研究方法分析等截面梁和變截面梁穩(wěn)態(tài)諧振動時，對材料和截面幾何性質(zhì)函數(shù)的具體形式無需任何限制條件，同時，研究方法避免了用迭代方法計算超越方程的困難和繁雜，可以進一步推廣應(yīng)用于一般梁的瞬態(tài)動力響應(yīng)的分析研究中。