變截面Euler-Bernoulli梁穩態諧振動的微分求積法研究

夏 雨，葛仁余*，王靜平，熊海超，張佳宸

(1.安徽工程大學 建筑工程學院，安徽 蕪湖 241000;2.安徽工程大學 汽車新技術安徽省工程技術研究中心，安徽 蕪湖 241000)

在工程實際中，梁是很常見的結構之一，如橋式起重機的大梁、火車輪軸、橋梁等，梁的動力特性研究一直是經典而永久的科學問題。對于一般的等截面梁的彎曲問題，材料力學已經給出了結果，但受力復雜的梁以及變剛度梁的計算還是比較繁瑣的。一般梁的問題最后都可用梁的近似微分方程表示出來，可歸結為兩點邊值問題。對于平面彎曲梁的靜力問題，材料力學當中的結論是通過平面假設及縱向纖維間假設而獲得的。而各種假設是會帶來誤差的，尤其是長高比大于5的短梁，在土木工程中，為了減輕自重和節省材料，經常把剛架和梁設計成變截面和非均勻性的，因而研究非均勻性變截面梁和剛架的強度、穩定和動力學問題無論在理論上還是實際上都是極為重要的。非均勻性變截面梁和剛架，可以歸結于一組變系數非正定微分方程，用變分法求解此類微分方程具有一定的困難，用常規方法難以求解。文獻[4]直接從微分方程出發推導出單元的剛度矩陣，用普通有限元計算變截面梁和剛架，把梁和剛架劃分成許多均勻單元，并用矩陣遷移法來構造單元的剛度矩陣，從而可以提高數值計算精度。文獻[5]和文獻[6]分別用矩陣遷移法求解了非均勻變截面梁和連續梁的穩定性和自由振動問題。文獻[7]用矩陣遷移法解決了非均勻性彈性基礎梁的穩定和自由振動問題。文獻[8]求解了非均勻變截面梁的穩定和自由振動問題，問題最后歸結為求解一個解析表達式的超越代數方程。有關梁的強迫振動問題，人們提出了各種方法來解決。文獻[9]和文獻[10]采用的是有關振動研究中流行的模態疊加法。模態疊加法是用無窮級數表示解函數，但在無窮級數的實際計算中，不可避免地要用到截斷，因此，模態疊加法本質上是一種近似方法。文獻[11]研究了機翼在來流作用下的響應，識別了靜態和動態分叉區域，評估了陣風對響應的影響，研究了結構非線性變化對機翼響應的影響。文獻[12]采用計算機仿真計算方法，對列車通過橋梁時的橋梁動力響應和列車運行性能進行了詳細的分析，為三塔懸索橋的動力設計提供了理論依據。利用變量分離法，文獻[13]研究了簡支梁在勻速運動質量作用下的動力學行為。目前，功能梯度材料板殼的彎曲和振動問題研究與梁類似，主要有基于板理論的解析方法以及有限元方法等。

采用微分求積法(DQM)研究非均勻變截面Euler-Bernoulli梁的穩態諧振動問題，基于Euler-Bernoulli梁理論建立非均勻變截面梁的橫向穩態諧振動控制方程，從而將非均勻變截面梁的橫向穩態諧振動響應的計算轉化為一個變系數常微分方程的兩點邊值問題。同時，將梁長以等步長均勻分布節點進行離散，邊界條件用節點替代法(

δ

法)來處理，運用微分求積法求解該常微分方程組，可一次性獲得非均勻變截面梁諧振動的振幅及內力。

1 變截面梁穩態諧振動的基本理論

圖1 受諧振荷載的變截面梁

在工程實際中，尤其是土木或機械工程中，梁承受諧振荷載的情況常常遇到，這時避開共振區一般總是結構設計首先要考慮的問題。當避開共振區時，可以不考慮阻尼的影響，因為阻尼對結構振動的影響很小，所以梁的穩態諧振動的位移和內力的幅值可以直接得出，而不必將振型分解。這樣的計算偏于安全，并使問題大大簡化，在穩態諧振動時，所有的荷載、變形、內力、支反力和慣性力均按同一簡諧規律變化，即同時達到各自的最大值。

長度為

L

的變截面Euler-Bernoulli梁如圖1所示?；贓uler-Bernoulli梁的基本理論，獲得梁的動力響應控制方程為

(1)

式中，

D

(

x

)是抗彎剛度

EI

(

x

)；

E

是均勻材料彈性模量；

I

(

x

)是梁的橫截面對中性軸的慣性矩;

m

(

x

)是梁的單位長度的容重;

y

(

x

,

t

)是梁的位移；

q

(

x

,

t

)是荷載。考慮梁的穩態諧振動問題，則位移

y

(

x

,

t

)和荷載

q

(

x

,

t

)均按同一簡諧規律變化，即

y

(

x

,

t

)=

y

(

x

)

cosωt

,

(2)

q

(

x

,

t

)=

q

(

x

)

cosωt

,

(3)

式中，

y

(

x

)和

q

(

x

)分別為位移幅值和荷載幅值，簡稱位移和荷載，以下同;

ω

為穩態諧振動角頻率;

t

為時間。

將式(2)、式(3)代入式(1)，得

(4)

(5)

y

(

x

)+

φ

(

x

)

y

(

x

)+

φ

(

x

)

y

(

x

)-

φ

(

x

)

y

(

x

)=

Q

(

x

)。

(6)

如果在圖1所示的坐標系中，設向上的荷載

qcosωt

或

Pcosωt

,向上的位移

y

(

x

)和逆時針方向的轉角

θ

(

x

)為正，反之為負。彎矩

Mcosωt

使梁彎成凹形為正，剪力

Qcosωt

使梁段順時針轉為正，反之為負，那么存在以下微分關系:

(7)

文中變截面Euler-Bernoulli梁邊界條件可以表示為以下常見4種情形：

固支-固支梁的邊界條件(

C

-

C

)：

向紅棗白蘭地基酒（42%vol）中加入適量的蒸餾水或無水乙醇，分別配制成20%vol、32%vol、50%vol、63%vol和72%vol的紅棗白蘭地。

y

(

x

)=0,

θ

(

x

)=0，

y

(

x

)=0，

θ

(

x

)=0，

(8a)

簡支-簡支梁的邊界條件(

S

-

S

)：

y

(

x

)=0,

M

(

x

)=0，

y

(

x

)=0，

M

(

x

)=0，

(8b)

固支-簡支梁的邊界條件(

C

-

S

)：

y

(

x

)=0,

θ

(

x

)=0，

M

(

x

)=0，

Q

(

x

)=0，

(8c)

固支-自由梁的邊界條件(懸臂梁)(

C

-

F

)：

y

(

x

)=0,

θ

(

x

)=0，

y

(

x

)=0，

M

(

x

)=0。

(8d)

考慮位移函數

y

(

x

)在梁長區間[0,

L

]上可微，將區間[0,

L

]上離散單元數劃分為

n

段

n

+1個節點，

x

=0，

x

=

L

，

n

+1個節點上函數的導數值可以用節點上函數值的加權線性和近似表示，這里，將位移函數

y

(

x

)采用拉格朗日(Lagrange)插值函數來描述，即

(9)

這里，

l

(

ξ

)拉格朗日插值函數其形式為

(10)

由式(9)對位移函數

y

(

x

)求一階導數，得

(11)

這里，拉格朗日插值函數

l

(

x

)的一階導數形式為

(12)

將式(11) 在梁長區間[0,

L

]上離散，從而進一步得到

(13)

將式(13)寫成向量形式為

(14)

高階導數順次地采用低階導替換，逐步遞推可得

(15)

將式(14)和式(15)代入式(6)，將式(6)用矩陣和向量形式表示，得

B

y

(

x

)=

Q

(

x

),

(16)

將式(5)中的系數用對角矩陣形式表示為

(17)

不失一般性，以非均勻變截面梁固支-固支邊界條件為例進行討論，則相應的邊界條件用向量可表示為

(18)

這里， 由Fortran語言編制通用程序計算，采用高斯主元消去法求解式(18)線性代數方程組獲得變截面Euler-Bernoulli梁位移

y

(

x

)，再將其代入式(7)獲得相應的轉角、彎矩和剪力。

2 數值算例與討論

下面將通過數值算例的分析和比較來討論微分求積法計算變截面Euler-Bernoulli梁穩態諧振動的可行性和收斂速度，并討論在不同的激勵頻率

ω

(或者

k

)和邊界條件下，它們的改變對梁的撓度、彎矩和剪力的影響。

2.1 等直截面梁穩態諧振動

圖2 受均布諧振荷載的等截面固定-簡支梁(C-S)

受均布諧振荷載的等截面固定-簡支梁(

C

-

S

)如圖2所示。一長為

L

的均勻等直截面梁，梁的左端固支，右端簡支，梁的橫截面尺寸為：高

h

=1

.

0，寬

b

=1

.

0，梁長

L

=10，材料的彈性模量為

E

=12 000。在區間

x

∈[0,

L

]上取離散單元數為

n

=30時，由微分求積法獲得等直截面梁位移、彎矩和剪力的計算值，并和文獻[4]計算結果以及精確解同列于表1中進行對比。由表1可知，研究計算值與文獻[3]計算結果的兩位以上有效數字相同，與精確解3位以上有效數字相同，表明了微分求積法計算等直截面Euler-Bernoulli梁穩態諧振動的精確性。圖3、圖4分別給出了不同的

k

值，在梁長區間

x

∈[0,

L

]上位移、彎矩的計算值。由圖3和圖4計算結果可知，當

k

=0、

k

=0

.

1、

k

=0

.

2、

k

=0

.

3和

k

=0

.

5時，梁的位移和彎矩變化平穩。當

k

=0

.

4時，位移和彎矩急劇增大，這一現象表明了

k

=0

.

4時，外荷載頻率趨于固有頻率，梁即將發生共振現象。當

k

=0

.

5時，區間[0,

L

]上離散單元數分別取

n

=12、16、20和24時，由微分求積法獲得的等直截面梁位移和彎矩計算值如圖5和圖6所示。計算結果表明,離散單元數取

n

≥12時，等直截面梁的位移和彎矩收斂于精確解。

表1 k=0.5時，固定-簡支等截面梁位移和內力

圖3 不同k值情況下等直截面梁位移曲線圖 圖4 不同k值情況下等直截面梁彎矩曲線圖

圖5 不同n值情況下等直截面梁位移曲線圖 圖6 不同n值情況下等直截面梁彎矩曲線圖

2.2 變截面梁穩態諧振動

圖7 受均布諧振荷載的變截面固定-自由梁(C-F)

圖8 ω≠0情況下變截面梁位移曲線圖 圖9 ω=0情況下變截面梁位移曲線圖

圖10 ω≠0情況下變截面梁彎矩曲線圖 圖11 ω=0情況下變截面梁彎矩曲線圖

圖12 ω≠0情況下變截面梁剪力曲線圖 圖13 ω=0情況下變截面梁剪力曲線圖

圖14、圖15、圖16分別給出了3種不同的邊界條件(

S

-

S

、

C

-

C

和

C

-

S

)在梁長區間

x

∈[0,

L

]上位移、彎矩和剪力的計算值。由圖14、圖15、圖16計算結果可知，當邊界條件為

S

-

S

和

C

-

C

時，梁的位移和彎矩變化幅度平穩；當邊界條件為

C

-

S

時，位移、彎矩和剪力幅度急劇增大，這一現象表明了邊界條件為

C

-

S

時，激振力頻率趨于該變截面梁的固有頻率。

圖14 3種不同邊界條件下ω≠0時的變截圖15 3種不同邊界條件下ω≠0時的變截 面梁位移曲線圖 面梁彎矩曲線圖

圖16 3種不同邊界條件下ω≠0時的變截面梁剪力曲線圖

3 結論

研究采用微分求積法研究非均勻變截面Euler-Bernoulli梁的穩態諧振動問題，基于Euler-Bernoulli梁理論建立非均勻變截面梁的橫向穩態諧振動控制方程，從而將非均勻變截面梁的橫向穩態諧振動響應的計算轉化為一個變系數常微分方程的兩點邊值問題。運用微分求積法對其進行數值計算，討論了4種邊界條件情況下等截面梁和變截面梁的位移和內力的計算，獲取了軸向功能梯度變截面Euler-Bernoulli 梁自由振動前若干階固有頻率。研究主要結論如下：

(1) 微分求積法通用性好、適應性強，且計算精度高。它對未知函數采用多項式逼近，保證了解函數及其導數值的光滑連續，可一次性地計算出變截面梁的位移及內力，并與精確解、已有文獻計算結果吻合良好，表明了微分求積法分析梁的穩態諧振動問題的可行性和精確性。

(2) 微分求積法分析等截面梁和變截面梁穩態諧振動時，通過梁的位移、彎矩和剪力等物理參量的急劇增大這一現象，可以定性判定梁的共振頻率范圍。

(3) 研究方法分析等截面梁和變截面梁穩態諧振動時，對材料和截面幾何性質函數的具體形式無需任何限制條件，同時，研究方法避免了用迭代方法計算超越方程的困難和繁雜，可以進一步推廣應用于一般梁的瞬態動力響應的分析研究中。