賣空限制和分紅約束下DC養老金計劃的最優投資

余 鑫，王傳玉，何學強

(安徽工程大學 數理與金融學院，安徽 蕪湖 241000)

養老金計劃主要分為兩類：固定收益(DB)計劃和固定繳款(DC)計劃。在DB計劃中，退休金是預先確定的，退休金計劃參與的供款也要確定，然后進行調整以使資金保持平衡。與DB計劃相關的財務風險由計劃發起人而不是計劃成員承擔。在DC計劃中，僅定義了供款(通常是工資的固定百分比)，而雇員的退休福利則由退休時積累的金額決定。與DC計劃相關的財務風險已從發起人轉移到了繳款者。近年來，DC計劃在養老金市場中變得越來越受歡迎。DC養老金計劃的退休福利主要受退休前投資組合的表現所影響。定繳款計劃的退休福利主要受退休前基金組合的表現所影響。資產配置決策是養老金積累階段風險管理的重要內容。具有不同目標的DC養老金計劃的最優投資策略，以及預期效用最大化的運用，已在文獻中進行了廣泛討論。由于DC養老金計劃的投資時間通常很長，因此一些研究將通貨膨脹風險納入了模型。例如，Zhang等研究了具有DC養老金基金通脹風險的最優資產配置。Han等分別討論了在CRRA效用最大化和均值-方差準則下具有通脹風險的最優DC計劃管理的連續時間優化模型。

由于養老金計劃的目的是為成員提供足夠的退休收入，因此一些研究將投資組合保險(PI)約束納入DC養老金的投資問題中，參見Boulier和Cairns。PI約束可以通過對保險合同施加最低保證來增強對保單持有人或養老金成員的保護。具體而言，績效指標約束要求經理在退休時將投資組合價值保持在最低擔保之上，這對成員的福利至關重要。最低保證的一種流行形式是其退休成員的最低年收入，參見Boulier、Guan等將平均預期壽命延長到具有確定性死亡率的隨機時間。

王傳玉等研究了通脹環境下帶有紅利和最低收益保障的確定繳費(DC)型養老金計劃的最優投資問題。應用伊藤公式得到通脹折現后的真實財富過程，在DC型養老金計劃終端財富內部保障約束下，即終端財富始終超過最低收益保障，考慮通脹環境下的退休時刻終端財富期望CRRA效用最大化問題。應用HJB方程推導得到了退休前任意時刻DC型養老金計劃最優投資策略的顯式解，分析了不同參數對最優投資策略的影響，為DC型養老金計劃投資者提供更有效的策略。孔煥等研究了帶有不確定收益的保險公司在離散時間點的最優分紅問題。引入不確定收益項和風險系數，并在指數保費原則下構建了貼現收益，研究了有限時間和無限時間范圍的最優分紅策略，證明最優分紅策略是一個波段策略。最后,給出一些數值研究，并討論了不同風險系數對最優分紅策略的影響。

S型效用函數是指效用函數在一定財富或收益水平下是凸函數,而在一定財富或收益之上則是凹函數，通過S型效用函數還可以說明財富減少給人們帶來的效用降低程度比因財富增加帶來的效用增量更大。李波研究了在Kahneman等提出的預期理論的框架下的最優投資策略選擇問題，在連續時間情形下依據預期理論的原則，用S型效用函數去表示投資者對待收益和損失時不同的態度。Servvas推導了具有期望理論偏好的個體的最優動態消費和投資組合選擇,證明了最優消費策略對經濟沖擊是相當不敏感的,證實了具有預期理論偏好的個人通常會實施(非常)保守的投資組合策略,并討論了研究結果對投資相關年金產品設計的影響。

基于Dong提出的在賣空限制和投資組合保險下DC養老金計劃的最優投資問題，進行了進一步的改進，設置了新的資產組合模型，運用對偶控制方法來解決問題，幫助管理者管理風險。研究是在賣空限制、分紅約束兩個條件下，利用S型效用函數對金融市場進行研究。所研究的資產組合，即無風險資產以及成員進行分紅后的風險資產，并且描述了賣空限制和分紅約束如何影響最優終端財富和最優策略。

1 模型假設與構建

從Dong的研究中，假設金融市場是一個非自融資的完備市場，在賣空限制和分紅約束下，定義一個完備概率空間(

Ω

,

F

,{

Ft

}

t

∈[0,

T

],

P

)，其中{

Ft

|

t

∈

T

}包含市場中

t

時刻之前可得的信息。考慮連續有限時間

t

∈[0，

T

]的時間模型。假設所有的變量和隨機過程在這個概率空間中。養老金從時間0開始，退休時間為

T

。

W

(

t

)為標準布朗運動，價格水平過程為

P

(

t

)，并假設

P

(

t

)服從隨機微分方程：

(1)

式中，

i

>0是預期的通貨膨脹率，而

σ

>0是價格水平的波動性。假設金融市場由兩種交易資產組成：無風險資產、成員進行分紅后的風險資產。無風險資產

M

(

t

)服從隨機微分方程：

(2)

式中，

r

是固定的無風險名義收益率。風險資產

N

(

t

)服從隨機微分方程：

(3)

(4)

式中，?和?分別是無風險資產和風險資產的市場價格。

在DC計劃中，養老金成員在退休時間

T

之前向養老金計劃連續繳款，并且假定在時間

t

繳納給養老基金的金額為

c

(

t

)>0，其中

c

(

t

)是時間

t

的指數函數。養老金帳戶的初始財富

X

>0，令

π

(

t

)和

π

(

t

)分別是投資于風險資產和無風險資產的數量。考慮對風險資產進行分紅，假設繳款單位是1，單位時間內每單位貨幣在風險資產上所得的分紅記為

δ

，

t

時刻養老金賬戶資產為

X

(

t

)，投資到風險資產的比例為

π

(

t

)，投資到無風險資產的比例為

π

(

t

)，則養老金的財富過程滿足以下微分方程：

(5)

假設養老金的最低收益保障為

L

，我們的目的是在風險資產和無風險資產中找到最佳分配，以使終端財富效用最大化，即

(6)

式中，

U

是[0,∞)上的連續遞增函數，對于

U

(

x

)=-∞，

x

<0，

L

是一個正常數，表示成員退休時的一次總付。為了描述人們相對于一個最低收益保障參考點的不同的得失行為，即避險勝于收益，風險尋求勝于損失。研究采取

S

型效用函數，它在[0,∞)被定義為

(7)

式中，

θ

是一個參數，且

θ

>0，

U

和

U

嚴格遞增，連續可微并且在[0,∞)上滿足

U

(

x

)<

U

(

x

)且

U

(0)=0。當

x

<

θ

時，

U

是凸的，當

x

>

θ

時，

U

是凹的，這表明人們在收益方面傾向于避險，對損失則傾向于尋求風險。

2 模型求解

利用對偶控制方法研究效用最大化問題。效用函數(7)和參數的限制由Kahneman的實驗和統計數據支持，通常用于效用最大化問題。參照Guan等，當不允許賣空時，不能使用鞅方法。

設效用函數

U

(

x

)的對偶函數為

V

(

y

)=sup≥0{

U

(

x

)-

xy

},

y

>0，

(8)

設凹包絡

U

為

V

(

y

)=sup≥0{

U

(

x

)-

xy

},

y

>0，

(9)

取

I

(

y

)為

U

的反函數，

I

(

u

(

x

))=

I

(

V

(

y

)+

y

)，得到

(10)

由Reichlin的引理2

.

9可得，對于

y

>0，

(11)

由于

c

(

T

)>0的財富過程不是自籌的，對于

c

(

T

)=0的財富過程，Boulier等的對偶控制方法無法直接應用，因此將優化問題轉換為具有控制約束的經典投資組合優化問題。從

t

到

T

的總養老金繳款的時間

t

的貼現值為

(12)

(13)

由財富過程式(5)得到

(14)

由Bian的引理3

.

1，采用非負上鞅過程

Y

構造

Z

(

t

):=

X

(

t

)

Y

(

t

)，0≤

t

≤

T

，

(15)

給出對偶過程

dY

(

t

)=

Y

(

t

)(-

rdt

-(

σ

υ

(

t

)+

ξ

)

dW

(

t

))，

Y

(0)=

y

，

(16)

由于

Z

(

t

)是一個上鞅過程，且

V

是

U

的對偶函數，有

(17)

考慮對偶最小化問題

inf∈

E

[

V

(

Y

(

T

))-

LY

(

T

)]，

(18)

對于0≤

t

≤

T

且

y

>0,構造對偶值函數

υ

(

t

，

y

)=inf∈

E

[

V

(

Y

(

T

))-

LY

(

T

)，

Y

(

t

)=

y

]，

(19)

對偶HJB方程為

(20)

式中，

V

(

y

)=

V

(

y

)，

y

>0。

(21)

(22)

利用Bian定理3

.

8的最優對偶控制原理，得到最優策略

(23)

令

(24)

對于?

λ

∈

R

,

h

>0,

y

>0，有

(25)

(26)

最優的財富過程為

(27)

其中,

(28)

φ

是標準正態密度函數，0<

t

<

T

。

d

(

k

,

y

,

t

)=

d

(

k

,

y

,

t

)-

α

(

t

),

α

(

t

)、

β

(

t

)、

d

(

k

,

y

,

t

)均由式(27)定義。在假設式(27)和式(30)中，令

z

=0，

k

=∞，且

d

(

k

，

y

，

t

)=∞。最優終端財富為

(29)

對于

θ

>0，有

P

(

X

(

T

)=

L

)=1-

Φ

(

d

(

k

，

y

，0))，

(30)

式中，

k

是由

k

=

U

(

z

-

θ

)所確定的。

定理

1

若

θ

=0，效用函數

U

(

x

)=

U

(

x

)，

x

≥0(取

U

是因為

x

≥

θ

的情況下

U

(

x

)才能取正，如式(7)所示)，則最優終端財富的簡化表達式為

(31)

若

θ

>0，則最優終端財富達到最低收益保障

L

的概率為

P

(

X

(

T

)=

L

)=1-

Φ

(

d

(

k

，

y

，0))，

(32)

式中，

k

是由

k

=

U

(

z

-

θ

)所確定的。此處給出定理，令

P

(

X

(

T

))=

L

，在下一部分對結果進行數值分析。

3 數值分析

在這一部分中，將進行一些數值計算，以研究在賣空限制和分紅約束下，不同的參考點

θ

對最優終端財富的影響以及分紅參數

δ

對最優策略的影響。為了說明參考點

θ

如何影響最優終端財富，令

T

=40，

r

=0

.

01,

r

=0

.

02,

i

=0

.

03,

μ

=0

.

05,

σ

=0

.

1,

σ

=0

.

2,

ρ

=0

.

75,

L

=0(模型中的參數值取自YingHui Dong)。最優終端財富

P

(

X

(

T

)=0)和

θ

之間的關系如圖1所示。由圖1可見，當參考點

θ

增大時，

X

(

T

)=0的概率增加。這是因為

P

(

X

(

T

)=0)衡量了經濟狀況較差的情況，并且

θ

值較大的時候會擴大損失的范圍。當

θ

較小時，

X

(

T

)=0的概率較小，我們也可以看到

P

(

X

(

T

)=0)在賣空限制下大于允許賣空限制的情況，原因是投資者在賣空約束下對投資策略的選擇較少。

E

(

X

(

T

))與

θ

之間的關系如圖2所示。由圖2可見，允許賣空限制期望大于禁止賣空限制期望。這是因為如果投資者把他最初的盈余和繳款都投入到無風險資產中，那么期望就會達到一個最低水平。當參考點相當低(低于最低收益保障)時，參考點的減少導致投資于每個風險資產的財富比例增加，因為投資于無風險資產時非常容易達到低參考點。當參考點大于這個最低收益保障時，投資者為了尋求更多的風險，將更多的錢投入到風險資產中，以幫助管理者有效地管理并降低風險。最優投資策略

π

(

t

)與

δ

之間的關系如圖3所示。由圖3可見，隨著分紅的出現及增長，最優投資策略也逐漸增加。出現這樣的結果是由于在財富過程的風險資產上添加了分紅約束，投資者為了尋求更高的收益而改變投資策略，將更多的資產投資于風險資產當中，導致最優投資策略發生了改變。

圖1 最優終端財富P(Xπ*(T)=0)和θ之間的關系圖2 E(Xπ*(T))與θ之間的關系

圖3 最優投資策略π*(t)與δ之間的關系

4 貢獻與展望

研究賣空限制和分紅約束下DC養老金計劃的最優投資問題，通過對偶控制方法，建立財富過程，應用HJB方程求解，最后通過給定參數，并進行數值模擬。在此前的研究中，并沒有考慮到分紅約束的因素對投資策略所產生的影響，而分紅約束在現實中實際存在。所以研究也更符合實際情況并且適用于金融市場存在分紅的情況中。研究結果表明賣空限制以及分紅約束有效地改善了DC養老金計劃的最優投資問題。

研究的主要貢獻是在考慮賣空限制的情況下，增加了分紅約束的因素來對金融市場中的DC養老金計劃進行建模。我們所采用的S型效用可以更好地反映養老金計劃的管理者對風險的態度，因為它包括了風險規避以及尋求損失的風險。為了更好地保障成員的利益免受管理者的影響，將投資組合保險加入到模型中，通過建立對偶控制過程，并應用HJB方程進行求解，得出了最優財富過程和最優投資策略的顯式表達式。理論和數值結果表明，賣空限制以及分紅約束的加入，使得最優終端財富和最優策略發生了變化，這樣會導致收益的增加，同時也會增加管理者在投資過程中所承擔的風險。此外，研究模型也可以進行一些其他的拓展，在未來的研究中，我們也可以考慮連續繳費和最低保障遵循某些隨機過程。