數學一輪復習：科學有效的方法

>>>吳立勛

(審稿：何柏林)

(本文責編：趙寧寧)

一輪復習是高三備考的“根基”.科學有效的方法有助于提高高三復習的質量和效率。以下結合本人多年的教學經驗.介紹幾點一輪復習的備考策略。

一、回歸課本，夯實基礎

在一輪復習中.一定要重視教材的作用.認真閱讀教材各章節內容.對概念、定義、定理等知識深入理解.準確記憶.全面梳理.建立聯系.形成體系。高考命題“源于課本.高于課本”.很多高考題都是課本題目的引申、拓展或變式.在一輪復習中加強對課本例題和課后習題的分析與研究.有助于提升高三整體的復習效果。例如:

例1.【2021年新高考全國卷Ⅰ，8題】有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球.甲表示事件“第一次取出的球的數字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是7”，則()

A.甲與丙相互獨立

B.甲與丁相互獨立

C.乙與丙相互獨立

D.丙與丁相互獨立

本題得分率很低.原因是考生不清楚事件相互獨立的判定依據。在課本選修2-3第54頁有如下描述:設A.B為兩個事件.若P(AB)=P(A)P(B).則稱事件A與事件B相互獨立。事實上.P(甲)=.P(乙)=.P(丙)=.P(丁)=.P(甲丙)=0.P(甲丁)=.P(乙丙)=.P(丙丁)=0.顯然P(甲丁)=P(甲) P(丁).故選B。

例3.(2021年新高考全國卷Ⅰ，10題)已知O為坐標原點，點P1（cosα，sinα），P2（cosβ，-sinβ），P3（cos(α+β)，sin(α+β)），A（1,0），則()

課本必修4第138頁習題3.1 B組第4題:如圖(圖略).考慮點A(1.0).P1(cosα，sinα).P2(cosβ.-sinβ).P3(cos(α+β).sin（α+β））.你能從這個圖出發.推導出公式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ嗎？高考題與之背景相同.但設問不同.與前面兩個題一樣都體現了高考命題“源于課本而又高于課本”的原則。

關于回歸課本.建議是“三讀”。“一讀”.是在章節復習開始之前.把整章內容進行通讀.重點在復習知識.回顧涉及的概念、定義、定理等內容.對基礎知識有一個初步的整體把握；“二讀”.是在上課前一天讀課上要復習的課本相關內容.關注例題的解題思路與具體求解過程.對課后練習和習題進行分析和篩選；“三讀”.是在章節復習結束之后.結合課本.對整章的內容及典型問題和求解方法進行整理.建立知識間的聯系.繪制出章節知識的思維導圖。

二、優化思維品質，提升關鍵能力

一輪復習是按照章節或模塊內容進行的.無論課上例題還是課后作業.題目形式相對簡單.以中低檔題為主.重在強化對本章節知識和方法的理解和運用.具有非常明顯的章節特征.因此.建議在具體問題的分析和求解過程中.歸納各章節所特有的思維特征.優化思維品質.體會數學思想方法.提升數學素養。例如:

例4【.2021年新高考全國卷Ⅰ，4題】下列區間中，函數f（x）=7sin（x-）單調遞增的區間是()

方式一：代數推導:由2kπ-＜x-＜2kπ+(k∈Z).得2kπ-＜x＜2kπ+(k∈Z).然后讓k取不同的值判斷出符合題意的區間。

方式二：畫圖求解(圖略):f(x)=7sin(x-)的單調性與y=sin(x-)是相同的.而后者只需將y=sinx圖象向右平移π6個單位即可。

例5.【2021年新高考全國卷Ⅰ，11題】已知點P在圓（x-5）2+（y-5）2=16上，點A（4,0）,B（0,2），則()

A. 點P到直線AB的距離小于10

B. 點P到直線AB的距離大于2

根據題中條件可以判斷出點A.B在圓外.且直線x+2y-4=0與圓M:(x-5)2+(y-5)2=16沒有交點.然后畫圖進行具體研究。

一輪復習可以根據模塊分為函數與導數、三角函數、數列、立體幾何、解析幾何和概率統計等六部分高頻考點.章節內容不同.分析和解決問題的思維方式也不同.各有特點.建議在復習中深入體會.歸納領悟各考點的思維特征.明確典型問題和核心方法.把握數學本質.提高分析問題和解決問題的能力。

三、注重通性通法，訓練規范答題

一輪復習是積累階段.重點是各章節知識的再現與夯實.重在抓基礎.遇到的題目大多屬于中低檔題。建議解題時首選通性通法求解.切實掌握解這一類題目的通用方法.努力達到通一法而通一類的效果.在熟練掌握通法的基礎上再優化解題方法。在具體解題中要重視答題的規范性.做到步驟完整.表達準確.邏輯嚴密.推理有據.論證充分.結論明確.書寫規范.提升學科語言的表達能力.培養嚴謹的數學思維.能夠在一輪復習中歸納出各章節題目的規范作答模式。例如:

(2019年全國卷Ⅰ，17題)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設（sinB-sinC）2=sin2A-sinBsinC.(1)求A；(2)若a+b=2c，求sinC.

關于（1）:第一步.觀察條件(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC的結構特點.即三個內角正弦的齊次式.所以借助正弦定理轉化為三邊的關系；第二步借助余弦定理求出角A的余弦值；第三步結合上一步的結果及角A的范圍求出A的值。

規范作答如下:

解：(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC，故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.

因為0°＜A＜180°，所以A=60°.

四、科學規劃一輪夏習

一輪復習時間長.任務重.需要科學規劃.腳踏實地.持之以恒.全心投入.并養成良好的學習習慣。特別提醒以下三點。

1.五步作業法

數學作業要有五個環節:測——判——思——議——改。“測”是指平時作業要像考試一樣.要限時高效完成.特別提醒同學們一定要有專用的草稿本.真實記錄解題過程.方便自己檢查、反思以及與老師同學交流；“判”是指每道題都要按步驟進行評改.不要只訂正對錯.不看解答過程；“思”是指獨立思考.結合草稿紙把錯題逐一分析.找出錯誤原因.自行改正；“議”是指對于不會的或者思路不清晰的題目要與老師或同學及時進行交流；“改”是指把整個解題過程重新完整地寫一遍.確保真正掌握。

2.重視錯題,滾動提升

高三復習一定要重視錯題改正.通過分析錯誤原因.例如概念理解不準確、方法運用不熟練、解題過程不嚴謹.以及答題心態或者習慣不正確等.將一些模棱兩可的知識精確化.規范作答。具體措施是將作業或者試卷中的錯題分類做好標記.不定期地滾動檢測.關注答題速度和質量.直到過關為止。

3.典例整理,定期回顧

一輪復習中要注意對典型例題和典型方法進行歸納整理.包括一題多解或者多題歸一.一方面有助于加深對知識和方法的理解.吳一方面可以為二輪復習做好資料儲備。