數學理解讓核心素養落地生根

沈凱

【摘要】數學理解是數學知識與數學能力之間的橋梁，在教與學中均有重要意義.它存在于教學過程之中，在教學結果中也得到了體現.數學理解是提高數學學習效率的重要途徑，它也可以避免大量的、重復的題海戰術.本研究以一節新授課為例，在學生原有認知的基礎上運用基本知識和學科原理構建新知識.

【關鍵詞】數學理解;認知結構;關系性理解

一個數學的概念和方法或事實被理解了，那么它就會成為個人內部知識網絡的一部分……理解的程度是由聯系的數目和強度來確定的.教學大綱將教學目標分為了解、理解、掌握、靈活運用四個層次，可見理解是數學學習中的一個重要目標.教學大綱對理解也作了如下定義：對概念和規律（定律、定理、公式、法則等）達到了充分且理性的認識，不但能夠用自己的語言準確地表達其內容是什么，而且能夠知道它們是怎樣得到的，以及它們與概念之間有什么關聯.

數學的理解主要是強調在原有理解的基礎上，運用基本知識和學科原理框架對新知識建構新的認知.理解性學習重在獲得對基本概念和原理的深層次理解，是一種高效的學習，也是有意義的學習.學習過程的本質是理解的探索和發展，而不是事實內容的記憶和積累，因此，關注學生學習的過程，促進其深層次的理解是很重要的一個步驟.

中學數學教師的教學設計應側重發展學生的理解，而不僅僅是傳授知識.教師在教學過程中應了解學生的智能特點，充分理解學生的認知特點，在學生已有經驗和思路的基礎上，采用合適的方法促進學生對數學對象的深層次理解.

一、問題提出

“函數的奇偶性”本質上是用數學語言來刻畫一個函數圖像本身是否關于y軸對稱或關于原點對稱.筆者在學生初中階段已有知識的基礎上進行了如下教學設計.

在直角坐標系中作出函數f（x）=x2的圖像.

問題1：函數f（x）=x2的圖像具有對稱性嗎？

生：函數f（x）=x2的圖像關于y軸對稱.

問題2：函數f（x）=x2的圖像為什么關于y軸對稱？

生：我們初中就學過了，因為如果我們將f（x）=x2的圖像畫在一張紙上，再沿著y軸將這張紙折疊，那么y軸右邊的圖像將會與y軸左邊的圖像完全重合.

在肯定學生回答的基礎上，教師繼續提出問題3：如何用數學語言來準確刻畫函數f（x）=x2的圖像是關于y軸對稱的呢？

生：……（課堂鴉雀無聲）

二、問題分析

學生對對稱真正了解嗎？學生對對稱的認識還停留在初中階段，即翻折后折痕一邊的圖像與另一邊重合，或者繞著某個點旋轉180°后與原圖形重合.這符合初中生的認知水平，也是對于對稱現象的一種感性認識.學生能從圖形的角度感受對稱現象的發生，并且獲得對于對稱概念的初步理性認識，但這是一種模糊的、淺顯的認知.高中數學課堂教學的核心問題是幫助學生完成在現有學習能力下向高認知的學習任務攀升.其中有一方面就是對數學對象的認識，從自然語言向更準確、更精煉的符號語言的轉化.“函數的奇偶性”這一節課正是讓學生經歷一個對稱概念的形成過程，加深學生對概念的準確認知，從中建構自己對于對稱的理解和認識.

三、教學設計（片段）

問題4：是因為點（1，1）和點（-1，1）都在函數f（x）=x2的圖像上，所以認為函數f（x）=x2的圖像關于y軸對稱嗎？

生：盡管這兩個關于y軸對稱的點都在f（x）=x2的圖像上，但是不足以說明f（x）=x2的圖像是關于y軸對稱的.

問題5：那我們多取幾組點就能說明嗎？

生：有限組點肯定不足以說明.

問題6：那我們取無數組點呢？

生：好像也不行，應該要任意一組點才行，即需要在函數f（x）=x2的圖像上任取一點P，證明它關于y軸的對稱點Q也在函數f（x）=x2的圖像上.

學生在教師的指導下完成證明：在f（x）=x2的圖像上任取一點Px0，f（x0），即f（x0）=x20.設點P關于y軸的對稱點為Q，則Q點的坐標為（-x0，f（-x0））.因為f（-x0）=（-x0）2=x20=f（x0），所以點Q也在函數f（x）=x2的圖像上.所以函數f（x）=x2的圖像關于y軸對稱.

問題7：這個證明中的關鍵之處有哪些？

生1：點P要從函數圖像上任取.

生2：f（-x0）=f（x0）這個式子的成立也是關鍵.

問題8：若函數y=f（x）滿足f（-x）=f（x）對定義域中任意的x恒成立，能推出函數y=f（x）的圖像關于y軸對稱嗎？

生：在函數y=f（x）的圖像上任取一點P（x0，y0），即y0=f（x0）.因為f（-x）=f（x）對定義域中任意的x恒成立，則y0=f（-x0），即點Q（-x0，y0）一定在函數y=f（x）的圖像上，所以函數y=f（x）的圖像關于y軸對稱.

問題9：若函數y=f（x）的圖像關于y軸對稱，則其解析式會有什么特征？

生：在函數y=f（x）的圖像上任取一點P（x0，y0），即y0=f（x0），點P關于y軸的對稱點Q（-x0，y0）一定在函數y=f（x）的圖像上，即y0=f（-x0）.等量代換后得到f（-x0）=f（x0），即f（-x）=f（x）對定義域中任意的x恒成立.

師：所以函數y=f（x）滿足f（-x）=f（x）對任意的定義域中x恒成立等價于函數y=f（x）的圖像是關于y軸對稱的.此時給出偶函數的定義：設函數y=f（x）的定義域為A，如果對于任意的x∈A，都有-x∈A，并且f（-x）=f（x），那么稱函數y=f（x）是偶函數.

問題10：大家可以繼續思考偶函數的圖像有什么特點？

生：剛才我們已經證明了偶函數的圖像是關于y軸對稱的.